Schrödingerin yhtälö

Schrödingerin yhtälöonkvanttimekaniikassakäytettyaaltoyhtälö,joka osoittaa, millainenaaltofunktiohiukkaseen liittyy, kun sillä on tietyn suuruinen energia ja se on tietynlaisessapotentiaalissa.Schrödingerin yhtälöllä on olennaisen tärkeä osa kvanttimekaniikan teoriassa, jossa se vastaa merkitykseltäänNewtonintoista lakiaklassisessa mekaniikassa, sillä molemmat kuvaavat liikettä. Yhtälön kehittiitävaltalainenfyysikkoErwin Schrödingervuonna 1926.

Yleinen Schrödingerin yhtälö

Yleinen Schrödingerin yhtälö voidaan esittää muodossa

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\vec {x}},t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ({\vec {x}},t)+V({\vec {x}})\Psi ({\vec {x}},t)$,

missä$\scriptstyle \Psi ({\vec {x}},t)$on paikasta$\scriptstyle {\vec {x}}$ja ajasta$\scriptstyle t$riippuvaaaltofunktio,$\scriptstyle \hbar$redusoituPlanckin vakio,$\scriptstyle m$hiukkasen massa,$\scriptstyle V$sen paikasta riippuvapotentiaalienergiaja$\scriptstyle i$imaginaariyksikkö.

Hamiltonin operaattorin

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {x}})$

avulla Schrödingerin yhtälö voidaan kirjoittaa lyhemmin muotoon

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\vec {x}},t)={\hat {H}}\Psi ({\vec {x}},t)$.

Bra-ket-esitys

Kvanttimekaniikan matemaattisessa formuloinnissa jokainen systeemi esitetäänkompleksisessaHilbertin avaruudessasiten, että jokaista systeemin hetkellistä tilaa vastaa yksikkövektori ko. avaruudessa. Tämä tilavektori esittää todennäköisyyksiä kaikille mahdollisille systeemiin liitettyjen mittausten tuloksille. Systeemin tilan muuttuessa ajan kuluessa tilavektori muuttuu vastaavasti ajan funktiona. Tämä ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö antaa tiedon tilavektorin muutostaajuuden suuruudesta.

Diracinkehittelemääbra-ket-merkintätapaakäyttäen hetkellinen tilavektori ajanhetkellä$\scriptstyle t$merkitään ket-vektorilla$\scriptstyle \left|\psi (t)\right\rangle$,tällöin Schrödingerin yhtälö on muotoa

$H(t)\left|\psi (t)\right\rangle =\mathrm {i} \hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle$.

Schrödingerin yhtälön muuttujat

Hamiltonin operaattori kuvaa systeeminkokonaisenergiaa.KutenvoimaNewtonin toisessa laissa, Schrödingerin yhtälö ei anna sen tarkkaa muotoa, vaan se pitää muodostaa erikseen systeemin fysikaalisten ominaisuuksien perusteella.

Aaltofunktion$\psi$amplitudiasanotaantodennäköisyysamplitudiksi,koska sen neliö osoittaa todennäköisyyden sille, että hiukkanen on tietyllä alueella.

Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö

Monissa tarkasteluissa oletetaan stationaarinen tila, mikä tarkoittaa, että systeemi on energian (Hamiltonin operaattorin) ominaistilassa. Koska Hamiltonin operaattori määrää systeemin aikakehityksen, ei stationaarisessa tilassa olevan hiukkasen aaltofunktio riipu ajasta. Myös kaikkien mitattavien suureiden odotusarvot ovat ajasta riippumattomia stationaarisessa tilassa.

Kolmiulotteisessa potentiaalissa hiukkasen ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö on muotoa

${\Big [}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U({\vec {r}}){\Big ]}\Psi ({\vec {r}})=E\Psi ({\vec {r}})$,

missä$\scriptstyle \nabla ^{2}$ongradientindivergenssija$U({\vec {r}})$on systeemin potentiaalienergiaa vastaava operaattori. Yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa

${\hat {H}}\Psi ({\vec {r}})=E\Psi ({\vec {r}})$.

Taustaa

Schrödingerin yhtälöä ei voida johtaaklassisen fysiikanavulla, vaan se perustuu kokonaan kvanttiteoriaan. Kvanttiteoria sai alkunsaMax Planckinvuonna 1900 esittämästä jaAlbert Einsteininvuonna 1905 edelleen kehittämästä teoriasta, jonka mukaansähkömagneettiset aallotsyntyvät aina tietyn kokoisina "paketteina",kvantteinaelifotoneina,ja yhden fotonin energia riippuu aallon taajuudesta yhtälön

$E=hf$

mukaisesti. Täten säteilyllä on sekä aalto- että hiukkas­luonne. Vuonna 1924Louis de Broglieesitti aine­aalto­hypoteesinsa, jonka mukaan myös ainehiukkasilla, esimerkiksielektroneillaon aalto-ominaisuuksia. Niillekin pätee yllä mainittu yhtälö, ja lisäksi niidenaallonpituusriippuuliikemäärästä(p) yhtälön

$\lambda ={\frac {h}{p}}$

mukaisesti.

