Talde (matematika)

Aljebra abstraktuan,talde bategitura aljebraikobat da, multzo ez-huts eta barne-eragiketa bitarbatez osatua, eta ondoko propietateak asetzen dituena: elkartze-propietatea (edoelkartze-legea),elementu neutroarenexistentzia (identitatea ere deitzen zaio) etaalderantzizko elementua(batzuetan, elementu simetrikoa). Adibidez,zenbaki osoekbatuketarekintalde bat osatzen dute.

Taldeak ezagutzaren hainbat arlotan agertzeak (matematikaren barruan zein kanpoan) oinarrizko printzipio bihurtzen ditu, eta horren inguruan taxutzen eta ezartzen dira matematika garaikideak, beste arlo zientifiko batzuetan berehala aplikatzeko

Kontzeptuaren definizioa eta motibazioa

Lehen adibidea: zenbaki osoen batuketa-taldea

Talde ezagunenetako batzenbaki osoenmultzoa da,batuketaeragiketa gisa hartuta.

$\mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

Eragiketa aritmetiko horren propietateek taldearen kontzeptua argitzen lagunduko digute:

• Bizenbaki osorenbatuketarenemaitza (batura)zenbaki osobat da: zenbaki batek ez badu parte hamartarrik, baturak ere ez du izango. Propietate horriitxiera aljebraikoaderitzo.

• Parentesiak alde batera utz daitezke eragiketen lehentasuna adierazteko: nahiz eta batuketa bi zenbakitarako definitu, ez dago anbiguotasunika+b+cadierazpenean,(a+b) + cetaa + (b+c)eragiketen emaitzak berdinak baitira. Beraz, zenbaki osoen baturak egiaztatu egiten duelkartze-legea.

• Zenbaki bakar bat dago, zero, beste edozeini gehituta honen balioa aldatzen ez duena:a+0 = a = 0+a,aedozein zenbaki oso izanik. Zenbaki honi, hots, zerori,elementu neutroaderitzo.

• azenbaki osobakoitzarentzat, bere alderantzizkoa(-a)ere zenbaki osoa da,a + (-a) = 0izanik.(-a)zenbakiarialderantziko elementuaderitzo.

Lau propietate horiek eragiketa askotarako ere egiaztatzen dira, ez nahitaez zenbakizkoak; eta horiek guztiek kontzeptu abstraktu bat biltzen dute —taldearen kontzeptua— eta baita definitzen laguntzen ere. Definizio horrek, axiometan oinarritua, teoria abstraktu bat garatzeko aukera ematen du -taldeen teoria-.

Zenbaki osoenbatuketaren kasuan, batugaien ordena ez da garrantzitsua,aetabedozein direla ere,a+b = b+abetetzen baita.Propietate kommutatiboada hori, baina ez da talde guztientzat egiazkotzat hartzen; beraz,taldeen teorianarreta berezia jartzen zaio eragiketen ordenari.

Definizio axiomatikoa

Izan bitez$G$multzoez-hutsa eta$\circledast$eragiketa bitarra$G$-n definituta.$(G,\,\circledast )$pareataldeadela esaten da, baldintza hauek betetzen badira:

1. $\circledast$barne-eragiketa bitarrada, hau da,$G$multzokobi elementu hartzen ditu$G$-n ere hirugarren bat lortzeko. Ondorioz,$\circledast$aplikaziobat da, honela definitua:
   $\quad \quad \circledast:G\times G\to G$
2. $\circledast$eragiketakelkartze-propietateabetetzen du$G$-ko elementuentzat. Alegia, edozein$a,b,c\in G$elementutarako,
   $\quad \quad (a\circledast b)\circledast c=a\circledast (b\circledast c)$.
3. $G$-k elementu berezi bat du,elementu neutroedoidentitateaizenekoa,$e$bezala denotatua, eta propietate hau betetzen duena: Edozein$g\in G$elementutarako,
   $\quad \quad e\circledast g=g\circledast e=g.$
4. $G$-ko edozein elementutarako existitzen da bere alderantzikoa (elementu simetrikoa), hau da,$g\in G$guztientzat, existitzen da elementu bat,$g^{-1}$denotatua,
   $\quad \quad g\circledast g^{-1}=g^{-1}\circledast g=e.$

Batzuetan, sinplifikatzeko, «G talde bat da» esaten da, «($G$,$\circledast$) talde bat» dela adierazi nahi dugunean.

