Imaginaariyksikkö

Matematiikassaimaginaariyksikkömahdollistaareaalilukujenlaajentamisenkompleksilukujenjoukkoon. Sen täsmällinen määritelmä riippuu tavasta, jolla laajennus tehdään. Imaginaariyksikköä merkitään$\scriptstyle i={\sqrt {-1}}$,missä siis$\scriptstyle i^{2}=-1$.Toisinaan imaginaariyksiköstä käytetään merkintääjja ι.

Perussyy tähän laajennukseen on, että kaikillapolynomiyhtälöilläei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Erityisesti yhtälö$\scriptstyle x^{2}+1=0$on tällainen. Ajattelemalla, että kyseisellä yhtälöllä olisikin ratkaisuna imaginaariyksikköija määrittelemälläi:n laskutoimitukset sopivasti, saadaankin jokaiselle reaalikertoimiselle polynomiyhtälöllef(x)=0ratkaisu. (Katsoalgebrallinen sulkeumajaalgebran peruslause).

Imaginaariyksikkö on myös osaEulerin lausetta funktioteoriassa.

Määritelmä

Määritelmän mukaanion eräs toisen asteen yhtälön

$x^{2}+1=0\$

ratkaisuista, jotka ovat

$x=\pm {\sqrt {-1}}=\pm i$.

Reaalilukujen laskusäännöt voidaan laajentaa imaginaarisille ja kompleksisille luvuille ajattelemalla lukuaimuuttujana, kertomalla lukuja kutenpolynomejaja ottamalla huomioon, ettäi²=−1.Korkeammista eksponenteista imaginaariyksikön eksponentti voidaan palauttaa välille 0,...,3 kaavaniⁿ=-i^n-2avulla.

Imaginaariyksikönkäänteislukuon sama kuin senvastaluku,koska

${\frac {1}{i}}\;=\;{\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}\;=\;{\frac {i}{i^{2}}}\;=\;{\frac {i}{-1}}\;=\;-i$.

Kirjallisuutta

• Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis:Complex Variables.(Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964).
• Rikkonen, Harri:Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.Helsinki: Otakustantamo, 1969.ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani:Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013)(pdf)Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry.ISBN 978-952-7010-12-9ISBN 978-952-7010-6 (pdf).
• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.:Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II,s. 618–653. ( "Luku 21, Eulerin aika" ) Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994.ISBN 951-884-158-6