Simetria-erlazio

Matematikan,$A$multzoandefinitutako$R$erlazio bitarrasimetrikoada; bi elementu desberdin hartuta, lehena bigarrenarekin erlazionatuta badago, orduan bigarrena ere lehenarekin erlazionatuta badago. Beste hitzetan:

$\forall x,y\in A,\ xRy\Rightarrow yRx$

Hori gertatzekotan, esaten dugu$R$-ksimetria-propietateabetetzen duela.

$A$multzoanezarritako$R$erlazioa,$(A,R)$bikote ordenatuarenbidez adierazten da.

Simetrikoaren aurkakoa den erlazioariasimetrikoadela esaten zaio, hots, bi elementu desberdin hartuta, lehena bigarrenarekin erlazionatuta badago, orduan bigarrena ez badago lehenarekin erlazionatuta. Beste hitzetan:

$\forall x,y\in A,\ xRy\Rightarrow \neg (yRx)$

Hori gertatzekotan, esaten dugu$R$-kasimetria-propietateabetetzen duela.

Adierazpidea

Biz$A$multzoandefinitutako$R$simetria- edo asimetria-erlazio bat, orduan$R$-ren adierazpidea desberdina da,erlazio bitarraadierazteko moduaren arabera.

Notazioa	Simetria-erlazioa	Asimetria-erlazioa
Bikote ordenatubezala	$\forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\in R$	$\forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\not \in R$
Auzokidetasun-matrizebezala	$M\,$,matrize iraulia$M^{t}=M\,.$	$M\,$,matrize horren diagonalean 0-ak besterik ez daude, hots,$\forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=0,$eta gainera$M+M^{t}\,$-k matrize simetriko bat sortzen du.
Grafobezala	Grafo ez zuzenduabezala adieraz daitekeen grafo bat da.	Grafo zuzenduada,begiztarikeztaziklorikgabe.

Adibideak

Biz$A$edozein multzo:

• Biz$(A,=)\,$,$=\,$(matematika-berdintasuna), simetrikoa da.
• Biz$(A,\cup )$,$\cup$simetrikoa da.
• "ezkondua izatea" simetria-erlazioa da, "garaiagoa izatea", aldiz, ez.
• Biz$(A,>)\,$,$>\,$( "hertsiki handiagoa" ) asimetrikoa da, era berean$<\,$( "hertsiki txikiagoa" ).
• Biz$(A,\subset )$,$\subset$(multzoenpartekotasun hertsia), asimetrikoa da.

Simetria$\neq$Antisimetria

Simetria ez daantisimetriarenaurkakoa.

Badaude erlazioak aldi berean simetrikoak eta antisimetrikoak direnak (berdintasunabezala), beste batzuk simetrikoak eta antisimetrikoak ez direnak (zatigarritasunabezalazenbaki osoetan), beste batzuk simetrikoak direnak baina ez antisimetrikoak (nmodulukokongruentzia-erlazioabezala), eta beste batzuk antisimetrikoak direnak baina ez simetrikoak ( "txikiago" erlazioa bezala).

Kanpo estekak

• Datuak:Q621461