Relativité générale

Larelativité généraleest une théorierelativistede lagravitation,c'est-à-dire qu'elle décrit l'influence de la présence de matière, et plus généralement d'énergie, sur le mouvement des astres en tenant compte des principes de larelativité restreinte.La relativité générale englobe et supplante la théorie de lagravitation universelled'Isaac Newtonqui en représente la limite aux petites vitesses (comparées à lavitesse de la lumière) et aux champs gravitationnels faibles.

Elle est principalement l'œuvre d'Albert Einstein,qui l'a élaborée entre1907et1915,et est considérée comme sa réalisation majeure. Cette attribution est généralement admise, bien que les chercheurs enhistoire des sciencesestiment que d'autres savants ont aussi apporté des avancées substantielles à la même époque en rapport avec ces théories.Le25 novembre 1915,il soumet son manuscrit de la théorie de la relativité générale à la section de mathématique et de physique de l'Académie royale des sciences de Prusse,qui le publie le2 décembre.

Les noms deMarcel Grossmannet deDavid Hilbertlui sont également associés, le premier ayant aidé Einstein à se familiariser avec les outils mathématiques nécessaires à la compréhension de la théorie (lagéométrie différentielle), le second ayant franchi conjointement avec Einstein les dernières étapes menant à la finalisation de la théorie après que ce dernier lui en eut présenté les idées générales dans le courant de l'année 1915.

La relativité générale est fondée sur des concepts radicalement différents de ceux de la gravitation newtonienne. Elle énonce notamment que lagravitationn'est pas une force, mais la manifestation de lacourburede l'espace (en fait de l'espace-temps), courbure elle-même produite par la distribution de l'énergie,sous forme demasseou d'énergie cinétique,qui diffère suivant leréférentielde l'observateur.Cette théorie relativiste de la gravitation prédit des effets absents de la théorie newtonienne mais vérifiés, comme l'expansion de l'Univers,lesondes gravitationnelleset lestrous noirs.Elle ne permet pas de déterminer certaines constantes ou certains aspects de l'univers (notamment son évolution, s'il est fini ou non, etc.): des observations sont nécessaires pour préciser des paramètres ou faire des choix entre plusieurs possibilités laissées par la théorie.

Aucun des nombreuxtests expérimentauxeffectués n'a pu la mettre en défaut.Toutefois, des questions restent sans réponse: principalement sur le plan théorique, comment la relativité générale et laphysique quantiquepeuvent être unies pour produire une théorie complète et cohérente degravité quantique;et sur le plan des observations astronomiques ou cosmologiques, comment concilier certaines mesures avec les prévisions de la théorie (matière noire,énergie noire).

Vulgarisation

La présence de matière modifie la géométrie de l'espace-temps.

Uneanalogiepermettant une visualisation de la relativité consiste à représenter l'espace-temps en trois dimensions comme une nappe tendue se déformant sous le poids des objets que l'on y met. Si la nappe est bien tendue et sans aucun corps dessus, une bille légère que l'on fait rouler dessus se déplace en ligne droite. Si on place au centre de la nappe une boule lourde, la nappe se déforme et la bille ne se déplace plus en ligne droite. Elle peut même tomber vers la boule, donnant l'illusion que la bille est attirée par la boule alors que cette attraction est le résultat indirect de la forme de la nappe qui s'applique aux masses en tout lieu de celle-ci.

Cette analogie semble supposer une source externe de gravitation qui donnerait du poids à la boule déformant la nappe, mais il faut plutôt considérer que c'est la gravitation exercée par la boule elle-même qui déforme l'espace-temps alentour en le contractant vers elle, voire en lui transmettant une partie de sa dynamique (vitesse de déplacement, rotation sur elle-même).

L'espace-tempsn'est pas à trois dimensions, mais à quatre (trois d'espaceet une detemps) et toutes les quatre sont déformées par la présence d'une masse.

Généralités

Le cosmos dans l'Antiquité

Durant l'Antiquité,dans la théorie ducosmos,la matière qui supportait les astres porte le nom dequintessence,autrement appelée « éther ». Ce concept permet d'expliquer la façon dont lesplanètesrestent fixées dans leciel,la quintessence étant une substance raffinée et fluide qui maintient un ordre harmonieux. Ce concept est repris auXIX^esiècle parAlexander von Humboldtdans son ouvrageCosmos: Essai d'une description physique du Monde.

