Empilement compact

Unempilement compactd'une collection d'objets est un agencement de ces objets de telle sorte qu'ils occupent le moins d'espace possible (donc qu'ils laissent le moins de vide possible).

Le moyen le plus efficace pour ranger descerclesde différentes tailles n'est pas évident, comme l'illustrent ces rondelles d'agrumes.

Le problème peut se poser dans unespace(euclidienounon) dedimensionnquelconque, les objets étant eux-mêmes de dimensionn.Les applications pratiques sont concernées par les casn= 2(planet autressurfaces) etn= 3(espace ordinaire).

Les objets, généralement considérés comme indéformables, sont caractérisés par leurs formes et par la distribution de leurs tailles (multiplier toutes les tailles par un même facteur ne change rien au problème). Le problème le plus classique est celui de l'empilement compact d'une infinité den-sphèresidentiques (n= 2:empilement de cerclesidentiques dans le plan;n= 3:empilement de sphères identiques dans l'espace). De très nombreux problèmes plus généraux font varier la forme des objets, la distribution de leurs tailles, leur déformabilité ou leurs interactions mutuelles.

L'efficacité d'un empilement est caractérisée par sacompacitéc,définie comme le rapport de l'espace occupé par les objets à l'espace dans lequel on les a empilés ($0<c\leqslant 1$). On l'appelle aussidensité(qu'on note alorsd), qui se confond effectivement avec ladensité ordinairepourn= 3et ladensité surfaciquepourn= 2si l'on suppose que le matériau des objets est de densité uniforme égale à un.

Empilements compacts dans le plan

Empilements de cercles identiques

Diagrammemontrant un empilement compact de cercles dans un espace carré. L'agencement de base en dimension 2 est deforme hexagonale.

Sur un plan, on peut disposer au maximum six cercles de rayonrautour d'un cercle de même rayon. Les centres de trois cercles en contact définissent untriangleéquilatéral puisqu'ils sont distants de2rles uns des autres. Chaque angle valant60°(π/3rad), on peut mettre ainsi six triangles avec un sommet en commun pour former unhexagonerégulier, puis continuer ainsi de proche en proche.

La compacité (ou densité surfacique) de cet arrangement est:

$d={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\simeq 0{,}9069.$

Démonstration

Considérons quatre cercles en contact deux à deux. Les centres de ces cercles forment un losange de côté2r.On peut ainsi découper le plan en un pavage de losanges définissant un réseau.

Chaque losange comprend deux portions de disque d'angle au centre2π/3et deux portions de disque d'angle au centreπ/3.La somme de ces quatre angles au centre est ainsi égale à2π,donc la somme des aires des quatre portions de disque est égale à la surface d'un disque complet, soitπr².

Le losange lui-même a pour aire$2{\sqrt {3}}\ r^{2}$.Les disques occupent donc une proportion de surface égale à$d={\frac {\pi \ r^{2}}{2{\sqrt {3}}\ r^{2}}}$.

On comprend intuitivement que c'est l'organisation la plus compacte possible en rangeant des billes de même volume dans une enceinte de taille appropriée, mais ce n'est pas une démonstration. En 1773,Joseph-Louis Lagrangeprouva qu'aucun arrangement régulier n'est plus dense. En 2010, Chang et Wang en publient une preuve tenant sur quatre pages.

Autres empilements de cercles

Le résultat précédents ne vaut que pour des cercles identiques; pour des cercles de tailles différentes la compacité maximale est supérieure (voir la première image), et peut même atteindre 100 % pour une infinité de cercles ayant une distribution appropriée des tailles (les vides étant progressivement remplis par des cercles plus petits).

Empilements de demi-cercles

Il existe des empilements de demi-cercles identiques, ou plutôt, de demi-disques, de densité strictement supérieure à la densité maximale${\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}$des empilements de disques identiques.

Empilement compact de sphères identiques

Arrangement enquinconced'un plan compact.

Deux manières d'empiler trois plans compacts.

Empilement compact de 35sphères.

Empilement compact debouletsde canons empilés sous les murs dufort MonroeàHampton (Virginie).

Considérons trois sphères de même diamètre en contact sur un plan (plan A). On peut placer une quatrième sphère, toujours du même diamètre, posée sur le creux entre les trois premières, les centres des sphères formant untétraèdrerégulier.

En positionnant ainsi des sphères dans les creux du plan compact A, on obtient un deuxième plan compact (plan B). Lorsque l'on ajoute un troisième plan, on peut mettre les sphères soit en correspondance avec celles du premier plan (plan A), soit dans une troisième possibilité de placement définissant un nouveau plan compact (plan C). Et ainsi de suite: superposition (régulière ou non) de plans A, B ou C (deux lettres consécutives devant toujours être différentes).

En 1611,Johannes Keplerconjecture que c'est l'arrangement spatial le plus compact. En 1831,Carl Friedrich Gaussdémontre laconjecture de Keplersous réserve que l'arrangement soit régulier (sur un réseau).Le cas général est démontré parThomas Halesen 1998 (suivi de quatre années de vérifications par des mathématiciens) etformellement prouvéen 2014, toujours par Thomas Hales.

Il existe ainsi trois types de plans compacts A, B et C qui peuvent en se combinant engendrer une infinité de types d'empilements compacts, qui constituent un exemple depolytypisme:

• A-B-A-B… empilement dit « hexagonal compact »;
• A-B-C-A-B-C… empilement dit « cubique compact » ou « cubique à faces centrées » du nom duréseau de Bravaisqui lui correspond;
• A-B-A-C-A-B-A-C… empilement dit « double hexagonal »;
• A-B-C-B-A-B-C-B…;
• …

Quel que soit l'arrangement, chaque sphère est entourée de 12 autres sphères et la densité volumique vaut dans tous les cas:

$d={\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\simeq 0{,}740\,48$,voir la suiteA093825de l'OEIS.

