Polytope

Unpolytopeest un objet mathématique géométrique généralisant à unedimensionquelconquenlespolygones(dimension 2) et lespolyèdres(dimension 3). Le terme depolytope,introduit par la mathématicienne britanniqueAlicia Boole Stott,est latranscriptionde l'allemandpolytop,inventé par le mathématicienReinhold Hoppe.

Un polytope en dimension 3.

Plusieurs définitions

Le termepolytopeadmet plusieurs définitions au sein desmathématiques.Principalement car les usages diffèrent en quelques points selon les pays, mais l'usage américain ayant tendance à s'imposer, on se retrouve confronté avec des usages contradictoires au sein d'un même pays. On retrouve ce genre de problème pour les définitions des faces et des facettes d'un polyèdre (pour un polyèdre de dimensionn,Bourbakidéfinit les facettes comme les faces de dimension <n– 1, le suffixe faisant penser à la petitesse, alors que les américains définissent une facette comme une face de dimensionn– 1, comme on dit en français d'ailleurs pour les facettes d'undiamant).

Le point sûr est qu'unpolyèdreest une sorte de polytope^{[Information douteuse]}.

L'usage le plus répandu veut que, dans l'espace euclidienℝⁿ,on distingue lepolyèdredupolytopede la manière suivante. Lepolyèdre$P$est une intersection d'un nombre fini dedemi-espacesdélimités par deshyperplans affines,c.-à-d.$P=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\leq b\}$

où$A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$et$b\in \mathbb {R} ^{m}$,

tandis que lepolytope${\bar {P}}$est uneenveloppe convexe,c.-à-d.${\bar {P}}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}~\left|~x=\sum _{i}\lambda _{i}x_{i},\,\sum _{i}\lambda _{i}=1,\,\lambda _{i}\geq 0\right.\right\}$

où$x_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$pour un certain nombre fini d'indices$i$.

Un résultat fondamental établit que:

Tout polytope est un polyèdre borné.

Ce résultat est essentiel pour l'approche polyédriqueenoptimisation combinatoire.

Toutefois on trouvera aussi la distinction suivante entre polytope et polyèdre. On entend parfois engéométrie,polytopecomme la généralisation à toutes dimensions de la notion depolygonepour deux dimensions et depolyèdrepour trois dimensions. Quoi qu'il en soit,en général on suppose qu'un polytope est unpolytope convexe^{[Information douteuse]}etborné.Le plus simple que l'on puisse construire est lesimplexeconstitué den+ 1sommets dans un espace de dimensionn.Pour toute enveloppe convexe dans un espace de dimensionn,on peut prendre des sous-ensembles de sommetslinéairement indépendantset définir desn-simplexesà partir de ces sommets. Il est toujours possible de décomposer unpolytope convexeen simplexes de sorte que leur union soit le polytope original, et que leurs intersections deux à deux soient l'ensemble vide ou uns-simplexe (avecs<n). Par exemple: dans le plan, un carré (l'enveloppe convexe de ses sommets) est l'union de deux triangles (2-simplexes) dont l'intersection est la diagonale du carré (1-simplexe).

Polyèdres réguliers

Lespolyèdres réguliersétaient un sujet d'étude majeur chez les anciens mathématiciens grecs (principalementEuclide), probablement à cause de leurs qualités esthétiques. De nos jours, on retrouve les polytopes dans de nombreuses applications d'optimisation linéaireou eninfographienotamment.

Exemple de polytope

Parmi les polytopes, on peut citer le polytope deGosset,qui illustre une des propriétés dugroupe de LieE8.

Voir aussi

Articles connexes

• 4-polytope régulier convexe
• 4-polytope uniforme

Bibliographie

(en)H.S.M. Coxeter,Regular Polytopes,New York, Dover, 1973(ISBN978-0-486-61480-9)

Lien externe

Olivier Debarre,«Polytopes et points entiers», surwww.math.ens.fr