Nécessité d'une théorie relativiste de la gravitation

La théorie de lagravitation universelleproposée parNewtonà la fin duXVII^esièclese fonde sur la notion deforcepar une action à distance, c'est-à-dire le fait que la force exercée par un corps (par exemple leSoleil) sur un autre (laTerre) est déterminée par leur position relative à un instant donné, et ce quelle que soit la distance les séparant, et cette force s'exerçant de manière instantanée. Ce caractère instantané est incompatible avec les principes de larelativité restreintesuivant lesquels aucune information ne peut se propager plus vite que lavitesse de la lumièredans le vide. Cela amène Einstein dès 1907 à réfléchir à une théorie de la gravitation qui soit compatible avec la relativité restreinte. Le résultat de sa quête est la théorie de la relativité générale.

De la relativité de Galilée à la relativité restreinte

AuXVI^esiècle,Galiléeaffirme (en argumentant notamment au sujet du mouvement des navires) que les lois de la physique sont les mêmes dans des référentiels en translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres. C'est le principe derelativité galiléenne.

Il utilise aussi l'additivité des vitesses, dont une conséquence est que n'importe quelle vitesse peut être atteinte, le tout n'étant qu'une question de moyens. Si une balle roule à10km/hdans un train (et dans le sens de la marche) qui va lui-même à100km/hpar rapport au sol, alors la balle va à110km/hpar rapport au sol.

Danssa mécanique,Isaac Newtonprésuppose que les corps sont dotés d'une vitesse absolue, autrement dit qu'ils sont soit « réellement » au repos, soit « réellement » en mouvement. Il remarque aussi que ces vitesses absolues sont non mesurables autrement que relativement aux vitesses des autres corps (de la même manière, la position d'un corps n'est mesurable que relativement à celle d'un autre corps, etc.). En conséquence, toutes les lois de la mécanique newtonienne doivent opérer à l'identique quel que soit le corps considéré et quel que soit son mouvement.

Cependant, Newton pense que sa théorie ne peut avoir de sens sans l'existence d'un référentiel fixe absolu dans lequel la vitesse de tout corps pourrait être mesurée, même si celui-ci ne peut être détecté.

En fait, il est possible en pratique de bâtir une mécanique newtonienne sans cette hypothèse: la théorie résultante (nommée d'ailleurs «relativité galiléenne») n'a d'ailleurs pas d'intérêt opérationnel particulier et ne doit pas être confondue avec la relativité d'Einstein qui impliqueen plusla constance de lavitesse de la lumièredans tous les référentiels eten moinsl'hypothèse galiléenne que les vitesses relatives s'additionnent (ces deux postulats sont en effet incompatibles).

AuXIX^esiècle, le physicien écossaisJames Clerk Maxwellformule un ensemble d'équations, leséquations du champ électromagnétique,qui conduit à prédire la propagation d'ondes électromagnétiques de vitesse$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$dans un milieu électrostatique de constante$\varepsilon _{0}$et magnétostatique de constante$\mu _{0}$.Cette vitesse phénoménalement élevée, même dans un milieu raréfié comme l'air, a la même valeur que la vitesse de propagation de la lumière. Il propose que la lumière ne soit rien d'autre qu'une onde électromagnétique.

Les théories corpusculaires de la lumière semblent compatibles avec le principe de relativité deGaliléeainsi que la théorie de Maxwell qui penche en faveur de l'existence d'unétherluminifère envisagé parHuygens.Mesurer la vitesse dusystème solairepar rapport à ce milieu élastique est l'objet desexpériences d'interférométriemenées parMichelsonetMorley.Leurs expériences démontrent que le vent apparent d'éther est nul, quelle que soit la période de l'année. Supposer que l'éther est constamment accroché à la Terre serait une remise en cause trop grave du principe de relativité deGalilée.D'autre part, l'éther présente l'inconvénient d'être à la fois impalpable et trèsrigidepuisque capable de propager les ondes à une vitesse phénoménale.

Il faut attendreAlbert Einsteinen1905pour remettre en cause radicalement la notion d'éther, porter au plus haut le principe de relativité deGaliléeen postulant que les équations de Maxwell obéissent elles-mêmes à ce principe, et en tirer les conséquences révolutionnaires dans un article resté célèbre:De l'électrodynamique des corps en mouvement.

