Espace affine

Engéométrie,la notion d'espace affine(ouespace affin) généralise la notion d'espace issue de lagéométrie euclidienneen omettant les notions d'angleet dedistance.Dans un espace affine, on peut parler d'alignement, deparallélisme,debarycentre.Sous la forme qui utilise des rapports demesures algébriques,qui est une notion affine, lethéorème de Thalèset lethéorème de Cevasont des exemples dethéorèmesde géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel). Un espace affine peut aussi être vu comme unespace vectoriel« dont on a oublié l'origine ».Ainsi lestranslationsdevecteurnon nul sont destransformations affines(c'est-à-dire qu'elles conservent la structure d'espace affine), mais pas vectorielles. Leshomothéties(de centre un point quelconque de l'espace), mais aussi par exemple lestransvectionsou lesdilatationssont des applications affines.

Définitions et premières propriétés

Il est possible d'axiomatiserles espaces affines directement, en termes de points, de droites et de la relation d'incidence (appartenance) d'un point à une droite,cependant les définitions les plus usuelles d'espace affine s'appuient sur celle d'espace vectorielsur uncorps,qui est le corps desnombres réelspour la géométrie affine « classique ». Les éléments de l'espace affine sont appeléspoints,ceux de l'espace vectoriel associévecteurs,et ceux du corps associéscalaires. Une opération fondamentale des espaces affines associe à deux pointsAetBun vecteur noté${\overrightarrow {AB}}$.Dans ce contexte les couples de points sont souvent appelésbipoints,un bipoint (A,B) a pourorigineA,pourextrémitéBet définit donc un vecteur${\overrightarrow {AB}}$.Une autre opération fondamentale associe à un pointAet un vecteur${\vec {u}}$un autre point, appelétranslaté de A par${\vec {u}}$,et souvent notéA+${\vec {u}}$(notation deGrassmann). Ces opérations sont liées, en effetBest le translaté deApar le vecteur défini par le bipoint (A,B), en fait on aura:

$B=A+{\vec {u}}$si et seulement si${\overrightarrow {AB}}={\vec {u}}$,

c'est-à-dire que chacune de ces deux opérations peut se définir en fonction de l'autre.

La définition qui suit s'appuie sur la première de ces deux opérations. Une définition équivalente, qui s'appuie sur la seconde, est donnée en fin de section.

Première définition

Étant donné un espace vectorielVsur un corpsK,un espace affine de directionVest unensemblenon videEmuni d'une application φ qui à chaque bipoint (A,B) deE²,associe un élément deV,noté${\overrightarrow {AB}}$vérifiant les deux propriétés suivantes:

(A1)$\forall \ (A,B,C)\in E^{3},\ \ {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}$;(relation de Chasles)

(A2)$\forall \ A\in E,\forall \ {\vec {v}}\in V,\,\exists!\ B\in E,\ \ {\overrightarrow {AB}}={\vec {v}}$.(existence et unicité d'un translaté)

L'espace vectoriel$V$est appelédirectionde l'espace affineE.La direction deEest parfois notée${\overrightarrow {E}}$.Ladimensiond'un espace affine est ladimension de l'espace vectorielqui lui est associé. En particulier un espace affine de dimension 1 est appelédroite affine,un espace affine de dimension 2plan affine.

La propriété(A2)assure, pour tout pointAet tout vecteur${\vec {u}}$,l'existence et l'unicité d'un pointBvérifiant${\overrightarrow {AB}}={\vec {u}}$,que l'on nomme, comme indiqué en introduction, translaté deApar${\vec {u}}$.La propriété annoncée en introduction suit de cette définition. Étant donné un vecteur${\vec {u}}$deV,l'application qui à un pointAdeEassocie son translaté par le vecteur${\vec {u}}$est appeléetranslationde vecteur${\vec {u}}$.

Si on fixe un point origineO,par définition d'un espace affine, il existe une application φ_OdeEdansVqui à un pointMdeEassocie le vecteur${\overrightarrow {OM}}$.La propriété(A2)énonce que cette application φ_Oest bijective pour tout pointO.Cette correspondance permet donc, par choix d'une origine, de munir (de façon non canonique) l'espace affineEd'une structure d'espace vectoriel isomorphe àV,dite structure vectorielle d'origineO,et que l'on noteE_O.L'étude des problèmes degéométrie affinese ramène souvent à une étude engéométrie vectorielle,par choix convenable d'une origine de l'espace affine.