Démonstration— Le calcul peut se faire de manière simple sur un empilementcubique à faces centréeset sur un empilement hexagonal compact (voir le lien externe pour le calcul de la compacité). Pour les autres empilements compacts, il suffit de découper la structure en groupes de trois plans pour se retrouver dans l'un des cas précités.

Empilement compact den-sphères identiques

Agencement en dimension 3: empilement compact de sphères dans un espace en prisme hexagonal.

Agencement en dimension 3: empilement compact de sphères dans un espace cubique.

Dans les espaces euclidiens de dimension supérieure à 3, le problème d'empilement compact se généralise auxhypersphères.Les densités des arrangements réguliers les plus compacts sont connues jusqu'en dimension 8 et pour la dimension 24 (voir l'article «Constante d'Hermite»).

En 2016,Maryna Viazovskaannonce que leréseau E₈(en)fournit l'empilement optimal (pas forcément régulier) en dimension 8,et peu après, en collaboration avec d'autres mathématiciens, elle produit une preuve similaire montrant que leréseau de Leechest optimal pour la dimension 24.Elle reçoit lamédaille Fieldspour ces découvertes en 2022.

Asymptotiquement, la densité$d_{n}$de l'arrangement le plus compact (régulier ou non) décroît exponentiellement en fonction de la dimensionn.Il n'y a pas de raison de penser que les arrangements les plus denses soient réguliers en général. Néanmoins le meilleur encadrement connu sur$d_{n}$est le même dans les deux cas:

${\frac {1}{2^{n+o(n)}}}\leq d_{n}\leq {\frac {1}{2^{0{,}5990\,n+o(n)}}}$

Empilement aléatoire compact de cercles ou de sphères identiques

Un empilement aléatoire compact est unempilementobtenu par compaction d'un ensemble d'objets (ou de figures géométriques) dont les positions initiales sontaléatoires.Un empilement aléatoire de sphères identiques s'obtient par exemple en mettant des billes dans un sac, et on en augmente la compacité en secouant le sac. On peut aussi réaliser des simulations sur ordinateur.

La compacité maximale ainsi obtenue est inférieure à celle de l'empilement compact des mêmes objets ou figures: pour des sphères identiques elle vaut environ 0,640 (contre 0,740 pour l'empilement compact), et pour des cercles identiques 0,853 (contre 0,907).

Empilements de polytopes identiques

L'empilement compact depolytopesidentiques, notamment depolygonesidentiques (dans leplan) ou depolyèdresidentiques (dans l'espace), peut avoir une compacité inférieure ou supérieure à celle den-sphères. Cette compacité peut même être égale à un, auquel cas on dit que les polytopes pavent leur espace

Applications en cristallographie

Encristallographie,les atomes ou les ions peuvent s’organiser en couches compactes. C'est notamment le cas pour les structures métalliques, les cristaux n'étant formés que d'un seul type de particules. Si on les modélise par des sphères, l’empilement est compact lorsque les sphères sont en contact.

Les deux principaux types d'empilement compact sont:

• hexagonal compacthc (ou hcp pourHexagonal close-packed): les couches d’atomes s’empilant suivant l’ordreABAB,lepolyèdre de coordinationdes atomes est unanticuboctaèdre;
• cubique à faces centréescfc (ou ccp pourcubic close-packed): les couches d’atomes s’empilant suivant l’ordreABC,le polyèdre de coordination des atomes est uncuboctaèdre.

Exemples:

• cfc: l'austénite,l'aluminium.

La densité volumique porte le nom decompacité.Le taux de remplissage est d'environ 74%(26 % de vide).

Structure vs réseau

Dans lastructurecubique compacte, les atomes sont situés en correspondance des nœuds duréseaucubique à faces centrées et pour cette raison la structure cubique compacte est souvent dite aussi structure cubique à faces centrées.

En revanche, dans lastructurehexagonale compacte les atomes ne sont pas sur les nœuds duréseaumais en position ⅓,⅔,¼ et ⅔,⅓,¾, qui sont équivalents dans legroupe d'espace(P6₃/mmc,n° 194). Leréseaude la structure hexagonale compacte est un réseau hexagonal primitif.

Voir aussi

Bibliographie

• (en)John HortonConwayetNeil Sloane,Sphere Packings, Lattices and Groups,Springer,1999,3^eéd.(1^reéd.1993)(lire en ligne)
• (en)Thomas Hales, «A proof of the Kepler conjecture»,Ann. of Math.,vol.162,‎2005,p.1065-1185(lire en ligne)
• Joseph Oesterlé,«Empilements de sphères»,Séminaire Bourbaki,vol.32,n^o727,‎ 1989-1990(lire en ligne)
• Joseph Oesterlé, «Densité maximale des empilements de sphères en dimension 3»,Séminaire Bourbaki,vol.41,n^o863,‎ 1998-1999(lire en ligne)

Articles connexes

• Empilement aléatoire compact
• Structure cristalline
• Empilement de cercles
• Théorème d'empilement de cercles
• Porisme de Steiner
• Maryna Viazovska
• Problème debin packing

Liens externes

• Calcul de la compacité
• Souhir Boujday, «Empilements compacts», surUPMC
• (en)Herminio López Arroyo, «Let's give away some balls», surMatifutbol— Exemple concret d'empilement compact.