C'est la naissance de larelativité restreinte:

• le principe de relativité de Galilée est conservé;
• l'invariance des équations de Maxwell (par changement deréférentiel inertiel) entraîne immédiatement la constance de lavitesse de la lumière$c$dans tous les référentiels galiléens: l'additivité des vitesses n'est plus vraie et la vitesse de la lumière est inatteignable (sauf pour la lumière, qu'elle soit considérée comme une onde ou comme constituée de photons, particules de masse nulle);
• les mesures de longueur, d'intervalle de temps et de vitesse ne sont pas les mêmes suivant le référentiel de l'observateur: mesurer la longueur par exemple d'un wagon se déplaçant à une vitesse relativiste (c'est-à-dire proche de celle de la lumière) donne des résultats différents suivant que l'on est dedans ou que l'on est immobile au sol (mais ce n'est pas le cas pour la largeur du wagon, longueur perpendiculaire à la vitesse); de même pour la mesure du temps; lechamp électriquedevient magnétique et réciproquement. Toutes ces transformations des systèmes de coordonnées du continuum espace-temps et du champ électromagnétique sont formalisées par lestransformations de Lorentz(paradoxalement mises au point parLorentzetHenri Poincarépour défendre l'existence de l'éther^{[réf. nécessaire]});
• la notion de temps absolu disparaît: deux horloges identiques situées dans deux référentiels galiléens différents nebattent pas au même rythme(plus précisément, il n'est pas possible de les garder synchronisées).

En écrivant l'expression de l'énergie cinétiqued'un corps de masse$m$de la manière la plus simple respectant le principe de relativité, Einstein a fait apparaître une énergie au repos:E₍₀₎= m₍₀₎.c²,qui sera mesurée par la suite dans les phénomènes defusionet defissionnucléaires (mais qui se manifeste aussi dans les réactions chimiques ainsi que dans tout échange énergétique, même si ce n'est pas encore directement détectable).

De la relativité restreinte à la relativité générale

Lathéorie de la relativité restreinte(1905) modifiait les équations utilisées pour comparer les mesures de longueur et de durée faites dans différents référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres. Cela eut pour conséquence que la physique ne pouvait plus traiter le temps et l'espace séparément, mais seulement comme un espace à quatre dimensions, appelé l'espace-temps de Minkowski.

En effet, lors de mouvements à des vitesses non négligeables devant$c$(vitesse de la lumière dans le vide), temps et espace s'altèrent de façon liée, un peu comme deux coordonnées d'un point engéométrie analytiques'altèrent de façon liée lorsqu'on pivote les axes du repère.

Espace plat.

Par exemple, engéométrie euclidiennehabituelle, la distance$\ \Delta l$entre deux points de coordonnées$\ (x,y,z)$et$\ (x',y',z')$vérifie$\ (\Delta l)^{2}=(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}$(avec$\ \Delta x=x'-x$,etc.), mais dans l'espace de Minkowski deux points sont repérés par les coordonnées$\ (t,x,y,z)$et$\ (t',x',y',z')$,où$\ t$et$\ t'$sont les coordonnées de temps, et la « distance », alors notée$\ \Delta s$,entre ces points vérifie:$\ (\Delta s)^{2}=-(c.\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}$.Ce calcul donne une « distance » nulle entre deux points du parcours d'un rayon lumineux. Il donne aussi toutes les mesures de longueurs matérielles, des intervalles de temps, des vitesses enrelativité restreinte,qui suscitent toujours l'étonnement.

L'espace-temps de Minkowski étant néanmoins decourburenulle (c'est-à-dire plat), on le qualifie d'espacepseudo-euclidien.

Tel devait être, pour Einstein, l'espace sans gravitation (et sans accélération pour l'observateur). La gravitation newtonienne, se propageant instantanément, n'est pas compatible avec l'existence d'une vitesse limite: Einstein se mit donc en quête d'une nouvelle théorie de lagravitation.

Il admit l'égalité entre lamassegravitationnelle et la masse inertielle comme hypothèse, la formule$E=mc^{2}$autorisant alors à utiliser l'énergie totale d'un corps au repos en lieu et place de sa masse. Ce sera fait grâce à l'outil mathématique nommé «tenseurénergie ».