Inversement, tout espace vectorielVest canoniquement muni d'une structure d'espace affine de directionVpar:

${\begin{array}{lcl}V\times V&\longrightarrow &{V\ \ \ }\\(v,w)&\longmapsto &w-v.\end{array}}$

C'est,à isomorphisme près,le seul espace affine de direction isomorphe àV.

Il arrive d'ailleursque ce que l'on a noté dans un espace affine${\overrightarrow {AB}}$soit notéB–A,et quand cet espace affine est un espace vectoriel muni de sa structure affine canonique, les notations sont cohérentes, de même qu'avec la notation de Grassmann, qui donneB=A+ (B–A).

Propriétés élémentaires

Les propriétés suivantes découlent directement de la définition d'espace affine (c'est-à-dire des axiomes (A1) et (A2)). Soient$A,B,C~et~D$des points quelconques d'un espace affineE:

• ${\overrightarrow {AB}}={\vec {0}}\Leftrightarrow A=B$;
• ${\overrightarrow {BA}}=-{\overrightarrow {AB}}$.

On peut également généraliser la relation de Chasles à un nombre fini de points$A_{1},\ldots,A_{n}$

• ${\overrightarrow {A_{1}A_{n}}}=\sum _{i=1}^{n-1}{\overrightarrow {A_{i}A_{i+1}}}$.

On appelleparallélogrammequatre points$(A,B,C,D)$,dans cet ordre, tels que ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}$.On montre alors que cette condition est invariante par permutation circulaire, ou en renversant l'ordre, en particulier on a la relation du parallélogramme:

• ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}\Leftrightarrow {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {BC}}$.

On peut également définir lemilieude deux pointsAetBqui est une notion affine, mais uniquement sur uncorpsde caractéristique différente de 2, c'est le point$A+{1 \over 2}{\overrightarrow {AB}}$.Le milieu deAetBest le milieu deBetA.

On montre alors (en caractéristique différente de 2) que$(A,B,C,D)$est un parallélogramme si et seulement si les pointsAetCd'une part,BetDd'autre part, ont même milieu.

Exemples d'espaces affines

On a vu que tout espace vectoriel pouvait être muni d'une structure d'espace affine par l'opération de soustraction vectorielle. Les exemples suivants sont des cas particuliers.

• Leplan affineréel est le plan ℝ²de direction lui-même en tant qu'espace vectoriel, avec l'opération

${\begin{array}{lcl}\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}&\longrightarrow &{\mathbb {R} ^{2}\ \ \ }\\((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))&\longmapsto &(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\end{array}}$.

• L'espace affine réel de dimension 3 se définit de façon analogue:

${\begin{array}{lcl}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}&\longrightarrow &{\mathbb {R} ^{3}\ \ \ }\\((x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}))&\longmapsto &(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})\end{array}}$.

Autre définition

Une autre définition s'appuie sur l'opération de translation. Un espace affine de direction l'espace vectorielVest alors un ensemble non videEmuni d'une application deE×VdansEqui au pointAet au vecteur${\vec {u}}$associe un point deEappelé translaté deApar le vecteur${\vec {u}}$et notéA+${\vec {u}}$telle que:

(A1')$\forall A\in E\ \forall {\vec {u}},\,{\vec {v}}\in V\ \ (A+{\vec {u}})+{\vec {v}}=A+({\vec {u}}+{\vec {v}})$;

(A2')$\forall (A,\,B)\in E^{2}\ \exists!{\vec {u}}\in V\ \ A+{\vec {u}}=B$.

Énoncée de cette façon, cette définition est symétrique de la première, on en déduit les mêmes propriétés en particulier que pour tout pointA,A+${\vec {0}}$=A.