$G$talde bat abeldarra dela esango dugu,propietate kommutatiboabetetzen badu, hau da,$g_{1},g_{2}\in G$elementu guztientzat

$g_{1}\circledast g_{2}=g_{2}\circledast g_{1}$.

Taldeen teoriari buruzko ikerketaren aipamen historikoa eta egungo egoera

Taldearen kontzeptuaezezagun baten ekuazio aljebraikoenazterketatik sortu zen, 1830eko hamarkadanÉvariste Galoisekinhasiz. Zenbakien teoria eta geometria bezalako beste arlo batzuetatik egindako ekarpenen ondoren, taldearen nozioa orokortu egin zen, eta tinko ezarri 1870 inguruan.

Taldearen definizioa asoziatibitatea, elementu neutroa, alderantzizko elementua eta eragiketa bitarraren nozioa erabiliz, F.G. Frobeniusek formulatu zuen lehen aldiz, 1887an, ohartaraziz haiek frogatzen zituen teoremak proposatutako axiomen araberakoak soilik zirela eta permutazio-taldeen aparatura jo beharrik gabe, zeinak bere aurreko Cauchy, Jordan eta Sylow.11 erabiltzen baitzituzten.

Talde kommutatiboak dira, gainera,propietate kommutatiboaegiaztatzen dutenak, normaleanNiels Henrik Abelmatematikari daniarraren omenez abeltar talde bezala deituak direnak. Izan ere, bere ekarpen garrantzitsuan, kintika erradikalen bidez desbideratu zela frogatu zuen 1846an,Ruffinitikabiatuta, Abel-Ruffiniren teoremadeiturikoan eta bere ikerketetan talde kommutatiboak behin eta berriz erabiltzearen ondorioz. Geroago,Évariste Galoisekbereteoriaberriekin frogatu zuen S₅taldearen bereizmen ezak Abelek bosgarren graduko ekuazioaren ebazezintasunari buruz erradikalak erabiliz aurkitu zuenaren frogapen frogagarria.

Historian aztertutako lehen taldeak biderkatzaileak izan zirenez, haien nomenklatura eta notazioa modu hedatuan erabili zirentaldeen teoriandefinizio axiomatikoak eta abstraktuak orokortzeko; hala ere, nahitaez gomendagarria da aljebra abstraktuaren berezko notazioa eta nomenklatura erabiltzea.

Taldeen teoria modernoak (diziplina matematiko oso aktiboa) taldeak bere horretan aztertzen ditu.2. oharra Taldeak esploratzeko asmoz, matematikariek hainbat nozio asmatu dituzte taldeak azpisistema txikiagoetan, ulergarriagoetan, banatzeko, hala nola azpitaldeetan, talde zatitzaileetan eta talde sinpleetan. Bere propietate abstraktuez gain, taldeen teorikoek talde bat modu zehatzean adierazteko moduak ere aztertzen dituzte (taldearen errepresentazioak), bai ikuspuntu teoriko batetik, bai ikuspuntu konputazional batetik. Bereziki aberatsa den teoria bat talde finituentzat garatu zen, etatalde soil finituen sailkapenarekinamaitu zen, 1983an osatuta.3. Era berean, 1980ko erdialdeaz geroztik, talde geometrikoen teoria (sorkuntza finituko taldeakobjektu geometrikogisa aztertzen dituena) bereziki aktiboa bihurtu da taldeen teoria zabalean.

