Odotusarvo

Odotusarvoontodennäköisyyslaskennassajatilastotieteessäsatunnaisilmiöntuottamien lukujen odotettavissa oleva arvo. Numeerisia lukuarvoja tuottavia satunnaisilmiöitä kutsutaansatunnaismuuttujiksi.Satunnaismuuttujan tuottamat luvut ja niidentodennäköisyydetmuodostavat yhdessätodennäköisyysjakauman.Odotusarvo on todennäköisyysjakauman ensimmäinentunnuslukuelimomentti.

Keskiarvoja odotusarvo samaistetaan usein toisiinsa, vaikka odotusarvo on todennäköisyyslaskennan käsite ja keskiarvo lukuihin liittyvä tilastotieteen käsite. Odotusarvo saadaan laskemalla keskiarvo äärettömän monesta, yhden satunnaismuuttujan tuottamasta luvusta. Se voidaan myös tulkita keskiarvoksi äärettömän monesta äärellisen kokoisesta otoskeskiarvosta. Odotusarvolla on samayksikkökuin satunnaismuuttujalla.

Määritelmä ja merkinnät

Odotusarvo voidaan merkitä eri tavoilla$\operatorname {E} (X)=\mu _{X}=\mu =\langle X\rangle.$

Matemaattisesti odotusarvo$\operatorname {E} (X)$määritelläändiskreeteillejajatkuvillesatunnaismuuttujille erikseen.

Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetin satunnaismuuttujan$X$saamien kaikkien arvojenjoukkoakutsutaan todennäköisyyslaskennassaperusjoukoksija se merkitään$\Omega =X=\{x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\}.$Kunkin arvon esiintymistodennäköisyyttä merkitään vastaavasti$p_{1},p_{2},\dots {\text{ ja }}p_{n}.$Näitä todennäköisyyksiä kutsutaan useinpistetodennäköisyyksiksija niitä saatetaan merkitä myös

$p_{i}=p(x_{i})=f_{X}(x_{i}),$

jossa funktioita$p(x_{i})$ja$f_{X}(x_{i})$kutsutaanpistetodennäköisyysfunktioiksi.

Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo määritellään nyt (eri merkintätapoja käyttäen)

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}=\sum _{x_{i}\in \Omega }x_{i}p(x_{i})=\sum _{x_{i}\in X}x_{i}f_{X}(x_{i}).$

Esimerkkinä nopanheitto

Pisteluvun odotusarvo kuusitahoiselle nopalle, jonka kaikkien pistelukujen todennäköisyys on yhtä suuri, on

$\operatorname {E} (X)=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3{,}5$.

Noppapelissä pelaaja voi odottaa etenevänsä pelilaudalla noin 3,5 askelta kierrosta kohti.

Jatkuva satunnaismuuttuja

Jatkuvan satunnaismuuttujan$X$saamien reaalilukuarvojen joukko muodostaa vähintään yhden yhtenäisen lukuvälin$I$,joka on reaalilukujen osajoukko. Luvut$I$muodostavat satunnaismuuttujan perusjoukon$\Omega$ja se voidaan merkitä$I=\Omega \in \mathbb {R}$.Reaalilukuja ei voida luetella, joten yksittäiseen lukuun liittyvää todennäköisyyttäkään ei voida esittää luettelemalla. Sen sijaan jokaisen välin$I$luvulle voidaan liittää lukuarvo käyttämällä funktiota. Tätä funktiota kutsutaan todennäköisyyslaskennassatiheysfunktioksi.Tiheysfunktion arvot eivät ole suoraan todennäköisyyksiä, mutta sen avulla voidaan eritapahtumillelaskea ne.

Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on$f_{X}(x)$ja tämän avulla määritellään satunnaismuuttujan odotusarvo

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)\,dx$.

Yleisempi jatkuva määritelmä

Määritellään satunnaismuuttujan$X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$odotusarvointegraalinayli satunnaismuuttujan perusjoukon$\Omega$todennäköisyysmitan$P$suhteen

$\operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,dP$.

Tämä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan$X$kertymäfunktion$F$suhteenLebesgue–Stieltjes-integraalilla

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }x\,dP(X\leq x)=\int _{-\infty }^{\infty }x\,dF(x)$.

Satunnaismuuttujan funktion odotusarvo

Jos$g(x)$on mitallinen funktio, voidaan laskea sillekin odotusarvo$\operatorname {E} (g(X)).$Jos$X$on diskreetti satunnaismuuttuja, on odotusarvo

$\operatorname {E} (g(X))=\sum _{x_{i}\in X}g(x_{i})f_{X}(x_{i}).$

ja jos se on jatkuva, saadaan odotusarvoksi

$\operatorname {E} (g(X))=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx$

Tällä ajattelulla on mahdollista määrittää esimerkiksiorigomomentteja$\operatorname {E} (X^{2})\dots$$\operatorname {E} (X^{n})$taikeskusmomentteja$\operatorname {E} ((X-\mu )^{n}).$

Ehdollinen odotusarvo

Satunnaismuuttujan$X$ehdollinen odotusarvoalisigma-algebralla${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$on${\mathcal {G}}$-mitallinen satunnaismuuttuja$\mathrm {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})$,jolle yhtälö

$\int _{G}\mathrm {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})\,dP=\int _{G}X\,dP$

pätee kaikilla$G\in {\mathcal {G}}$.Satunnaismuuttujan$X$ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja$Y$on$\mathrm {E} (X\,|\,\sigma (Y))$,missä$\sigma (Y)$tarkoittaa satunnaismuuttujan$Y$virittämää sigma-algebraa.

On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla$G\in {\mathcal {G}}$on$\mathrm {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})(\omega )$,missä$\omega \in G$on reaaliluku.