Jo klassisessa fysiikassa aaltoja voidaan kuvata yleiselläaaltoyhtälöllä

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}\psi$,

missä$\psi$on aallon muotoa esittäväaaltofunktiojavaallonvaihenopeuseli sen taajuuden ja aallonpituuden tulo.

Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö saadaan tästä de Broglien kaavojen avulla seuraavasti. Oletetaan, että hiukkasen massa onm,nopeusv_hja kokonaisenergiaE.Tällöin sen liikemäärä onp = mv_h,jolloin siihen liittyvän aallon taajuus on edellä sanotun mukaanf = E/h,aallonpituus$\lambda ={\frac {h}{p}}$ja vaihenopeus näiden tulov = E / p.Hiukkasen liike-energia saadaan vähentämällä sen kokonaisenergiasta sen potentiaalienergia E_k= E – U. Koska hiukkasen liikemäärän ja liike-energian välillä vallitsee yhteys

$E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}$,

saadaan sen liikemäärälle myös lauseke

$p={\sqrt {2m(E-U)}}$,

ja koska vaihenopeus onv = E / p = hf / p,saadaan sille lauseke

$v={\frac {hf}{\sqrt {2m(E-U)}}}$.

Aaltofunktio$\psi$on tyypillisesti muotoa

$\psi =\psi _{0}\sin(2\pi ft)$,

jolloin sen toinenderivaattaajan suhteen on

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-4\pi ^{2}f^{2}\psi _{0}\sin(2\pi ft)=-4\pi ^{2}f^{2}\psi$.

Kun tämä sijoitetaan edellä esitettyyn yleiseen aaltoyhtälöön, saadaan

$-4\pi ^{2}{\frac {f^{2}}{v^{2}}}\psi =\nabla ^{2}\psi$,

ja kun tähän edelleen sijoitetaan edellä saatu vaihenopeuden lauseke, saadaan

${\frac {-8\pi ^{2}f^{2}m(E-U)}{h^{2}f^{2}}}\psi =\nabla ^{2}\psi$.

Koska vakiolle h / 2 π käytetään vakiintuneesti merkintää$\hbar$,sen avulla sekä supistamalla tekijäf²pois voidaan edellä saatu yhtälö muuntaa muotoon

${\frac {-2m(E-U)}{\hbar ^{2}}}\psi =\nabla ^{2}\psi$

ja edelleen yleisemmin käytettyyn muotoon

${\Big [}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U({\vec {r}}){\Big ]}\Psi ({\vec {r}})=E\Psi ({\vec {r}})$.

Klassisen fysiikantuntemissa aalloissa funktio$\psi$vastaa sitä suuretta, jonka vaihteluista aaltoliike muodostuu, ja joka voi olla esimerkiksi pinnan korkeus vesiaalloissa, paine ääniaalloissa tai sähkökentän voimakkuus sähkömagneettisissa aalloissa. Alkujaan ei ollut selvää, mikä on tämän suureen merkitys hiukkasiin liittyvissä aalloissa, mutta myöhemmin kehitetyntodennäköisyys­tulkinnanmukaan tämän aaltofunktionamplitudinneliö osoittaa todennäköisyyden sille, että hiukkanen löytyy kustakin paikasta.

Esimerkkejä

Vapaa hiukkanen

Schrödingerin yhtälön yksinkertaisin tapaus on vapaa hiukkanen, jonka potentiaalifunktio on vakio ja jonka aaltofunktio lisäksi riippuu vain yhdestä paikkakoordinaatista, esimerkiksi$x$:stä. Tällöin yhtälö yksinkertaistuu muotoon

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}=E\psi (x)$,

Tämändifferentiaaliyhtälöntoteuttavat funktiot ovat:

$\psi (x)=A\cos x{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}+B\sin x{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}$

Nämä funktiot kuvaavat sellaista sinimuotoista aaltoa, jonka aaltovektori on

${\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}={\frac {p}{\hbar }}$

ja aallonpituus

$\lambda =2\pi {\frac {\hbar }{p}}$

siis yhtäpitävästi de Broglien teorian kanssa.