L'axiome(A1'),joint à la propriétéA+${\vec {0}}$=A,signifie que l'application qui, à un vecteur et un point, associe le translaté du point par le vecteur, est uneactiondugroupe abélien(V,+) sur l'ensembleE.L'axiome(A2')signifie que cette action estsimplement transitive,c'est-à-dire à la foistransitive— c'est l'affirmation d'existence dans(A2')— etlibre— c'est l'affirmation d'unicité; elle entraîne que l'action estfidèle,c'est-à-dire que levecteur nulest le seul vecteur${\vec {u}}$vérifiant pour tout pointA,A+${\vec {u}}$=A.

Pour une action transitive d'un groupe abélien, ces deux notions (libre/fidèle) sont en fait équivalentes. Un espace affine de directionVpeut donc se définir comme un ensemble non vide sur lequel le groupe additif deVopère transitivement et fidèlement.

Sous-espaces affines

Dans le plan réel ℝ²,seules les droites passant par l'origine sont des sous-espaces vectoriels, les droites quelconques sont des sous-espacesaffines.C'est cette notion que l'on définit maintenant.

Définitions

SoitEun espace affine de directionV.Une partie non videFdeEest un sous-espace affine deE(ouvariété linéaire affine,et parfois simplement variété affine), s'il existe un pointAdeFtel que l'ensemble$W=\{{\overrightarrow {AM}}\mid M\in F\}$est un sous-espace vectoriel deV.En d'autres termes, les sous-espaces affines deEpassant parAsont les sous-espaces vectoriels deE_A,la structure vectorielle d'origineAsurE.On dit alors queFest le sous-espace affine deEde directionWpassant parA.Le sous-espace vectorielWest doncla directionde l'espace affineF,et la dimension d'un sous-espace affine est la dimension de sa direction.

On vérifie alors que pour tout pointBdeF,Fest le sous-espace affine de directionWpassant parB,c'est-à-dire que$\{{\overrightarrow {BM}}\mid M\in F\}=W$et queFest bien un espace affine de direction W (pour la même opération φ qui à un bipoint associe un vecteur, ou plus exactement sa restriction).

Un sous-espace affineFpassant parAde directionWpeut être défini (de façon équivalente) comme l'ensemble des translatés deApar les vecteurs deW(ce qu'on peut noterF=A+W) soit$F=\{M\in E\mid {\overrightarrow {AM}}\in W\}$et là aussi cette propriété est vérifiée pour tout pointAdeF.Finalement,Fnon vide est donc un sous-espace affine de directionWsi et seulement s'il vérifie ces deux conditions:

• pour tout couple de points$A$et$B$de$F$,le vecteur${\overrightarrow {AB}}$appartient à$W$;
• pour tout point$A$de$F$et tout vecteur${\vec {v}}$de$W$,le point$A+{\vec {v}}$appartient à$F$.

Cas particuliers

Deux points distinctsAetBde l'espace affineEdéfinissent un sous-espace affine de dimension 1, la droite affine passant parAde direction ladroite vectorielleengendrée par le vecteur${\overrightarrow {AB}}$.Cette droite affine est l'unique droite passant parAetB.

Trois points non alignésA,BetCde l'espace affineEdéfinissent un sous-espace affine de dimension 2, le plan affine passant parAde direction le plan vectoriel engendré par les deux vecteurs non colinéaires${\overrightarrow {AB}}$et${\overrightarrow {AC}}$.

Unhyperplan affinedeEest un sous-espace affine deEdont la direction est unhyperplandeV.

Tout hyperplan affine peut se définir comme ensemble des pointsMdeEvérifiant une équationf(M) = 0, oùfest une forme affine, c'est-à-dire une application affine dont lapartie linéaireest une forme linéaire.

Caractérisation par les droites

En caractéristique différente de 2, un sous-espace affine deEest une partie non vide deEcontenant toute droite passant par deux de ses points, c'est-à-dire queFnon vide est un sous-espace affine si et seulement si, étant donnés deux points distinctsAetBdeF,la droite passant parAetBest incluse dansF.Cette caractérisation peut être utilisée comme définition dans l'approche axiomatique directe.

En effet soit un sous-espace affineFde directionW,et deux pointsAetB.AlorsFcomme sous-espace vectoriel deE_Astructure vectorielle d'origineA,contient la droite passant parAde vecteur directeur${\overrightarrow {AB}}$,qui passe également parB.