Taldeen teoriak garrantzi handia dufisikanzeinmatematikan,edozein egitura edo teoriatakoisomorfismoekbeti talde bat osatzen dutelako eta, kasurik garrantzitsuenetan, taldeak sailkatuta daudelako: dauden guztiak agortzen dituzten zerrendak ezagutzen dira. Lie taldeen sailkapena, funtseanÉlie Cartanekburutua, matematika europarraren puntu gorenetako bat da, matematika grekoak egindako 5 poliedro erregularren eraikuntzarekin bakarrik konpara daitekeena. Azken hori irudi geometriko simetriko posible guztien determinazioa den bezala, taldeen sailkapena edozein egituraren simetria posible guztien determinazioa da. Horrela, a priori, edozein teoria geometrikoren automorfismo-multzoak ezagutu ditzakegu. Gainera,Felix KleinenErlangen-em Programarenarabera, automorfismoen talde horrek dagokion teoria geometrikoa berreraikitzen du.

Fisikan ere, antzeko zerbait gertatzen da: sistema batekolagrangearrarensimetria-taldeak sistema horretako oinarrizko partikulei lotutako funtsezko propietateak zehazten ditu. Lie-ko taldeen sailkapenak simetria infinitesimalen balizko taldeen zerrenda ematen du, behin-behineko eta etorkizuneko eredu zientifikoetarako baliagarriak direnak.

Taldeen teoriako notazio eta nomenklatura

Axiomatika

$(G,\,\circledast )$bikoteak,multzobat adierazten du (ez dena derrigorrez zenbakizkoa).Gerabiltzen dugu taldea adierazteko eta$\circledast$barne-eragiketa bitarra(ez duena zertan operazio aritmetiko bat izan).

Beste letra larri batzuk ere erabil daitezke taldeak adierazteko; oro har, nahiago izaten daAletratikGarte erabiltzea,Cletra izan ezik (konplexuen taldea adierazten baitu). Lehenengo aukeraGizaten da.

Azpitaldeen kasuan, lehenengo aukeraHeta hurrengo letrak dira, honako hauek izan ezik: K (gorputzak), N (arruntak), R (errealak), I (identitatea edoirrazionalak), Q (arrazionalak) eta Z (osoak), edo azalpenaren argitasun falta eragiten duen beste edozein.

Taldeko elementuak letra xehez adierazten dira:a,b,c,d,f,g,...

Elementu simetrikoaktxapeltxoarekin markatutako letra berarekin adierazten dira:${\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}},{\bar {d}},{\bar {f}},{\bar {g}},...$.

Elementu neutroae letraz adierazten da.

Barne-konposizioaren legeak irudikatzeko, ikur hauek erabiltzen dira:$\odot \;,\quad \circledcirc \;,\quad \oplus \;,\quad \ominus \;,\quad \circledast \;,\quad \otimes \;,\quad \oslash \;.$

Biderketa notazioa

Testuliburuetan ohikoena da:

Eragiketa horribiderketaderitzo. Testuinguruaren arabera, ikur hauetakoren batekin adierazten da (besteak beste):

$\cdot \;,\quad \bullet \;,\quad \ast \;,\quad \star \;,\quad \odot \;,\quad \times \;,\quad \otimes$

Ohikoena "bider" ($\cdot$) zeinua erabiltzea da. Elementu batek bere buruarekin duen biderkadura errepikatua honela adierazten da:

$\quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{aldiz}}}$

$a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}$.

eelementu neutroada, eta 1 bezala izendatzen daeelementuaren ordez. Bi talde edo gehiagoren arteko nahasketa egon daitekeenean,elementu neutroarenikurra azpiindize batekin adierazten da, G-n bezala, G taldeko bat izendatzeko.

Elementu simetrikoa:biderketa-multzoetanalderantzizko elementuaderitzo, eta$x^{-1}$notazioa du. Bi zenbakirenzatiketa,«:» edo «/» ikurrez sinbolizatua, zenbaki baten eta bestearen arteko biderkadura da.${\frac {a}{b}}$motako notazioak zenbaki-taldeentzat erreserbatu ohi dira (oro har, abeldarrak), bestela$a^{-1}\cdot b$eta$b\cdot a^{-1}$nahas baitaitezke, eta desberdinak izan daitezke. Oro har, alderantzizkoarentzat hobe da$a^{-1}$notazioa${\frac {1}{a}}$baino.