Potentiaalilaatikko

Potentiaalifunktio on määritelty nollaksi tietyllä välillä ja äärettömäksi tämän välin ulkopuolella, seinämät ovat ikään kuin pystysuoria. Klassisesti hiukkanen liikkuu kahden jäykän seinämän välissä.

Yksiulotteinen laatikko

Kun hiukkanen, jonka massa on$\scriptstyle m$,liikkuu yksidimensionaalisen potentiaalin$\scriptstyle U(x)$alaisena, niin hiukkasen tilafunktio$\scriptstyle \psi \left({x}\right)$toteuttaa yksidimensioisen Schrödingerin yhtälön:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+U(x)\psi (x)=E\psi (x).$

Tämä differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista eksaktisti vain muutamassa erikoistapauksessa. Klassillinen esimerkki onhiukkanen laatikossa(engl.particle in a box). Energian ominaisarvot muodostavat spektrin:

$\ E_{1}$,$\ 4E_{1}$,$\ 9E_{1}$,$\ 16E_{1}$jne...

missä$\scriptstyle E_{1}$on perustilaenergia, energia, jota pienempää ei ole. Nollaenergia ei ole sallittu, koska kvanttihiukkanen ei ole levossa.

Kolmiulotteinen laatikko

Vastaava kolmidimensioinen yhtälö on muotoa:

$[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(r)]\psi (r)=E\psi (r).$

Koska kyseessä on kolmiulotteinen tapaus,gradienttion$\scriptstyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {z}}$.

Tämä differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista eksaktisti kolmidimensioisessa laatikossa, jossa hiukkasen liike on rajattu tietylle välille kaikkien koordinaattiakselien suunnissa. Jos välit ovat keskenään yhtäsuuria eli laatikko on kuutionmuotoinen, niin tällöin saadaan esimerkki degeneroituneista tiloista. Energian ominaisarvojen spektri on tällöin:

$\ 3E_{1}$,$\ 6E_{1}$,$\ 9E_{1}$,$\ 11E_{1}$,$\ 12E_{1}$jne...

Perustilaenergia on$\scriptstyle 3E_{1}$ja tämä tila on degeneroitumaton, mutta kolmea seuraavaa ominaisarvoa vastaavien tilojen degeneraatioaste on kolme, mikä tarkoittaa, että yhtä ominaisarvoa kohti on olemassa kolme kokonaisenergialtaan yhtäsuurta mutta eri tavalla jakautunutta tilaa. Ominaisarvoa$\scriptstyle 12E_{1}$vastaava tila on degeneroitumaton ja ominaisarvoa$\scriptstyle 14E_{1}$vastaavan tilan degeneraatioaste on kuusi.

Vetyatomi

Schrödingerin yhtälön tärkeimmät sovellukset liittyvätatominrakenteeseen. Yksinkertaisin atomi onvetyatomi,jossa on vain yksielektroni.Elektroni onytimensähköisen veto­voiman aikaan­saamassa potentiaali­kuopassa. SenpotentiaaliUytimen ympärillä etäisyydelläron jo klassisensähkö­opinmukaan

$U=-{\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

missäeonalkeisvarausja$\epsilon _{0}$sähkövakio.

Tämä potentiaalin lauseke pätee myös kvantti­fysiikassa. Näin ollen vety­atomin ainoan elektronin Schrödingerin yhtälö saadaan muotoon

$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\psi$

missä

$\mu ={\frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}$

on vety-ytimen eliprotoninja elektronin muodostaman systeeminredusoitu massa.Miinusmerkki potentiaalin lausekkeessa johtuu siitä, että protonilla ja elektronilla on vastakkais­merkkisetsähkö­varaukset.Redusoitua massaa käytetään tässä elektronin massan sijasta, koska protoni ja elektronin muodostaman systeemin voidaan olettaa pyörivän systeemin yhteisenpainopisteenympäri (tosin näiden hiukkasten suuren massa­eron vuoksi tämä redusoitu massa ei sanottavasti poikkea elektronin massasta).

Vetyatomin aalto­funktio on elektronin sijainnin eli koordinaattien funktio, ja itse asiassapallo­koordinaattejakäyttämällä se voidaan jakaa kolmeksi funktioksi, joista kukin riippuu vain yhdestä koordinaatista:

$\psi (r,\theta,\phi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )$

missäRon radiaalinen funktio ja$\scriptstyle Y_{\ell }^{m}(\theta,\phi )\,$pallo­harmonisia funktioita,joiden aste onℓja kertalukum.Yhtälön ratkaisut ovat:

$\psi _{n\ell m}(r,\theta,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]^{3}}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta,\phi )$

missä:

• $a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}$onBohrin säde,
• $L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )$ovat yleistetyt (n-ℓ− 1):nnen asteenLaguerren polynomit
• n, ℓ, movat kokonaislukuja, jotka tunnetaan nimilläpääkvanttiluku,sivukvanttilukujamagneettinen kvanttiluku.Niiden mahdolliset arvot ovat:

${\begin{aligned}n&=1,2,3\cdots \\\ell &=0,1,2\cdots n-1\\m&=-\ell \cdots \ell \end{aligned}}$

Koska kvanttilukujen on oltava kokonais­lukuja, elektroni voi olla ytimen ympärillä vain tietyilläorbitaaleilla,jotka vastaavat kvantti­lukujen yhdistelmiä. Osoittautui, että pää­kvantti­luvun mukaan määräytyvien orbitaalienenergiatasotovat samoja, joihin jo aikaisemmin oli päädyttyBohrin atomimallinperusteella.

Ominaisarvoyhtälö

Jokaista ajasta riippumatontaHamiltonin operaattoria$\ H$kohti on olemassa kvanttitilojen$\left|\psi _{n}\right\rangle$elienergian ominaistilojenjoukko sekä reaalilukujen$\ E_{n}$elienergianominaisarvojenjoukko, jotka toteuttavatominaisarvoyhtälön:

$H\left|\psi _{n}\left(x\right)\right\rangle =E_{n}\left|\psi _{n}\left(x\right)\right\rangle.$

Ominaistilan kokonaisenergia on definiitti ja sen arvo on Hamiltonin operaattorin ominaisarvo. Jokaista energian ominaisarvoa kohti voi olla olemassa (ei kuitenkaan välttämättä) useampia ns. degeneroituneita tiloja. Edellä esitettyä ominasarvoyhtälöä sanotaan ajasta riippumattomaksi Schrödingerin yhtälöksi. Hamiltonin operaattorin kaltaisillaitseadjungoituvillaoperaattoreilla on ominaisuus, että niiden ominaisarvot ovat kaikissa tapauksissa reaalilukuja, mitä voidaan odottaakin, koska energia on fysikaalisesti havaittavissa oleva suure eliobservaabeli.

Sijoittamalla ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö täydelliseen Schrödingerin yhtälöön, saadaan:

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi _{n}\left(t\right)\right\rangle =E_{n}\left|\psi _{n}\left(t\right)\right\rangle.$

Tämä yhtälö on helposti ratkaistavissa. Havaitaan, että energian ominaistiloja vastaavat tilavektorit vain kiertyvät kompleksitasossa norminsa säilyttäen

$\left|\psi \left(t\right)\right\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} Et/\hbar }\left|\psi \left(0\right)\right\rangle.$

Energian ominaistilat ovat käyttökelpoisia, koska niiden aikariippuvuus on yksinkertainen ja samoin ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö on käyttökelpoinen. Tarkasteluissa valitaanhetkellinenominaistilojen joukko, jonka tilavektorit$\left\{\left|n\right\rangle \right\}$muodostavat tila-avaruuden kannan. Tällöin mikä tahansa tilavektori$\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$voidaan esittää energian ominaistilojen lineeaariyhdistelynä:

$\left|\psi \left(t\right)\right\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)\left|n\right\rangle \quad,\quad H\left|n\right\rangle =E_{n}\left|n\right\rangle \quad,\quad \sum _{n}\left|c_{n}\left(t\right)\right|^{2}=1.$

Viimeisenä esitetty muoto edellyttää, että$\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$on yksikkovektori. Sijoittamalla ensimmäinen muoto Schrödingerin yhtälöön muistaen, että kantavektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, saadaan:

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial c_{n}}{\partial t}}=E_{n}c_{n}\left(t\right).$

Tästä seuraa, että jos funktion$\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$kehitelmä valitussa kannassa tunnetaan hetkellä$\ t=0$,niin funktion arvo millä tahansa myöhemmällä ajanhetkellä lasketaan yksinkertaisesti lausekkeesta

$\left|\psi \left(t\right)\right\rangle =\sum _{n}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} E_{n}t/\hbar }c_{n}\left(0\right)\left|n\right\rangle.$

Schrödingerin aaltoyhtälö

Kvanttisysteemin tila-avaruus voidaan virittääpaikkavektorikannassa.Tällöin Schrödingerin yhtälö muotoillaan kätevimminaaltofunktionosittaisdifferentiaaliyhtälöksi.Aaltofunktio on paikan ja ajan kompleksiarvoinen funktio. Yhtälön muotoa sanotaan Schrödingerin aaltoyhtälöksi.

Paikkavektorikannan alkioita sanotaan paikan ominaistiloiksi.

Aiheesta muualla

• Cultural Icon from Science on the Streets of Londonmadecurious.com.Viitattu 3.11.2012.(englanniksi)