Briggsin logaritmi

Briggsin logaritmielikymmenkantainen logaritmi,dekadinen logaritmitaidesimaalinen logaritmion matematiikassalogaritmi,jonka kantaluku on 10. Nimen Briggsin logaritmi se on saanut englantilaisen matemaatikkoHenry Briggsin(1561–1630) mukaan, joka teki sen tunnetuksi.

Merkinnät

Briggsin logaritmille käytetään merkintää log₁₀xtai lgx,joskus myös Logxisolla L:llä. Viimeksi mainittu merkintätapa ei kuitenkaan ole yksiselitteinen, sillä se saattaa tarkoittaa kompleksiluvunluonnollisen logaritminpäähaaraa.Laskimissanäppäimessä, jolla Briggsin logaritmi saadaan, on tavallisesti merkintä” log”, mutta matemaatikot tarkoittavat merkinnällä” log” tavallisimmin luonnollista logaritmia. Tämän sekaannuksen poistamiseksiISO-standardissa 80000-2 (2009) on suositeltu, että Briggsin logaritmi tulisi merkitä log₁₀(x) tai lg (x) ja luonnollinen logaritmi log_e(x) tai ln(x). ^[1]

Sovelluksia

Logaritmitaulukot laskutoimitusten apuvälineinä

Ennen kuintaskulaskimet1970-luvulla yleistyivät, logaritmeilla ja nimenomaan Briggsin logaritmeilla oli noin 300 vuoden ajan ollut suuri merkitys laskutoimitusten apuvälineinä. Tämä käyttö perustui edellä esitettyyn kaavaan, jonka mukaan lukujen tulon logaritmi on sama kuin tekijöiden logaritmien summa:

$\log _{10}(xy)=\log _{10}(x)+\log _{10}(y)\,$ ^[2]

Vastaavasti kahden luvun osamäärän logaritmi on sama kuin lukujen logaritmien erotus:^[2]

$\log _{10}({\frac {x}{y}})=\log _{10}(x)-\log _{10}(y)\,$

Jos siis on käytettävissä taulukko eri lukujen logaritmeista, voidaan täten kerto- jajakolaskukorvata yhteen- ja vähennyslaskulla, jotka ovat moninumeroisilla luvuilla paljon helpompi suorittaa kynällä ja paperilla kuin edelliset.Kertolaskuvoidaan suorittaa katsomalla taulukosta tekijöiden logaritmit, lasketaan ne yhteen ja katsotaan sitten, minkä luvun logaritmi summa on. Jakolasku taas voidaan suorittaa katsomalla taulukosta jaettavan ja jakajan logaritmit, vähentämällä jälkimmäinen edellisestä ja katsomalla sitten, minkä luvun logaritmi erotus on.

Logaritmitaulukkoja on julkaistu kirjoissa, joihin on taulukoitu esimerkiksi välillä 1–10 olevat luvut 0,01:n välein ja niiden Briggsin logaritmit tai kokonaislukujen 1000–9999 Briggsin logaritmit.^[3]Muiden kuin tällä välillä olevien lukujen logaritmit saadaan lisäämällä tai vähentämällä näistä luku, joka osoittaa, kuinka monta kertaa annettu luku on kerrottava tai jaettava 10:llä, jotta tulos olisi tällä välillä. (Esimerkiksi lg 200 = lg 20000 − 2 (= lg 20000 − lg 100), koska 10 · 10 · 200 = 20000.)

Taulukosta ilmenee, että esimerkiksi luvun 1,20 Briggsin logaritmi on lg 1,20 = 0,079181. Tällöin luvun 120 logaritmi saadaan seuraavasti:

\log _{10}120=\log _{10}(10^{2}\cdot 1{,}2)=2+\log _{10}1{,}2\approx 2+0{,}079181.

Briggsin logaritmi kirjoitetaankin usein kahden luvun summaksi, joista ensimmäinen onkokonaisluku,kun taas jälkimmäinen on puoliavoimella välillä 0…1. Edellistä sanotaan logaritminkarakteristikaksi,jälkimmäistämantissaksi.^[4]Luvun 120 logaritminkarakteristikaon siis 2, mantissa 0,079181. Nimenomaan logaritmien mantissat on taulukoitu logaritmitaulukossa.