Batuketa Notazioa

Batuketa-notazioa talde abeldarrentzat soilik erabiltzen da.

Eragiketaren ikur gisa, «+» batuketarena erabiltzen da. Elementu batek bere buruarekin duen batuketa errepikatua honela adierazten da.

$\quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{aldiz}}}$

$na=\overbrace {a+a+a+...+a}$.

Batuketarakoelementu neutroa0-z adierazten da, e-ren ordez, eta zeroa edo elementu nulua esaten zaio. Bi talde edo gehiagoren arteko nahasketa dagoenean, zeroaren sinboloa azpiindize batekin adierazten da,G-n bezala, taldearen zeroari berariaz erreferentzia egiteko. x elementu baten simetrikoa (-x) gisa adierazten da. Testuinguru horretan, x-ren aurkako elementua edo elementu negatiboa esaten zaio.Batuketa-notazioa zorrotz aplikatuz,x + (-y)idatzi behar litzateke, baina sarritanx - yerabiltzen da, eta bi zenbakiren arteko kenketa lehenengoaren eta bigarrenaren kontrakoaren batura gisa definitzen da. Edozein multzotan,(-x)-ren alderantzizkoa x da, eta, beraz,-(-x)=xbehar da.

Aurrekoan ez da onartzen x positiboa denik eta -x negatiboa denik; izan ere, beste arrazoi batzuen artean,batuketa-notazioa erabiltzen den talde batzuetan ez dago elementuaren zeinuaren nozio intrintsekorik, hala nolazenbaki konplexuetanedobektoreetan.

Taldeko axiomen ondorio nagusiak

Oinarrizko emaitzak

• Elementu neutroabakarra da.

Froga

Demagun$e_{1}$eta$e_{2}$taldeko elementu neutroak direla; orduan, definizioz,$e_{1}$$\circledast$$e_{2}$=$e_{1}$eta$e_{1}$$\circledast$$e_{2}$=$e_{2}.$Beraz,$e_{1}$=$e_{2}$;eta elementu neutroa bakarra da.

• Alderantzizko elementuabakarra da.

Froga

Demagun$g$elementuak bi alderantzizko dituela$g_{1}$eta$g_{2}$.Orduan,$g_{2}=(g_{1}\circledast g)\circledast g_{2}=g_{1}\circledast g\circledast g_{2}=g_{1}\circledast g\circledast g_{2}=g_{1}\circledast (g\circledast g_{2})=g_{1}$da. Beraz, alderantzizko elementua bakarra da.

• $G$-ren elementuak sinplifikagarriak dira$\circledast$-rekiko:

Izan bitez$a,b,c\in G$.Baldin$a\circledast c=b\circledast c$,orduan$a=b$

Froga

$a\circledast c=b\circledast c\Rightarrow a\circledast c\circledast c^{-1}=b\circledast c\circledast c^{-1}\Rightarrow a\circledast e=b\circledast e\Rightarrow a=b$

Bestelako adibideak

Zenbaki osoak

Zenbaki osoentaldea batuketarekin,$(\mathbb {Z},\,+)$denotatua, lehenago deskribatu da.Biderketarekin,ordea,zenbaki osoekez dute talde bat osatzen.Elkartze-propietateaetaelementu neutroarenexistentzia betetzen dira, baina ez da betetzen alderantzizkoaren existentzia. Adibidez: a = 2zenbaki osoada, baina$a\cdot b=1$ekuazioaren emaitza bakarra$b=1/2$da,$b$zenbaki arrazionala izanik. Beraz,$\mathbb {Z}$-ren elementu guztiek ez dute alderantzizkorik.

Zenbaki arrazionalak

Zenbaki osoezosatutakozatikieizenbaki arrazionalderitze, eta haienmultzoa$\mathbb {Q}$izendatzen da.

