Arvojoukko

Määrittelyjoukosta X kuvataan kaikki sen luvut funktion arvoiksif(x)maalijoukkoon Y. Arvojoukkof(x)voi olla maalijoukon aito osajoukko.

Arvojoukkoelikuvajoukkotarkoittaamatematiikassakaikkienfunktionarvojen muodostamaajoukkoa.

Funktio onkuvauslukujoukostaXjoukkoonY,mikä merkitään useinf:X→Y.Tässä joukkoXonlähtöjoukkojaYmaalijoukko.Lähtöjoukon luvutxovat kuvauksessa funktion lausekkeen argumentteja eli ne sijoitetaan funktion lausekkeen muuttujan paikalle. Sijoitetun lausekkeen laskettu arvoy,jota kutsutaan myös funktion arvoksi, on maalijoukon luku. Tulos voidaan merkitäf(x) = y.

Jos lähtöjoukko on funktionmäärittelyjoukko,muodostuuarvojoukko Aniistä luvuista, jotka saadaan laskettaessa funktion arvojajokaisella määrittelyjoukon luvulla.

$A=\{y\in Y:y=f(x){\mbox{ kaikilla }}x\in X\}.$

Matematiikassa arvojoukko voi olla maalijoukonosajoukko.

Koordinaatistossa

Määrittelyjoukko on merkitty x-akselille vihreällä värillä ja arvojoukko on y-akselilla punaisella värillä.

Analyyttisessä geometriassafunktion kuvaaja muodostetaan koordinaattipisteillä, jossa x-koordinaatiksi valitaan jokin määrittelyjoukon luku ja y-koordinaatiksi tulee x:n avulla laskettu funktion arvo. Voidaan tulkita tilannetta niin, että lähtöjoukon luvut sijaitsevat x-akselilla ja maalijoukon luvut y-akselilla. Koordinaatiston pisteillä osoitetaan, mitkä lukuparit liittyvät kuvauksessa toisiinsa.

Määrittelyjoukko on x-akselilla se lukuväli tai pistejoukko, jolla funktio voidaan tai halutaan laskea. Arvojoukoksi muodostuu ne y-akselin pisteet, jotka saadaan määrittelyjoukon pisteistä. Kyseiset lukujoukot voidaan merkitä koordinaattiakseleille pisteinä tai väleinä.

Esimerkkejä

Parillisilla potenssifunktioilla on epänegatiivinen arvojoukko.

Toisen asteenpotenssifunktiolle$f(x)=x^{2}$voidaan määrittää kuvaus yleisesti

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$.

Neliöönkorotus on mahdollista suorittaa kaikillereaaliluvuille,joten lähtöjoukko on samalla määrittelyjoukko. Sen sijaan maalijoukoksi on merkitty myös reaaliluvut, mikä on tälle kuvaukselle liian laaja. Kun kaikki reaaliluvut korotetaan neliöön, saadaan vain epänegatiivisia lukuja eli$[0,\infty [$.Arvojoukko muodostuu vain näistä luvuista ja silloin arvojoukko on maalijoukon osajoukko.

Mikäli edellisessä esimerkissä olisi määritelty kuvaus

$f:\mathbb {R} \to [0,\infty [$

olisi maalijoukko ollut myös arvojoukko. Sama ilmiö havaitaan kaikilla parillisilla potenssifunktioilla.

Lähteet

• Wolfram Mathworld:Range
• Purple Math:Domain and Range

Kirjallisuutta

• Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti:Diskreetti matematiikka I.Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993).ISBN 951-44-3604-0.
• Rikkonen, Harri:Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.Helsinki: Otakustantamo, 1969.ISBN 951-671-022-0.
• Pitkäranta, Juhani:Calculus Fennicus.Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015.ISBN 978-952-7010-12-9,ISBN 978-952-7010-13-6(pdf).