Lukuteoria

Ulamin spiraaliesittää alkulukujen jakautumista, joka on keskeinen kysymys lukuteoriassa.

Lukuteoriaonmatematiikanala, joka perinteisesti keskittyyluonnollisten lukujentutkimukseen, esimerkiksi niidenjaollisuuteenjaalkulukuihin.Nykyään lukuteoria voi käsitellä myös laajempia lukujoukkoja.Lukuteoria on yksi vanhimmista matematiikan aloista, sillä sen juuret ulottuvat kauas menneisyyteen aina 4 000 vuoden päähän.

Carl Friedrich Gaussinon väitetty sanoneen: "Matematiikka on tieteiden kuningatar ja lukuteoria on matematiikan kuningatar." Lukuteorialle on leimallista, että monet sen merkittävät ongelmat ovat helppoja maallikoillekin käsittää, mutta niiden ratkaisut ovat usein hyvin monimutkaisia ja vaativat useiden eri matematiikan alojen tuntemusta.

Lukuteoria voidaan jakaa eri osa-alueisiin, kutenanalyyttiseenjaalgebralliseen lukuteoriaan.

Historia

Antiikinmatemaatikoistamerkittäviä lukuteorian tutkijoita ja kehittäjiä olivatPythagoras,EukleidesjaDiofantos.Antiikin ajan jälkeen lukuteoriaa kehittivät muun muassaAryabhataIntiassa jaIbn al-Haythamislamilaisessa maailmassa. Modernin länsimaisen lukuteorian isänä voidaan pitää 1600-luvulla elänyttä ranskalaista lakimiestä ja matemaatikkoaPierre de Fermat'ta.

Jälkipolville Fermat'n nimi on tullut tunnetuksi kahdesta hänen nimeään kantavasta ongelmasta,Fermat'n pienestä lauseestajaFermat'n suuresta lauseesta.Fermat'n suuri lause oli pitkään kenties matematiikan kuuluisin ratkaisematon ongelma, kunnesAndrew Wilesratkaisi sen 1990-luvulla. Työskentely ongelman parissa synnytti jopa uusia matematiikan lajeja, ja nämä aluevaltaukset ovat monesti olleet merkittävämpiä kuin lause itse.

Fermat'n jälkeen suuria lukuteoreetikkoja ovat olleet muun muassaLeonhard Euler,Joseph-Louis LagrangejaCarl Friedrich Gauss.Nykyäänkin lukuteoria on elävä matematiikan ala. Suomen tunnetuimpia nykyisiä lukuteoreetikkoja onKaisa Matomäki.

Lukuteorian peruskäsitteitä

Lukuteoriassajaollisuudentutkimus on keskeisessä roolissa. EsimerkiksiEukleideen algoritmillavoidaan löytää kahden kokonaisluvunsuurin yhteinen tekijä.Tärkeitä objekteja lukuteoriassa ovatalkuluvut.Suuri kysymys on esimerkiksi lukujenjakaminen alkulukutekijöihinja alkulukujen löytäminen. Usein käytetty työkalu lukuteoriassa onkongruenssi,joka perustuujakoyhtälöön.

Ratkaisemattomia lukuteoreettisia ongelmia

Lukuteoriassa on paljon ongelmia, jotka on melko helppo selittää, mutta joille ei ole tähän mennessä löydetty ratkaisuja. Alla esimerkkinä muutamia.

• Goldbachin konjektuuri,joka väittää että mikä tahansa kahta suurempiparillinen lukuon kahden alkuluvun summa.
• Väite, ettäalkulukukaksosia,eli alkulukuja joiden erotus on 2, on ääretön määrä.
• Collatzin konjektuuri,jonka mukaan tietty yksinkertaineniteraatiopäätyy ennen pitkää aina arvoon 1.
• Onko olemassa parittomiatäydellisiä lukuja?
• Riemannin hypoteesiapidetään yhtenä matematiikan tärkeimmistä ratkaisemattomista ongelmista. Se liittyyRiemannin zeeta-funktionnollakohtiin, mutta on hieman monimutkaisempi esittää kuin yllä mainitut ongelmat.

Sovellukset

Lukuteoriaa pidettiin pitkään puhtaasti teoreettisena matematiikan osa-alueena, mutta nykyään sen tuottamia tietoja käytetään hyväksi muun muassakryptografiassa.Monet salausmenetelmät, kutenRSA,perustuvatkokonaislukujen tekijöihinjakoon.

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas:Matematiikan käsikirja.Helsinki: Tammi, 1994.ISBN 951-31-0471-0
• Haukkanen, Pentti:Lukuteoriaa

Aiheesta muualla

• Encyclopaedia Britannica: number theory(englanniksi)