Zenbaki arrazionalekbiderketarekin,$(\mathbb {Q},\,\cdot )$,ez dute talde bat osatzen: zerok ez dualderantzizko elementurik(ez da existitzen$x\in \mathbb {Q}$zeinetarako$x\cdot 0=1$).

Ostera,zenbaki arrazionalez-nulu guztienmultzoak($\mathbb {Q} \setminus \{0\}=\{q\in \mathbb {Q}:q\neq 0\}$)biderketarekintalde abeldarra osatzen du.

Talde ziklikoak

Taldeen teorian,talde ziklikobat elementu bakar batek sor dezakeena da; hau da,Gtaldean a elementu bat dago (G-ren "sorgailu" deritzona), G-ren elementu guztiak a elementuarenberreketagisa adieraz ditzakeena. Taldearen eragiketa batuz adierazten bada, esango da G-ren elementu guztiak a elementuarenmultiplogisa adieraz daitezkeela,nosorako. Beste era batera esanda,Gziklikoa da eta a sorgailua, baldin etaG= {aⁿ|n∈Z}.

G-ren elementu batek sortutako talde bat berez G azpitalde bat denez, nahikoa da frogatzea a duen G azpitalde bakarra G bera dela, hau ziklikoa dela frogatzeko. Adibidez,G= {e,g¹,g²,g³,g⁴,g⁵} ziklikoa da. Izan ere,G,funtsean, {0, 1, 2, 3, 4, 5}multzoarenberdina da (hau da, honen isomorfoa), 6 moduluko batuketaren azpian.

Horregatik,talde ziklikoakisomorfoak diren talde "kanonikoaren" bidez adierazten dira normalean: taldea n ordenakoa bada, eta n osoa bada, talde hori zenbaki osoenZ_ntaldea da {0,...,n-1} motakoazpimultzoanmoduluarekin. Infinitua bada, hau da, espero daitekeen bezala,Z.Z_nnotazioa, eskuarki, zenbakien teoristek ekiditen dute, ohiko notazioarekin nahas baitaiteke zenbaki p-adikoetarako. Aukera bat talde zatitzailearen notazioa erabiltzea da.

Z/nZbeste irtenbide bat eragiketa biderketa bidez denotatzea da, etaCn= {e,a1,a2,...,an-1} taldea irudikatzea. Baina, bi notazio horiek ez diraZnbezain ezagunak.

Propietateak

Sarreran esandakoagatik, edozeintalde ziklikoZ_nedoZ-riisomorfoada. Nahikoa datalde ziklikoakoro har ulertzeko talde horiek aztertzea. n ordenakoGtalde zikliko bat emanik (non n infinito izan daiteke), etag∈Gizanik, hau dugu:

• Gtalde abeldarra; hau da, bere eragiketakommutatiboada:ab=baedozein a, b ∈ G. Hori egia da,a,b∈Gedozein bikoterako,a+bmodn=b+amodnbaita.
• n< ∞, orduangⁿ=e,zeren etanmodn= 0.
• n= ∞ bada, taldeak bi sorgailu ditu zehazki: 1 eta -1Z-n, eta irudiisomorfikoakbestetalde ziklikoinfinitubatzuetan.
• Gazpimultzoaziklikoa da. Hain zuzen,nfinitorako,Gazpitalde oroisomorfodaZ_mbatean, nonm, n-ren zatitzailea baita; etaninfinitua bada,Gazpitalde oromZazpitalde bati dagokio (hori ere Zisomorfoada).

Z_n-ren sorgailuakn-rekin erlatiboak diren lehen osoak dira. Sorgailu horien kopurua φ(n) bidez adierazten da, non φ Eulerren funtzioa baita. Oro har,dn-ren zatitzailea bada,dordenakoZ_nelementuen kopurua φ(d) da. m elementuaren ordena n /zkh(m,n) da.

Kanpo estekak

• Datuak:Q83478
• Multimedia:Group theory/Q83478