Itxaropen matematiko

Bidadobotata suertatzen diren puntuen baturarenprobabilitate banaketa:hurrengo jokaldietan denetariko emaitzak izan badaitezke ere (2,2,8,10), epe luzera batez besteitxarondaitekeen emaitza 7 da; 7 da, beraz,itxaropen matematikoa.

Itxaropen matematikoa,esperantza matematikoaedoitxarondako balioazorizko aldagaibatenbatezbestekobalioa da, dagozkionprobabilitateen araberakalkulaturik. Intuitiboki,zorizko saiakuntzabehin eta berriz errepikatuz epe luzera suertatuko litzatekeen emaitzenbatez bestekobalioa da, epe luzeraitxaronedo espero daitekeen batez besteko emaitza alegia.

Estatistikan maiz erabiltzen den kontzeptua da:probabilitate-banaketabateko ezaugarri jakingarrienetako bat da,parametroezezagun gisa hartzen dena eta datuetan baliokide duenbatezbesteko aritmetiko sinplearenbitartez zenbatesten dena.Matematikan,neurri-teoriatikformulazio matematiko zorrotza du eta, aldi berean, maiz erabiltzen da problema aplikatuetan, hala nola ekonomia arlokoerabakien azterketan.Zorizko jokoetanere maiz kalkulatzen da, jokalari batek jokaldi bateko batezbesteko emaitza jakiteko. Erabaki eta jokoen eremu horietako paradoxa zenbaitetan ere agertzen da, hala nolaSan Petersburgo paradoxanetaAllaisen paradoxan.Halaber, baliteke mutur luzeak dituzten probabilitate banakuntzetan ez existitzea.

Kalkulua probabilitate banaketa diskretu baterako

Bedi$\Omega$zorizko aldagaiakhartzen dituen balio ezberdin guztien multzoa. Itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da:

$\mu =E[X]=\sum _{\Omega }xp(x)$

Adibidea

Bi dado bota eta puntuen baturarenitxaropen matematikoa honela kalkulatzen da. arestiko formulan adierazten den bezalax(puntuazioak) etap(x)(probabilitateak) hurrenik hurren bidertuz eta emaitzak batuz:

x	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	batura
p(x)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36	1
xp(x)	2/36	6/36	12/36	20/36	30/36	42/36	40/36	36/36	30/36	22/36	12/36	252/36=7

Ondorioz, bi dado botata, puntuazioen itxaropen matematikoa 7 da.

Kalkulua probabilitate banaketa jarraitu baterako

Irudikodentsitate-funtzioanprobabilitate gehiena 0tik gertuko balioetan biltzen da eta gutxiena 3tik gertu. Beraz, itxaropen matematikoa gertuago dago 0tik 3tik baino:E[X]=1.

Bitez$\Omega$zorizko aldagaiak hartzen duen balioen tartea etaf(x)probabilitate banaketa definitzen duendentsitate-funtzioa.Itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da:

$\mu =E[X]=\int _{\Omega }xf(x)dx$

Adibidea

Likido batean litroko dagoen substantzia-kopurua (mg) probabilitate-banaketa honen araberakoa da (ikus alboko irudia):

$f(x)={\frac {2}{3}}-{\frac {2}{9}}x\;\ \ 0<x<3$

Honela kalkulatzen da itxaropena:

$\mu =E[X]=\int _{0}^{3}x{\Big (}{\frac {2}{3}}-{\frac {2}{9}}x{\Big )}dx=1$

Itxaropen matematikoaren propietateak

Aldagai aldaketa lineala

Xzorizko aldagaiaizanik,Y=aX+baldagai aldaketa lineala egiten bada:

$E[Y]=aE[X]+b$

Zorizko aldagaien batura

X₁,X₂,...,X_nzorizko aldagaiak izanik, horien baturaren itxaropena horien itxaropenen batura da:

$E[X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}]=E[X_{1}]+E[X_{2}]+\ldots +E[X_{n}]$

Kanpo estekak

• Itxaropen matematikoa eta bariantza,Gizapedian.

• Datuak:Q200125