Réciproquement, supposons queFcontienne toute droite passant par deux de ces points. SoitAun point deF.Il suffit de montrer queFest unsous-espace vectorieldeE_A.SiB∈F,B≠A,la droite (AB) est incluse dansFd'où la stabilité par produit par un scalaire. On a de même la stabilité par somme pour deux vecteurs colinéaires (A,B,Calignés). Il reste à montrer que siBetCappartiennent àFtels queA,BetCnon alignés, le pointDdéfini par l'égalité ci-dessous est dansF:

${\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}$.

SoitIle milieu deBetCet donc deAetD(propriété duparallélogrammeen caractéristique différente de 2):

${\overrightarrow {AI}}={1 \over 2}({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})$

AlorsI∈F,puisqueI∈ (BC), et doncD∈F,puisqueD∈ (AI).

Barycentres

Les sous-espaces affines deEsont également les parties deEnon vides et stables par barycentres, c'est-à-dire qu'une partie non videFdeEest un sous-espace affine deEsi pour toutensemble finide points deF,les barycentres de ces points sont dansF.

Parallélisme

Il existe deux notions de parallélisme entre sous-espaces affines, l'une n'est valide qu'entre deux sous-espaces de même dimension (deux droites, deux plans, etc.), l'autre est plus générale.

SoientFetGdeux sous-espaces affines. On dit que:

• FetGsontparallèles,ou parfoisfortement parallèles,quand ils ont la même direction.
• Fest parallèle àG,ou souventFestfaiblement parallèleàG,quand la direction deFest un sous-espace vectoriel de celle deG.

La relation de parallélisme fort est unerelation d'équivalence.La relation de parallélisme faible n'est pas symétrique, mais reste réflexive et transitive (c'est unpréordre).

L'axiome des parallèles (variante ducinquième postulat d'Euclide) — par un point il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée — est une conséquence immédiate de la définition même de sous-espace affine qui assure l'unicité d'un sous-espace affine passant par un point et de direction un sous-espace vectoriel donné (une droite vectorielle en l'occurrence).

Deux sous-espaces affines parallèles (fortement) sont soit confondus, soit d'intersection vide.

Un sous-espace affine faiblement parallèle à un sous-espace affine est soit inclus dans ce dernier soit d'intersection vide avec celui-ci.

Intersection de sous-espaces affines

Toute intersection non vide de sous-espaces affines est un sous-espace affine.

Sous-espace affine engendré

Soit S une partie non vide de E. L'intersection de tous les sous-espaces affines de E contenant S est le plus petit sous-espace affine contenant S. Ce sous-espace est appelé le sous-espace engendré par S. On le note ⟨S⟩.

Objets usuels en géométrie affine réelle

Si A et B sont distincts, le sous-espace ⟨A, B⟩, qui est alors la «droiteAB» (la droite passant par A et B), se note plus simplement AB, tandis que le symbole [AB] désigne le «segmentAB»,c.-à-d.l'ensemble des points M tels que${\overrightarrow {AM}}=\lambda {\overrightarrow {AB}}$où$0\leq \lambda \leq 1$.On note [AB) lademi-droited'origine A passant par B.

Étymologie et historique

Dans l'esprit duprogramme d'Erlangen,on peut définir lagéométrie affinecomme celle se souciant des propriétés des figures conservées partransformations affines,comme le parallélisme.

Voir aussi

Bibliographie

• MarcelBerger,Géométrie vivante: ou l'échelle de Jacob,Cassini,coll.« Nouvelle bibliothèque mathématique »,2009(ISBN9782842250355)
• Marcel Berger,Géométrie,vol.1:Action de groupes, espaces affines et projectifs,1977[détail de l’édition]
• JeanFresnel,Méthodes modernes en géométrie,Paris, Hermann,1996,408p.(ISBN2-7056-1437-0)
• YvesLadegaillerie,Géométrie: affine, projective, euclidienne et anallagmatique,Paris, Ellipses,2003,515p.(ISBN2-7298-1416-7)
• Jacqueline Lelong-Ferrand,Fondements de la géométrie,Paris, PUF,1985,287p.(ISBN2-13-038851-5)

Lien externe

Antoine Ducros, «Géométrie affine et euclidienne»,2012