Ominaisuuksia

Todennäköisyysmassallatarkoitetaan todennäköisyyslaskennassa pistetodennäköisyysfunktion pylväikköä tai tiheysfunktion kuvaajan alle jäävää aluetta. Odotusarvo on sellainen satunnaismuuttujan arvo, joka vastaa tämän alueenpainopistettä.Symmetrisen jakauman keskikohta on myös jakauman odotusarvo.

Satunnaismuuttujan$X$,jonka ulostuloina on vain vakion$a$arvoja, odotusarvo on

$\operatorname {E} [X]=a.$

Tästä seuraa myös, että$\operatorname {E} [\operatorname {E} [X]]=\operatorname {E} [X]=a.$

Odotusarvon olemassaolo

Todennäköisyysjakaumalla ei välttämättä ole olemassa odotusarvoa, jos jakauma ei toteuta niin sanottua itseistä satunnaismuuttujan odotusarvoa (itseisarvo)

$\sum _{x_{i}\in X}|x_{i}|p(x_{i})<\infty$

tai jatkuvassa tapauksessa

$\int _{-\infty }^{\infty }|x|f_{X}(x)\,dx<\infty.$

Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos sen odotusarvo on äärellinen eli$\mathrm {E} (X)<\infty$.Jos se ei ole integroituva, on se vielä kvasi-integroituva, jos$\mathrm {E} (\max\{X,0\})<\infty$tai$\mathrm {E} (\min\{-X,0\})<\infty$.

Summat ja lineaarikombinaatiot

Seuraaville satunnaismuuttujille$X,Y$ja$\{X_{1},X_{2},\dots,X_{n}\}$sekä reaaliluvuille$a,b$ja$\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\}$voidaan johtaa seuraavia tuloksia.

Odotusarvo on lineaarinen operaattori, jolloin suorien summien odotusarvo on

$\operatorname {E} (X\pm Y)=\operatorname {E} (X)\pm \operatorname {E} (Y)$

ja lineaarikombinaatioiden odotusarvo on

$\operatorname {E} (aX+bY)=a\operatorname {E} (X)+b\operatorname {E} (Y).$

Tällöin useamman satunnaismuuttujan tapauksissa on myös

$\operatorname {E} (X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n})=\operatorname {E} (X_{1})+\operatorname {E} (X_{2})+\dots +\operatorname {E} (X_{n})$

ja

$\operatorname {E} (a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\dots +a_{n}X_{n})=a_{1}\operatorname {E} (X_{1})+a_{2}\operatorname {E} (X_{2})+\dots +a_{n}\operatorname {E} (X_{n}).$

Luvun lisääminen satunnaismuuttujien arvoihin vaikuttaa myös sen odotusarvoon

$\operatorname {E} (X+a)=\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (a)=\operatorname {E} (X)+a.$

Satunnaismuuttujan ensimmäinenkeskusmomenttion aina nolla, koska

$\operatorname {E} (X-\mu _{X})=\operatorname {E} (X)-\operatorname {E} (\mu _{X})=\operatorname {E} (X)-\mu _{X}=\operatorname {E} (X)-\operatorname {E} (X)=0,$

jos$\mu _{X}=\operatorname {E} (X).$

Tulot

Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvo on kahden satunnaismuuttujan tapauksessa

$\operatorname {E} (X\cdot Y)=\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (Y)$

ja usean satunnaismuuttujan tapauksessa

$\operatorname {E} (X_{1}\cdot X_{2}\dots X_{n})=\operatorname {E} (X_{1})\cdot \operatorname {E} (X_{2})\dots \operatorname {E} (X_{n}).$

Riippuvassa tapauksessa

$\operatorname {E} (X\cdot Y)=\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (Y)+\sigma (X,Y).$

Lisäksi jos$X\geq 0$,niin$\operatorname {E} (X)\geq 0$,ja yleisemmin jos$X\geq Y$,niin$\operatorname {E} (X)\geq \operatorname {E} (Y)$.

Ehdolliselle odotusarvolle pätee niin sanottu iteroidun odotusarvon laki

$\operatorname {E} (X)=\operatorname {E} _{Y}\left(\operatorname {E} _{X}(X|Y)\right).$

Populaatio- ja otoskeskiarvo

Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku.Otoskeskiarvollatarkoitetaan suppeanotoksenkeskiarvoa suuremmasta populaatiosta. Sen avulla on mahdollista selvittää odotusarvon suuruus likimääräisesti, mutta kuitenkin "edullisesti". Keskiarvoa on tällöin pidettävä odotusarvonestimaattorina.

Kun lasketaan otoskeskiarvojen odotusarvoa, saadaan edellisten päättelysääntöjen avulla

$\operatorname {E} ({\bar {x}})=\operatorname {E} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (x_{i})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X)={\frac {1}{n}}n\operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (X).$

Tämä tarkoittaa sitä, että keskiarvon lausekkeella saadaan keskimäärin odotusarvon tuloksia eli estimaattori on harhaton.

Keskiarvolla on toinen ominaisuus, joka liittyy estimointiin. Kun keskiarvon laskemiseksi kasvataetaan otoksen lukumäärää (otoksen ulostulot ovat riippumattomia toisistaan), käy keskiarvonvarianssin

$\sigma ^{2}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\,\sigma ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sigma ^{2}(x_{i})={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.$

Keskiarvo on tarkentuva odotusarvon estimaattori, koska varianssi pienenee kun otoksen lukumäärä$n$kasvaa.

Suurten lukujen lakienmukaan satunnaismuuttujankeskiarvotoistokokeessa on sen odotusarvo ja keskiarvo on siten odotusarvon harhaton ja tarkentuva estimaattori.