Expert enexpériences de pensée,il imagina un disque en rotation. DepuisHuygens,on sait que cela implique qu'il y a une force centrifuge au niveau du périmètre, perçue comme une force gravitationnelle (car la masse gravifique et la masse inerte sont égales par hypothèse). De plus, en voulant rester dans le cadre de la relativité restreinte, il conclut qu'unobservateursur le périmètre et solidaire avec le disque constate une augmentation du périmètre du disque mais pas de son rayon (contraction de la mesure parallèle au mouvement, mais pas de celle qui est perpendiculaire):ce n'est pas possible dans un espace plat. De ce fait, la gravitation oblige à utiliser unegéométrie non euclidienne.

Einstein imagina un expérimentateur enfermé dans un ascenseur aux parois opaques, subissant une montée à accélération constante: l'ascenseur d'Einsteindans lequel il est impossible pour une personne de savoir s'il y a accélération constante ou bien attraction gravitationnelle constante (car la masse gravifique et la masse inerte sont égales par hypothèse). Il en conclut qu'il y a une équivalencelocaleentre le mouvement accéléré et la gravitation, ce qui devait se retrouver dans les équationsdifférentiellesde la nouvelle théorie. C'est sonprincipe d'équivalence.

Enfin, Einstein voulait trouver une expression des lois de la nature (à l'époque: dynamique, gravitation et électromagnétisme) qui soit inchangée quel que soit le référentiel (accéléré ou galiléen, etc.): c'est la relativité galiléenne généralisée à tous les repères (nommée «covariance»).

La grande difficulté étant de mettre ces principes sous forme mathématique, il en discuta avecDavid Hilbertqui, d'abord dubitatif, faillit lui ravir la vedette en trouvant la théorie en même temps que lui.

Géodésiquesd'un espace bidimensionnel courbe.

Larelativité généraleajouta à la relativité restreinte que la présence de matière pouvait déformer localement l'espace-temps lui-même (et non pas seulement les trajectoires), de telle manière que des trajectoires ditesgéodésiques— c'est-à-dire intuitivement de longueur minimale — à travers l'espace-temps ont des propriétés decourburedans l'espace et le temps. Le calcul de la « distance » dans cet espace-temps courbe est plus compliqué qu'en relativité restreinte; en fait, la formule de la « distance » est créée par la formule de la courbure, et vice-versa.

Les géodésiques sont les trajectoires vérifiant leprincipe de moindre action,suivies par lesparticules test(c'est-à-dire dont l'influence sur le champ de gravitation dans lequel elles se déplacent est négligeable, ce qui est le cas par exemple d'unsatellite artificielautour de la Terre ou bien d'unphotonpassant à côté duSoleilmais pas d'une étoile orbitant autour d'une autre dans unsystème binaireoscillant rapidement); elles ont donc une importance pratique majeure pour la compréhension intuitive d'un espace courbe.

Conséquences théoriques et observations

Phénomènes divers

• Einstein calcula immédiatement (1915) ladéviationdes positions apparentes des étoiles par le Soleil: le29 mai 1919,les mesures furent faites parArthur Eddingtonlors d'uneéclipse solaire,et malgré quelques imprécisions de mesure, cela constitua une première confirmation de la théorie.
• Cette théorie prévoit une rotation lente de l'ellipse de révolution deMercurequi concorde parfaitement avec les observations.
• La gravitation doit ralentir le temps mesuré à distance, donc modifier les fréquences et les longueurs d'onde des rayonnements reçus et émis à distance: par exemple, l'expérience de Pound et Rebkaà l'université Harvard(1959) a permis de détecter un changement de lalongueur d'onded'une sourcemonochromatiquedecobaltprovoqué par le champ gravitationnel terrestre sur une altitude de 22,5 mètres. Une des conséquences pratiques est que leshorloges atomiquesenorbiteautour de laTerredusystème de positionnementGPS(Global Positioning System) nécessitent une correction pour compenser l'effet dû à la gravité terrestre.
• Letemps propres'écoule d'autant plus lentement que lechamp gravitationnelest intense. Leshorloges atomiquessont devenues tellement précises qu'on se prépare à utiliser leur retard commealtimètre.

Lentille gravitationnelle

Lentille gravitationnelle.