Välillä 0…1 olevien lukujen logaritmit ovat negatiivisia. Esimerkiksi:

\log _{10}0{,}012=\log _{10}(10^{-2}\cdot 1{,}2)=-2+\log _{10}1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819

Jottei tarvittaisi erillisiä taulukoita positiivisten ja logaritminen muuntamiseksi takaisin niitä vastaaviksi alkuperäisiksi luvuiksi, on otettu käyttöön merkintä, jossa karakteristikan yläpuolelle kirjoitetaan viiva:

\log _{10}0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181

Viiva karakteristikan yläpuolella tarkoittaa, että se on negatiivinen, kun taas sen jäljessä oleva mantissa on positiivinen.

Eräiden toisistaan 10:n potenssikertoimella eroavien lukujen Briggsin logaritmit, niiden karakteristikat ja mantissat
luku	logaritmi	karakteristika	mantissa	logaritmi yläviivamerkinnällä
n(= 5 × 10ⁱ)	log₁₀(n)	i(=floor(log₁₀(n)) )	log₁₀(n) − karakteristika
5 000 000	6,698 970…	6	0,698 970…	6,698 970…
50	1,698 970…	1	0,698 970…	1,698 970…
5	0,698 970…	0	0,698 970…	0,698 970…
0,5	−0,301 029…	−1	0,698 970…	1,698 970…
0,000 005	−5,301 029…	−6	0,698 970…	6,698 970…

Mantissa on siis sama kaikkien muotoa 5 · 10ⁱolevien lukujen Briggsin logaritmeissa. Sama pätee kaikille positiivisillereaaliluvuille $x$ ,koska:

\log _{10}(x\cdot 10^{i})=\log _{10}(x)+\log _{10}(10^{i})=\log _{10}(x)+i

.

Koska $i$ on aina kokonaisluku, mantissa saadaan lausekkeesta $\log _{10}(x)$ ,joka annetullax:n arvolla on vakio. Tästä syystä logaritmitaulukossa tarvitaan vain yksi luku kutakin mantissan arvoa kohti. Jos esimerkiksi luvun 5 logaritmi tunnetaan, saadaan lukujen 0,5, 50, 500 ja 5000 logaritmit yksinkertaisesti lisäämällä siihen tai vähentämällä siitä kokonaisluku.

Seuraava esimerkki kuvaa sitä, miten logaritmitaulukon ja viivamerkinnän avulla voidaan laskea tulo 0,012 · 0,85. Taulukosta saadaan, että lg (1,2) = 0,079171 ja lg 8,5 = 0,929419. Saadaan:

{\begin{array}{rll}{\text{Kuten edella,}}&\log _{10}0{,}012\approx {\bar {2}}{,}079181\\{\text{Koska}}\;\;\log _{10}0{,}85&=\log _{10}(10^{-1}\cdot 8{,}5)=-1+\log _{10}8{,}5&\approx -1+0{,}929419={\bar {1}}{,}929419\;,\\\log _{10}(0{,}012\cdot 0{,}85)&=\log _{10}0{,}012+\log _{10}0{,}85&\approx {\bar {2}}{,}079181+{\bar {1}}{,}929419\\&=(-2+0{,}079181)+(-1+0{,}929419)&=-(2+1)+(0{,}079181+0{,}929419)\\&=-3+1{,}008600&=-2+0{,}008600\;^{*}\\&\approx \log _{10}(10^{-2})+\log _{10}(1{,}02)&=\log _{10}(0{,}01\cdot 1{,}02)\\&=\log _{10}(0{,}0102)\end{array}}

* Viimeisellä askelella saadaan mantissa lukujen 0 ja 1 välille, siten että antilogaritmi eli 10^mantissavoidaan katsoa taulukosta.

Myöslaskutikkuperustuu samoihin logaritmifunktion ominaisuuksiin.

Laskutikussaluvut on asetettu toisistaan etäisyyksille, jotka ovat verrannollisia niiden logaritmien erotukseen. Laskemalla yhteen lukujen 1 ja 2 etäisyys alemmalla asteikolla sekä lukujen 1 ja 3 etäisyys ylemmällä asteikolla saadaan näiden tulo 2 · 3 = 6.

