Kaugus

Kaugusemõiste on kasutuseltavakeelesning peamiselt loodusteadustes (füüsikasjageograafias) jamatemaatikas.Kauguse all mõistetakse tavakeeles ja loodusteadustes peamiselt objektide ruumilise eraldatuse määra ehkvahemaad, mõnikord ka muud laadi eraldatuse määra.

Loodusteadustes on kaugusmittenegatiivneskalaarne suurus,mida mõõdetaksepikkusühikutes.

Matemaatika võimaldab (füüsikalise) kauguse mõistet üldistada abstraktsetele objektidele. Sellisteks objektideks võivad olla näitekspunktidtasandil.Punktidevahelise kauguse mõistet saab kasutada näiteks kapunktihulkadevahelisekauguse defineerimiseks. Samuti räägitakse näiteksmaatriksitevahelisestkaugusest. Kõige üldisemal kujul on kaugus matemaatikasmittenegatiivnereaalarv,mis leitakse teatud komplekti tingimusi (meetrika aksioome) täitva kujutuse (meetrika) abil.

Matemaatika

Pikemalt artiklisMeetriline ruum

Matemaatikas saab rääkida kaugusest abstraktsete objektide vahel. Kaugus oma kõige üldisemal kujul on defineeritudmeetrilistes ruumides.Meetriline ruum onhulkX,millel on defineeritudkujutus

$\rho:X\times X\to \mathbb {R},$

mis seab hulgaXigaleelementidepaarile vastavussereaalarvu$\rho (x,y)$nii, et oleksid täidetud järgmisedmeetrika aksioomideksnimetatavad tingimused:

1. $\rho (x,y)=0\Leftrightarrow x=y$(samasuse aksioomehk identsuse aksioom)
2. $\rho (x,y)=\rho (y,x)\,$(sümmeetria aksioom)
3. $\rho (x,y)\leq \rho (x,z)+\rho (z,y)$(kolmnurga võrratus).

Kujutust$\rho$nimetataksemeetrikaksja arvu$\rho (x,y)$nimetataksexjaykauguseks.Tihti nimetatakse kauguseks ka meetrikat ennast.

Kaugus eukleidilistes ruumides

Pikemalt artiklisEukleidiline ruum

Kolmemõõtmeline eukleidiline ruumon ruum, mida seostatakse enamastifüüsikalise ruumiganing see kattub intuitiivselt ruumi mõistega selle igapäevatähenduses. Üldiselt saab rääkida suvalise mõõtmega eukleidilistest ruumidest, kusjuuresn-mõõtmelises eukleidilises ruumis on kaugus defineeritud kui

$d(\mathbf {x},\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.$,

kus

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}$

tähistabvektori pikkustja$x_{1},...,x_{n}$tähistavad vektori

$\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}),$

koordinaate.

Kaugus eukleidilises ruumis täidab meetrika aksioome ning seetõttu on kõik eukleidilised ruumid ka meetrilised ruumid. Kuna vektoripikkustäidab ühtlasinormi aksioome,on eukleidilised ruumid kanormeeritud ruumid.

Geograafia

Geograafias mõõdetakse kaugust ehk vahemaad niilooduses(meetrites või kilomeetrites) kui kakaardilmõõtkavaabil. Selleks määratakse kaugus ühest punktist teise punktini sentimeetrites ja korrutataksevõrdlusmõõtkavaga.Näiteks kaardil võrdlusmõõtkavaga 1 cm – 100 m mõõdeti kauguseks 5,8 cm. Arvestame: 5,8 × 100 = 580 meetrit.

Interaktiivsed kaardidvõimaldavad kaugust mõõta otse.

Vaata ka

• Ruum (füüsika)