La lumière suit les géodésiques (des lignes d'espace-temps) qui sont déformées aux abords d'un corps massif par effet de la gravitation. Par conséquent, et contrairement aux prévisions newtoniennes, la trajectoire de la lumière peut être fortement infléchie en présence d'un corps massif (par exemple une planète particulièrement massive). Deux rayons issus d'un même corps présent d'un côté d'un astre massif, et dirigés dans des directions différentes, peuvent se rejoindre du côté opposé de l'astre et créer une image dédoublée, une sorte de mirage d'origine gravitationnelle.

De tels phénomènes sont observés depuis de nombreuses années et pourraient servir à la détection de lamatière noireprésente dans l'univers.

Trou noir

Ledisque d'accrétiondu trou noirM87*imagé par l'Event Horizon Telescope.Le trou noir lui-même est invisible, au centre de la zone noire centrale.

À la suite de la découverte de lamétrique de Schwarzschild(1916), il est apparu dans les équations que pour toute masse sphérique, il existe une distance au centre (lerayon de Schwarzschild) où des phénomènes particuliers se manifestent, si la masse est de rayon inférieur: pour un observateur un peu éloigné, les corps s'approchant de ce rayon semblent s'immobiliser, ses horloges s'arrêter et ceci pour l'éternité; de plus, mis à part les phénomènes gravitationnels, nulle information ne semble pouvoir venir de cette masse centrale, pas même la lumière, et la masse centrale elle-même n'est décelable que par ses effets gravitationnels.

Toutefois, ce rayon de Schwarzschild n'apparut d'abord que comme une possiblesingularitétopologiquede l'espace-temps,une absurdité qui marquait une limite de la théorie, ce qui ne satisfaisait pas Einstein. Entre 1938 (Georges Lemaître) et 1939 (Robert Oppenheimer) est émise l'hypothèse que c'était un phénomène réaliste, nommécollapse gravitationnel.Dans les années 1960, la nature de ce phénomène a été précisée: il a été compris que le rayon de Schwarzschild n'est pas une singularité de l'espace-temps, mais seulement une singularité de la métrique utilisée due à la courbure de l'espace alors que la métrique est construite comme si l'espace était plat. Les phénomènes décrits par la métrique de Schwarzschild restent valables pour l'observateur éloigné; lamétrique de Kruskal-Szekeres(1960) a permis de comprendre comment se fait le passage du rayon de Schwarzschild pour le voyageur.

Depuis, différents types de trous noirs ont été mis en évidence (avec ou sanschargeoumoment cinétique), leur dynamique a été étudiée en détail, l'hypothèse de leurévaporationa été précisément formulée, et la notion, très hypothétique, detrou de vera été avancée. L'observation et la détection des trous noirsest toujours l'objet de travaux intenses, mais de nombreux trous noirs (stellaires,intermédiairesetsupermassifs) ont été détectés au-delà de tout doute raisonnable. En 2019 est publiée la première image d'un véritable trou noir.

Ondes gravitationnelles

Recherche

La détection des ondes gravitationnelles, émises par des masses (importantes) en mouvement accéléré, est l'objet d'intenses recherches internationales; cependant, la petitesse des énergies mises en jeu les rend difficilement perceptibles. Les premières détections furent indirectes: en 1974, une perte d'énergie a été observée dans unpulsar binaire(PSR 1913+16) et a été interprétée comme due à l'émission d'ondes gravitationnelles; par la suite, de nombreuses observations plus précises n'ont fait que confirmer le modèle théorique; on trouvera un exposé plus détaillé de ces observations dansla section correspondantede l'articlePulsar binaire.

Le14 septembre 2015,les chercheurs duLIGOont détecté des ondes gravitationnelles de l'événementGW150914:lacoalescencede deuxtrous noirs.Ce fut annoncé le11 février 2016lors d'une conférence de laNational Science Foundationà Washington. Le résultat est publié le jour même dans la revuePhysical Review Letters.Ce serait aussi« la première preuve directe de l’existence des trous noirs »,affirmeThibault Damour,physicien théoricien français.

Laphysique quantiquepermet d'émettre l'hypothèse qu'à cette onde est associée uneparticuleresponsable de l'interaction gravitationnelle: legraviton,demassenulle car se déplaçant à lavitesse de la lumièredans le vide.

Détails mathématiques

En considérant un champ de gravitation faible, la métrique$\ g_{ij}$s'écarte peu de la métrique$\ \eta _{ij}$de l'espace de Minkowski:$\ g_{ij}=\eta _{ij}+h_{ij}$. Avec la condition de petitesse de$\ h_{ij}$et en ajoutant une condition de jauge, letenseur de Riccipeut prendre la forme simple$\ R_{ij}={\frac {1}{2}}\square h_{ij}$,où$\ \square$est led'alembertien.