Mitta-asteikkoja

Muutamille suureille, joiden arvot vaihtelevat hyvin laajoissa rajoissa, käytetään yleisesti Briggsin logaritmiin perustuvaalogaritmista asteikkoa.Tällöin jonkin fysikaalisen suureen todellisen arvon kymmenkertaistuessa siitä logaritmisella asteikolla käytetty mittaluku muuttuu aina saman verran. Tällaisia asteikkoja ovat esimerkiksi:

liuoksen happamuutta tai emäksisyyttä mittaavapH,joka on liuoksenoksoniumionikonsentraationBriggsin logaritmin vastaluku^[5]
äänenvoimakkuudendesibeliasteikko
tähdenmagnitudi,joka on määritelty kaavalla $m=-2{,}5log{\frac {F}{F_{0}}}$ ,missä F on tähdestä saapuvan valonintensiteettijaF₀asteikon sovittua nollakohtaa vastaava intensiteetti.^[6]

Logaritmin arvon laskeminen

Annetun luvunluonnollinen logaritmivoidaan laskea esimerkiksisarjakehitelmiä.Niiden avulla saadaan myös 10-kantainen logaritmi lasketuksi käyttämällä seuraavaa muunnoskaavaa:

\log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\qquad {\text{ tai }}\qquad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}

Käännös suomeksi

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli:en:Common logarithm

Lähteet

Michael Möser:Engineering Acoustics: An Introduction to Noise Control,s. 448. Springer, 2009. 978-3-540-92722-8.
A. D. Poliyanin, A. V. Manzhirov:Handbook of mathematics for engineers and scientists,s. 9. CRC Press, 2007. ISBN 978-1.-54588-502-3.

Viitteet

↑ISO 80000-2 (2009), Exponential and Logarithm FunctionsISO. Viitattu 28.2.2015.
↑^a ^bYngve Lehtosaari, Jarkko Leino:” Logaritmien laskukaavat”,Matematiikka 11,s. 62. Kirjayhtymä, 1974.ISBN 951-26-0078-1.
↑esim.Esko Ranta, Lennart Ekbom:” lg x”,Matematiikan taulukot,s. 36–55. WSOY, 1973.ISBN 951-0-05129-2.
↑Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino:” Numeeriset laskut logaritmeilla”,Matematiikka 11,s. 66. Kirjayhtymä, 1974.ISBN 951-26-0078-1.
↑Matti Tiilikainen, Ilkka Virtamo:” Protolyysireaktiot vedessä ja pH”,Kemia 1,s. 103–104. WSOY, 1968.
↑Hannu Karttunen, Heikki Oja, Pekka Kröger, Markku Poutanen:” Näennäiset magnitudit”,Tähtitieteen perusteet,s. 117. Tähtitieteellinen yhdistys Ursa, Valtion painatuskeskus, 1984.ISBN 951-859-367-1.

Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri:Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.Helsinki: Otakustantamo, 1969.ISBN 951-671-022-0.
Pitkäranta, Juhani:Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013)(pdf)Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry.ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

[1] ISO 80000-2 (2009), Exponential and Logarithm FunctionsISO. Viitattu 28.2.2015.

[LL62-2] Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino:” Logaritmien laskukaavat”,Matematiikka 11,s. 62. Kirjayhtymä, 1974.ISBN 951-26-0078-1.

[3] sim.Esko Ranta, Lennart Ekbom:” lg x”,Matematiikan taulukot,s. 36–55. WSOY, 1973.ISBN 951-0-05129-2.

[4] Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino:” Numeeriset laskut logaritmeilla”,Matematiikka 11,s. 66. Kirjayhtymä, 1974.ISBN 951-26-0078-1.

[5] Matti Tiilikainen, Ilkka Virtamo:” Protolyysireaktiot vedessä ja pH”,Kemia 1,s. 103–104. WSOY, 1968.

[6] Hannu Karttunen, Heikki Oja, Pekka Kröger, Markku Poutanen:” Näennäiset magnitudit”,Tähtitieteen perusteet,s. 117. Tähtitieteellinen yhdistys Ursa, Valtion painatuskeskus, 1984.ISBN 951-859-367-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Briggsin logaritmi

Sisällys

Merkinnät

Sovelluksia

Logaritmitaulukot laskutoimitusten apuvälineinä

Mitta-asteikkoja

Logaritmin arvon laskeminen

Lähteet

Viitteet

Kirjallisuutta

Navigointivalikko

Briggsin logaritmi

Merkinnät

Sovelluksia

Logaritmitaulukot laskutoimitusten apuvälineinä

Mitta-asteikkoja

Logaritmin arvon laskeminen

Lähteet

Viitteet

Kirjallisuutta

Navigointivalikko

Haku