Ellipsi

Ellipsi

Ellipsi(suomalaisittain yleensäsoikiotai joskus myösovaali) on suljettutoisen asteen käyrä.Ellipsi on myös yksikartioleikkauksista,niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyyksien summa kahdesta annetusta pisteestä on vakio.

Matemaattinen määritelmä tehdään seuraavasti. OlkootF1jaF2kaksi tason kiinteätä pistettä. Ellipsi on käyrä, jolle kuuluu jokainen tason pisteX,jonkaF1:stä jaF2:sta mitattujen etäisyyksien summalla XF1 + XF2on vakioarvo. Ellipsin soikeus määräytyy siitä, kuinka paljon onXF1 + XF2suurempi kuin pisteidenF1jaF2välinen etäisyys.

PisteitäF1jaF2sanotaan ellipsinpolttopisteiksi.Suoria, joiden suhteen ellipsi on symmetrinen, sanotaan ellipsinakseleiksi.SuoraaABkutsutaan ellipsinisoakseliksi.Janaaon isoakselin puolikas. SuoraaCDkutsutaan ellipsinpikkuakseliksi.Janabon pikkuakselin puolikas.

Pinta-ala

Ellipsinpinta-ala$A$saadaan kaavasta

$A=\pi \cdot ab,$missäajabovat ellipsin puoliakseleita.

Kaavasta voidaan huomata, että erityistapauksessa, jossa puoliakselit ovat yhtä pitkiä, kuvio onympyräja pinta-alan lausekkeeksi tuleeπ·r².

Ellipsin kehän pituutta$p$ei voialkeisfunktioiden avulla lausua suljetussa muodossa. Tarkka kaava on

$p=4\ a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}\sin ^{2}{t}}}\;dt,$

jossa$\epsilon$on ellipsineksentrisyys.Se sisältää toisen lajinelliptisen integraalin.

Ellipsin yhtälö

Kun ellipsin keskipiste on pisteessä(x₀,y₀),on sen yhtälö muotoa

${\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}=1\!$,jossa$a,b\in \mathbb {R}$.

Ellipsin yhtälö parametrimuodossa:

$\left\{{\begin{matrix}x=x_{0}+a\cos {t}\\y=y_{0}+b\sin {t}\end{matrix}}\right.$,jossa$a,b,t,x_{0},y_{0}\in \mathbb {R}$.

Ellipsin yhtälö voidaan myös esittää muodossa

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\!$,jossa$A,B,C,D,E,F\in \mathbb {R}$.

Kaavoissaaonx-akselin suuntaisen puoliakselin pituus jaby-akselin suuntaisen puoliakselin pituus.

Josa = b = r,kyseessä onympyrä,jonkasädeonr.

Katso myös

• Ellipsoidi

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheestaEllipsiWikimedia Commonsissa

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.:Algebra ja geometria.Espoo: Otatieto, 1989.ISBN 951-672-103-6.
• Rikkonen, Harri:Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.Helsinki: Otakustantamo, 1969.ISBN 951-671-067-0.
• Pitkäranta, Juhani:Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013)(pdf)Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry.ISBN 978-952-7010-12-9ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.