Dans le vide, l'équation d'Einstein s'écrit$\ \square h_{ij}=0$,ce qui est uneéquation d'onde.Lagravitationpeut donc, dans ces conditions, être considérée comme une onde.

On peut de même considérer la gravitation comme une perturbation ondulatoire par rapport à une métrique quelconquenon perturbée,c'est-à-dire dans un espace-temps courbe et stationnaire, et on peut aussi considérer desondes gravitationnelles de forte intensité,et étudier le rayonnement énergétique de ces ondes (en utilisant letenseur énergie-impulsion).

Modèles d'Univers

L'hypothèse de l'homogénéité et l'isotropie, qui constitue leprincipe cosmologiqueet qui est en accord avec les observations sur une grande échelle, implique que l'on peut choisir un temps universel tel que la métrique de l'espace soit la même à tout instant, pour tous les points et dans toutes les directions,ce qui est compatible avec la théorie duBig Bangqui prévaut actuellement.

À partir des équations d'Einstein, plusieurs modèles d'Universsont possibles. En 1915, Einstein concevait l'Univers comme stationnaire,ce que les observations cosmologiques ont contredit. Plus tardAlexandre FriedmannetGeorges Lemaîtreont proposé des modèles non stationnaires. En effet, lamétrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walkermontre que trois modèles homogènes et isotropes de l'Univers sont possibles suivant la valeur d'un paramètre dans la métrique: espace plat (en moyenne), à courbure positive (univers ditfermé:de volume fini), ou à courbure négative (univers ditouvert:de volume infini). D'autresmodèles cosmologiques,plusexotiques,sont compatibles avec les équations de la relativité générale, tels que: l'univers de de Sittercorrespondant en physique à un univers homogène, isotrope, vide de matière et ayant uneconstante cosmologiquepositive; l'univers mixmasterqui est un univers vide de matière, homogène mais anisotrope, dont le taux d'expansion diffère dans les trois directions d'espace; l'univers de Gödelqui ne respecte pas leprincipe de causalité.

Test spatial du principe d'équivalence

Le micro-satelliteMicroscope,de 300 kg, lancé enavril 2016,porte deux masses en platine et titane qui ont accompli l'équivalent d'une chute de 85 millions de km. La mission, prévue jusqu'à fin 2018, confirme ennovembre 2017la validité duprincipe d'équivalence.

Comportements d'objets denses en chute libre

En2018,à la suite de l'observation de la trajectoire d'unpulsaret d'unenaine blanche,de densités très différentes, en orbite autour d'une troisième naine blanche à 4 200 années-lumière de la Terre, la différence relative entre les accélérations subies par les deux corps a été mesurée inférieure à$2,6\cdot 10^{-6}$,ce qui est en accord avec la relativité générale qui prédit, comme les théories antérieures, que l'accélération subie par un objet ne dépend pas de sa densité.

Résumé de la théorie

Le mouvement d'unemassed'épreuve (très petite) soumise uniquement à la gravitation des masses environnantes est en fait unmouvement inertieldans unespace-tempscourbépar ces masses (la courbure observée dépend aussi duréférentielde l'observateur). Laligne d'universtracée dans cet espace-temps courbe est unegéodésiquepour une métrique obéissant auxéquations non linéaires d'Einsteinqui relient la courbure de l'espace-temps (vu depuis le référentiel choisi) et la présence de masses.

Référentiels et synchronisation des horloges

L'idée centrale de la relativité est que l'on ne peut pas parler de quantités telles que la vitesse ou l'accélération sans avoir auparavant choisi un cadre de référence, unréférentiel.Tout mouvement, toutévénementest alors décrit relativement à ce référentiel de l'observateur.

La relativité restreinte postule que ce référentiel doit êtreinertielet peut être étendu indéfiniment dans l'espace et dans le temps.

Dans le but de ne privilégier aucun type de référentiels en particulier dans l'écriture des lois de la nature (principe de covariance générale), la relativité générale traite en plus les référentiels non inertiels, c'est-à-dire dans lesquels un corpslibre de toute contraintene suit pas unmouvement rectiligne et uniforme.Dès lors, tout système de coordonnées est a priori admissible et, généralement, ses limites se révèlent à l'usage.

