Elipse

Geometrian,elipseabi puntu finkoetarako distantzien batura konstantea duten planoko puntu guztienleku geometrikoada. Aldi berean,konobati ebakidura zeihar bat egitean agertzen den kurba da. Horrela, elipseakonika-mota bat da,parabolaetahiperbolabezala.Zirkunferentziaelipse berezi bat da, zeina konoari ebakidura zuzen bat eginez agertzen den.

Errealitatean maiz agertzen den kurba bat da. Horrela,eguzki-sistemakoplanetekelipse motakoorbitabatean zehar egiten dute biraeguzkiareninguruan. Zirkunferentzia bat proiektatuz sor daitekeen kurba ere bada elipsea.

Elipsebateko puntuetatikF₁etaF₂bi puntu finkoetarako distantzien batura berdina da beti. Bi puntu finkoeifokuderitze.

Elipseakono bat plano zeihar batez ebakitzean sortzen denkonikada.

Saturnokoeraztunek zirkunferentzia bat osatzen dute, baina proiekzio efektu bat dela eta, zeihar behatzen badira, elipse moduan agertzen dira.

Planetekelipsebati jarraiki egiten dute biraeguzkiareninguruan eta elipse horretan eguzkia foku batean dago kokaturik,Keplerren lehenengo legearenarabera.

Elipse baten elementuak

Elipse baten elementuak.

Elipsearenzentroa0 puntuan kokaturik,ardatz nagusia-atikara doan zuzenkia da etaardatz txikia-btikbra doana. Bi ardatzakelkarzutakdira eta elipsearen simetria-ardatzak dira gainera.

Fokuak-cetacpuntuetan kokaturik daude, zentrotik distantzia berera. Elipseko puntu orotik bi fokuetara dagoen distantzien batura bat dator ardatz nagusiaren luzerarekin: 2a. Gainera, berdintza hau betetzen da:a²+b²=c².

Elipseareneszentrikotasunahonela definitzen da:e=c/a.Beraz,c=eabetetzen da. Eszentrikotasuna zenbat eta txikiagoa izan, elipsea orduan etaborobilagoada.

Zuzentzaileak-DetaDdira eta fokuen bertikaletik elipsearen zuzentangenteakardatz nagusiarekiko ebaki-puntuan altxatzen direnelkarzutakdira. Gainera, eszentrikotasuna zuzentzaileen arteko distantziaren eta ardatz nagusiaren luzeraren arteko konstanteproportzionalaere bada:e=2a/2d=a/d.

Elipsearen ekuazioak

Ekuazio kanonikoa

Elipsearen ekuazio kanonikoa bere ardatzak abzisa eta ordenatuen ardatzekiko paraleloak direnean erabiltzen da.

• Elipsea ardatz nagusiaXardatza bada eta zentrua (0,0) puntuan ez badago:

${\frac {(x-x_{1})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{1})^{2}}{b^{2}}}=1$

• Elipsearen ardatz nagusiaXardatza bada eta zentrua (0,0) bada:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

• Elipsearen ardatz nagusiaYardatza bada eta zentrua (0,0) puntuan ez badago:

${\frac {(x-x_{1})^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(y-y_{1})^{2}}{a^{2}}}=1$

• Elipsearen ardatz nagusiaYardatza bada eta zentrua (0,0) bada:

${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1$

Frogapena, ardatz nagusiaXardatza izanik, puntu batetik fokuetarako distantzien batura erabiliz egiten da:

• elipsearen$x,\ y\,$puntu batetik$F_{1}:(-c,0)\,$eta$F_{2}:(c,0)\,$fokuetarakodistantzienbatura konstantea eta$2a\,$ardatz nagusiarekin bat datorrenez:

$d(P,F_{1})+d(P,F_{2})=2a\rightarrow \,$

${\sqrt {(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}}=2a\,;$

• bigarren erroa beste aldera eraman ondoren, karratura berretuz:

$(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}}+(x-c)^{2}-y^{2}\,;$

• erroa bakanduz eta laburtuz:

${\begin{aligned}{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}}&={\frac {-1}{4a}}(x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}-4a^{2}-x^{2}+2xc-c^{2}-y^{2})\\&=-{\frac {1}{4a}}{4xc-4a^{2}}\\&=a-{\frac {c}{a}}x.\end{aligned}}$

• bi aldeak karratura berretuz eta laburtuz:

${\begin{aligned}x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}&=a^{2}-2cx+{\frac {c^{2}}{a^{2}}}x\\x^{2}{\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}}}+y^{2}&=a^{2}-c^{2}\\{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}&=1.\end{aligned}}$

• $b^{2}=c^{2}-a^{2}\,$aldaketa eginez:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Zentroa$x_{1},\ y_{1}\,$puntuan dagoenean nahikoa da, zentroa jatorria bihurtu$X=x-x_{1}\,$eta$Y=y-y_{1}\,$aldagai-aldaketak erabiliz, aurreko formula erabili eta ondoren, aldagai-aldaketa desegin. Ardatz nagusia bertikala denena,$x\,$eta$y\,$aldagaiak aldatzea besterik ez da egin behar.

$2b\,$ardatz txikiaren luzera da,$x=0\,$eginez,$y=\pm b\,$elipseko puntuen arteko aldea, hain zuzen.

Lau puntuetatik igarotzen den elipsea

Lau punutuetatik elipse bakarra igarotzen da.

Konziklikoakez diren, hots, zirkunferentia berean ez dauden lau puntuetatik elipse bakarra igarotzen da. Puntuak$(x_{1},\ y_{1}),(x_{2},\ y_{2}),(x_{3},\ y_{3}),(x_{4},\ y_{4})$izanik,determinantehau garatuz eratzen da elipsearen ekuazioa:

${\begin{vmatrix}x^{2}&y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}&y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}&y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}&y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\x_{4}^{2}&y_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&1\end{vmatrix}}$

Kanpo estekak

• Datuak:Q40112
• Multimedia:Ellipses/Q40112