Pallopeili

Pallopeilionpallonpinnanmuotoinen heijastava kappale. Kun pallon pinnasta leikatun osan elikalotinmuotoinen ja päällystetään se sisäpinnalta valoa heijastavalla aineella, saadaan leikatusta kappaleestakoverapeili.Vastaavasti pinnoittamalla ulkopinnalta saadaankuperapeili.

Koveria ja kuperia pallopeilejä käytetään peilikaukoputkissaja useissa muissa optisissa laitteissalinssienohella.

Kuvausominaisuudet

Kovera pallopeili

Kuvan muodostuminen koverassa pallopeilissä, kun esine onkaarevuuskeskipistettä(C) kauempana peilistä. F on peilinpolttopiste.

Kuvan muodostuminen koverassa pallopeilissä, kun esine on tasankaarevuuskeskipisteessä(C).

Valonsäteet, jotka tulevat peiliä kohti sen pääakselin suuntaisesti, leikkaavat toisensa likipitäen samassa pisteessä, jota sanotaan peilinpolttopisteeksi.Sen etäisyyttä peilistä sanotaan peilinpolttoväliksi,jota kaavoissa merkitään kirjaimella f. Peilin polttoväli on puolet pallopinnan säteestä.

Jos kuvattava esine sijaitsee kauempana koverasta pallopeilistä kuin sen polttopiste, peili muodostaa esineestätodellisen kuvan.Tällöin siis kaikki esineen samasta pisteestä lähteneet, peilistä heijastuneet säteet leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka sijaitsee samalla puolella peiliä kuin kuvattava esinekin. Jos merkitään esineen etäisyyttä peilistäS₁:llä, kovera peili muodostaa kuvan etäisyydelleS₂,joka voidaan laskea saman yhtälön,Gaussin kuvauslainavulla, joka pätee myöslinsseille:

${\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}$

Kuvan muodostuminen koverassa pallopeilissä, kun esine onkaarevuuskeskipisteenjapolttopisteen(F) välissä.

Jos kohde on kaarevuuskeskipistettä kauempana, kuva muodostuu pienennettynä kohteen ja peilin väliin ja on lisäksi ylösalaisin. Niinpä riittävän suuresta koverasta peilistä ihminenkin voi nähdä kuvansa ylösalaisin.

Jos esine on pallon keskipisteessä eli sen etäisyys peilistä on r = 2f, kuva muodostuu esineen kohdalle ja on esineen kokoinen mutta ylösalaisin.

Jos esine sijaitsee pallon keskipisteen ja polttopisteen välissä (f<S₁<2f), kuva muodostuu suurennettuna kauemmas peilistä kuin missä kohde sijaitsee, ja tällöin se on itse asiassa havaittavissa vain, jos kohde on läpikuultava, siinä on reikiä tai jos se sijaitsee hieman syrjässä peilin pääakselilta.

Kuvan muodostuminen koverassa peilissä, kun esine on polttopisteen (F) ja peilin välissä.

Jos esine on polttopistettä lähempänä peiliä eli S1 < f, peilistä heijastuneet valonsäteet eivät leikkaa toisiaan, mutta niiden kuvitteelliset jatkeet peilin toisella puolella leikkaavat. Tällöin peili muodostaa esineestä valekuvan peilin taakse samaan tapaan kuin tasopeilikin.

Kuvan suurennussuhde

KuvansuurennussuhdeMvoidaan laskea yhtälöstä

$M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}$,

KunS₁on suurempi kuinf,saatu suurennussuhdeMon kuitenkin negatiivinen, mikä osoittaa, että kuva on ylösalaisin. JosM< -1, kuva on esinettä suurempi, muussa tapauksessa pienempi.

Jos kuitenkin kohteen etäisyys peilistä on pienempi kuin sen polttoväli eli josS₁<f,saadaan ylempänä olevasta yhtälöstä kuvan etäisyydelleS₂negatiivinen arvo. Tämä merkitsee sitä, että samasta pisteestä lähteneet, peilistä heijastuneet valonsäteet eivät leikkaa toisiaan, mutta niiden jatkeet peilin toisella puolella leikkaavat. Tällöin peili siis muodostaa esineestävalekuvanpeilin taakse samaan tapaan kuin tasopeilikin. Tässä tapauksessa edellä olevasta yhtälöstä laskettu suurennussuhdeMon positiivinen, ja kuva on oikein päin.

Mitä suurempi on peilin kaarevuussäde, sitä enemmän se muistuttaa tasoa. Rajatapauksessa, kun f = ∞ ja 1/f = 0, edellä olevat yhtälöt yksinkertaistuvat muotoon

${\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}=0$

ja

$M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}=1$,

joista saadaan S₂= -S₁ja M = 1.

Toisin sanoen tässä rajatapauksessa kuva on peilin takana samalla etäisyydellä kuin esinekin ja alkuperäisen suuruinen, kuten tasopeilissä.

Kupera pallopeili

Kupera pallopeili hajottaa siihen osuvat samasta suunnasta tulevat valonsäteet. Myös kupera pallopeili, jonka kaarevuussäde on riittävän suuri, muodostaa kuvan lähellä olevista esineistä. Kuva on kuitenkin aina pienentynyt valekuva peilin takana. Myös kuperalle pallopeilille pätevät samat laskukaavat kuin koverillekin, mutta polttoväli f on laskettava negatiivisena.

Palloaberraatio ja paraboliset peilit

Peilistä heijastuneet, pääakselin suuntaiset säteet tai niiden jatkeet leikkaavat toisensa tarkalleen samassa pisteessä vain, jos peilin pinta onparaboloidinmuotoinen. Silloin kyseessä onparabolinen peili.Pallopeilissä ne leikkaavat toisensa vain likipitäen samassa pisteessä. Tätä poikkeamaa sanotaanpalloaberraatioksieli pallopoikkeamaksi, ja se aiheuttaa, että pallopeilin muodostama kuva on aina hieman sumea.