Enphysique classique,un exemple de référentiel non inertiel est celui d'un véhicule dans lequel on est placé et qui suit un virage: laforce centrifugeque l'on ressent contrarie le mouvement inertiel des corps par rapport au véhicule. Un autre exemple est le référentiel lié à la terre, qui du fait de la rotation terrestre voit se manifester laforce de Coriolisbien mise en valeur par lependule de Foucault.Uneforce centrifugeest ditefictivecar elle n'est qu'une manifestation de l'inertie (premier principe de Newton), et non pas due à l'application d'uneforce.

En relativité générale, il est admis que l'on ne peut définir un référentiel que localement et sur une période finie. Cette limitation est une nécessité car elle s'impose dans plusieurs cas:

• cas le plus simple: unréférentiel cartésiende l'espace en trois dimensions tournant sur lui-même autour d'un axe. L'utilisation de la relativité restreinte impose unecontraction du périmètredu cercle de rotation qui aboutit à un périmètre nul à une certaine distance de l'axe de rotation. À cette distance, ce référentiel n'est plus utilisable;
• l'espace s'avérantcourbe,en relativité générale, l'utilisation d'un référentieldroit(utilisé pour un espace euclidien ou pseudo-euclidien, comme l'espace de Minkowski) revient à projeter cet espace sur unespace euclidien,ce qui ne peut être que localement et provisoirement possible, de la même manière qu'à cause de la courbure de la surface terrestre, on ne peut dessiner une carte plate sans distorsion que sur une région limitée. Un exemple célèbre est lamétrique de Schwarzschildqui correspond à unréférentiel sphériquepseudo-euclidien à quatre dimensions (applicable sans limitation à l'espace de Minkowski), et qui n'est plus valable à l'approche durayon de Schwarzschild;
• lasynchronisation des horlogesse heurte à d'insurmontables difficultés: dans de nombreux cas il n'est pas possible de synchroniser parfaitement les horloges se trouvant sur un circuit fermé, ni même sur d'autres types d'axesde coordonnées car les propriétés de l'espace évoluant avec lesystèmeobservé, des horloges initialement synchronisées se désynchronisent. On peut toutefois réussir cette synchronisation en plaçant l'observateur dans unréférentiel synchrone(c'est-à-dire enchute libredans le champ degravitation) où sont choisis commeaxesdesgéodésiquesde l'espace-temps, évoluant au cours du temps de ce référentiel.

Principe d'équivalence

Version moderne de l'ascenseur d'Einstein:dans l'espace vide, une fusée subit une accélération constante.
La chute d'un objet vue par un observateur extérieur (à gauche), et vue par l'hôte de la fusée (à droite).

Parce qu'il n'a jamais été possible de mettre en évidence le moindre écart entre lamassed'inertie(résistance d'un corps à l'accélération) et lamasse pesante(qui détermine son poids dans un champ de gravité), leprincipe d'équivalenceen relativité générale postule qu'un mouvement de chute libre dans unchamp gravitationnelconstant n'a pas à être distinguélocalementd'un mouvement uniformément accéléré en l'absence de champ gravitationnel: la gravitation est (localement) équivalente au choix d'un référentiel accéléré pour l'observateur(accélérationconstante ou variable) par rapport à unréférentiel inertiel;elle n'est donc localement qu'un effet relativiste.

Ce résultat n'est quelocal,c'est-à-dire valable pour un espace restreint, « petit ». Dans un volume plus important et avec desaccéléromètressensibles, on distinguera au contraire très bien un champ de gravité (forces concourantes), une simple accélération (forces parallèles) et uneffet centrifuge(forces divergentes). Mais dans un volume quasi-ponctuel, aucune mesure ne peut faire la distinction.

Cette équivalence est utilisée dans le cadre de l'entraînement desastronautes:ceux-ci montent dans des avions effectuant unvol parabolique,simulant ainsi un peu plus d'une quinzaine de secondes la « chute libre » d'un corps satellisé (mais pour ce dernier, la chute libre peut durer indéfiniment, puisque sa trajectoire est une boucle).

