Joon

See artikkel räägib matemaatika mõistest; teiste tähenduste kohta vaata lehekülgeJoon (täpsustus)

---

Joonehkkõver(inglise keelesline,curve) onmatemaatikaskastasandiline joon,Jordani joonvõi ühemõõtmeline kontiinum.

Matemaatikas on kasutusel mitu joone mõistet.

Elementaargeomeetria

Elementaargeomeetriaspole joonel selget definitsiooni.Eukleidesejärgi on joon laiuseta pikkus. Mõnikord defineeritakse joon kui kujundi piir.

Vaadeldakse teatud tüüpi jooni, näitekssirge,lõik,murdjoonjaringjoon.

Elementaargeomeetrias on põhjalikult uuritudkoonuselõikeid,mõningaid kõrgemat järkualgebralisi joonining mõningaidtranstsendentseid jooni,kasutades igal juhtumil spetsiaalseid võtteid.

Topoloogia

Parametriseeritud joon: lõigu kujutus

Pikemalt artiklisTee (topoloogia)

Enamasti defineeritakse joon kuipidev kujutuslõigusttopoloogilisse ruumi:

$\gamma \colon [a,b]\to X.$

Seejuures võivad jooned olla erinevad isegi juhul, kui nendekujutisedlangevad kokku.

Niisuguseid jooni nimetatakse parametriseeritud joonteks või, kui$[a,b]=[0,1]$,teedeks(mõnikord samastatakse tee parametriseeritud joonega).

Parametriseerimata joon

Pikemalt artiklisParametriseerimata joon

Mõnikord defineeritakse joon "reparametrisatsiooni täpsusega". Defineeritakseekvivalentsiseos,mille puhul parametriseeritud jooned

$\gamma _{1}\colon [a_{1},b_{1}]\to X$и$\gamma _{2}\colon [a_{2},b_{2}]\to X$

on ekvivalentsed, kui leidub niisugunepidevmonotoonne funktsioon$h$lõigult$[a_{1},b_{1}]$lõigule$[a_{2},b_{2}]$,et$\gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\circ h.$ Selle seosega määratudekvivalentsiklassenimetatakseparametriseerimata joonteksehk lihtsalt joonteks.

Kommentaar

See definitsioon vastab paljuski meie intuitiivsele ettekujutusele joonest kui millestki, mis on joonistatud pliiatsit paberilt tõstmata, kuid sellele vastavad paljud kujundid, mida me intuitiivselt jooneks ei pea. Näiteks on võimalik konstrueerida niisugune lõigu pidev kujutustasandile,et selle kujutis täidabruudu(Peano joon). Veel enam,Mazurkiewiczi teoreemijärgi on igakompaktne,sidusjalokaalselt sidustopoloogiline ruumlõigu pidev kujutis. Nii et mitte ainult ruut, vaid kan-mõõtmeline kuup (hüperkuup) ja isegiHilberti kuupon lõigu pidevad kujutised.

Et saada intuitsioonile paremini vastavat mõistet, esitatakse kujutusele lisanõudeid.

Jordani joon

Pikemalt artiklisJordani joon

PositiivseLebesgue'i mõõdugaJordani joon tasandil

Jordani jooneksehk lihtsaks jooneks nimetatakseringjoonevõi lõigu pidevainjektiivse kujutuse(sisestuse) kujutist ruumis. Ringjoone puhul nimetatakse kujutistkinniseks Jordani jooneks,lõigu puhulJordani kaareks.

Jordani teoreemütleb, et iga kinnine Jordani joon tasandil jagab tasandi "sisemiseks" ja "väliseks" osaks.

On võimalik konstrueerida tasandiline Jordani joon, milleLebesgue'i mõõton positiivne. Selle Peano joonega analoogse näite (Osgoodi joone) konstrueerisWilliam Fogg Osgood.

Analüüs

Matemaatilises analüüsiskasutatakse sagelisileda jooneehkdiferentseeruva joonemõistet. Defineerime kõigepealttasandilise joone,st joone ruumis$\mathbb {R} ^{2}$). Olgu$x(t)$ja$y(t)$niisugusedpidevalt diferentseeruvad funktsioonidlõigul$[a,b]$,et$(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}$ei võrdumuutujatühegi väärtuse korral nulliga. Siis kujutus$\gamma:[a,b]\to \mathbb {R} ^{2},t\mapsto (x(t),y(t))$annab sileda joone; parametriseerimata joont nimetatakse siledaks, kui teda saab niimoodi parametriseerida. Sileda joone pikkuse saab arvutada valemi

${\text{L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\,dt$

järgi.

Selle definitsiooni saab üldistada teistele ruumidele ning teistelesiledusklassidele.

Diferentsiaalgeomeetria

Pikemalt artiklisJoonte diferentsiaalgeomeetria

Kui$X$onsile muutkond(diferentseeruv muutkond), siis sileda joone muutkonnal$X$saab defineerida kuisileda kujutuse(diferentseeruva kujutuse)$\gamma \colon [a,b]\to X$,millediferentsiaalei ole kuskil null. Kui muutkonna$X$siledusklass on$k$,siis$C_{k}$-joon defineeritakse kui joon, mille korral$\gamma$on$k$korda pidevalt diferentseeruv kujutus. Kui$X$onanalüütiline muutkond(näitekseukleidiline ruum) ja$\gamma$onanalüütiline kujutus,siis joont nimetatakseanalüütiliseks jooneks.

Siledaid jooni$\gamma _{1}\colon I\to X$ja$\gamma _{2}\colon J\to X$nimetatakse ekvivalentseteks, kui leidub niisugunedifeomorfism$p\colon I\to J$(parameetrivahetus), et$\gamma _{1}=\gamma _{2}\circ p$.Ekvivalentsiklasse selle seose järgi nimetatakseparametriseerimata siledateks joonteks.

Algebraline geomeetria

Pikemalt artiklisAlgebraline joon

Algebralisi jooniuuritaksealgebralises geomeetrias.Tasandiline algebraline joonon koordinaatidegax,ypunktide hulk, mille annabvõrrandif(x,y) = 0lahenditehulk, kusfon kahe muutujapolünoomkordajategakorpusestF.Algebralises geomeetrias ei võeta tavaliselt arvesse, mitte ainult punkte, mille koordinaadid kuuluvad korpusesseF,vaid ka punkte koordinaatidega korpuseFalgebralisest sulundist.KuiCon niisugune tasandiline algebraline joon, et seda määrava polünoomi kordajad kuuluvad korpusesseF,siis teda nimetatakse jooneks üle korpuseF.

Algebralised jooned saab defineerida ka kõrgema mõõtmega ruumides. Need defineeritaksepolünoomvõrrandisüsteemidelahendite hulkadena.

Iga tasandilist joont saab täiendada jooneniprojektiivsel tasandil.Kui tasandiline joon on määratud polünoomigaf(x,y), milletäielik asteond,siis polünoom

$z^{d}\cdot f(x/z,y/z)$,

lihtsustub pärast sulgude avamisthomogeenseks polünoomiksf(x,y,z) astmegad.Niisugused väärtusedx,y,z,etf(x,y,z) = 0, on tasandilise joonehomogeensed koordinaadid,kusjuures lähtejoone punktid on need punktid, mille puhulzei võrdu nulliga. NäiteksFermat' joonxⁿ+ yⁿ= zⁿvõtab afiinsel kujul kuju xⁿ+ yⁿ= 1. Ülemineku afiinselt joonelt projektiivsele saab üldistada ka kõrgematele mõõtmetele.

Vaata ka

• Kõverjoon
• Kõverus