Existence d'un référentiel inertiel en chaque point

En chaque point de l'espace-tempsil existe un référentiel localement inertiel: un référentiel en chute libre (dans le champ de gravitation, s'il y en a un) dans lequel tous les corps chutent simultanément au référentiel, si bien qu'ils ne paraissent subir aucune gravitation par rapport à ce référentiel. Par hypothèse, un tel référentiel décrit unespace de Minkowski,localement. Ainsi le choix d'un référentiel fait-il disparaître, localement, les effets de la gravitation, ou bien il en crée; mais ces effets ne sont que locaux.

Détermination de la gravitation par la métrique

En chaque point de l'espace-temps, la gravitation peut être décrite comme le choix pour l'observateurd'un référentiel non inertiel dans un espace plan. Lamétriquedans ce référentiel est la métrique dans un référentiel inertiel au même point mais exprimée avec les coordonnées du référentiel non inertiel (ce qui peut donner des formules laborieuses). Les coefficients$g^{ij}$de cette expression quantifient la différence entre une métrique de référentiel inertiel et le référentiel de l'observateur: elles contiennent toutes les informations nécessaires pour passer d'un référentiel à l'autre. Ainsi, la gravitation ne dépend que de la métrique du référentiel de l'observateur.

Letemps propre$\ \tau$du référentiel inertiel (minkowskien) donne sa métrique et vérifie$\ c^{2}.d\tau ^{2}=dX_{i}.dX^{i}=g^{ij}.dx_{i}.dx_{j}$,où$(x_{i})$sont les coordonnées dans le référentiel de l'observateur et$\left(X_{i}\right)$les coordonnées dans un référentiel inertiel au même point. En posant$\ dx^{i}=g^{ij}.dx_{j}$,avec laconvention d'Einstein,on peut écrire$\ dx^{i}.dx_{i}=c^{2}.d\tau ^{2}$.

Géodésiques

Dans un référentiel en chute libre (donc inertiel), deux corps libres se suivent en ligne droite, à des vitesses différentes et constantes (du fait de l'inertie). Alors dans un référentiel où une gravitation — ou accélération — constante est ressentie, chacun suit une géodésique différente.

Le principe d'équivalence permet d'affirmer que localement, le champ de gravitation est équivalent à un choix de référentiel, et que l'on peut annuler (toujours localement et momentanément) les effets de la gravitation en choisissant unréférentiel inertiel.La géodésique suivie par un corps est particulièrement simple dans cette théorie: c'est la courbe suivie par ce corps quand il se déplace sur la ligne droite d'un tel référentiel inertiel,mais vu depuis le référentiel de l'observateur.En général, à chaque instant du mouvement, le référentiel inertiel local est à redéfinir, et donc les géodésiques aussi, là est la complexité: les géodésiques sont des solutions d'équations différentiellesdéfinies dans le référentiel de l'observateur.

Comme dans le cas d'un espace plat où le référentiel de l'observateur est en rotation autour d'un axe, par rapport à un référentiel inertiel, l'observateur perçoit commecourbésles mouvements rectilignes uniformes du référentiel inertiel.

À chaque instant, un nouveau référentiel inertiel peut être utilisé et il est rare qu'un seul accompagne le corps en mouvement dans le référentiel de l'observateur: ça ne se rencontre que pour des situations purement académiques. Même dans un tel cas, si deuxmobilessuivent la même ligne droite dans un référentiel inertiel, ils ne sembleront pas pour autant se suivre dans un référentiel non inertiel: si le référentiel de l'observateur n'est pas inertiel, deux corps ayant des vitesses initiales différentes se déplacent sur des géodésiques différentes.

Dérivée covariante

La dérivée covariante étant la dérivée le long des géodésiques, considérées comme destangentesà la trajectoire, on comprend qu'ici elle soit indépendante du référentiel de l'observateur, et que ses calculs soient un peu laborieux car ils incluent un changement de référentiel pour passer de celui de l'observateur à un référentiel inertiel, différent à chaque instant car un référentiel n'est que localement et provisoirement inertiel. La dérivée covariante d'un quadri-vecteur est la dérivée le long de la géodésique qui relie deux positions successives (et infiniment proches) de ce vecteur.

Ladérivée covarianted'un quadri-vecteur dans le référentiel quelconque est notée${\frac {\nabla u^{i}}{d\tau }}$,où$\tau$est letemps proprelié au quadri-vecteur. Leprincipe de correspondanceconsiste alors à considérer que là où il y a une égalité du type$m.{\frac {d{\vec {V}}}{dt}}=\dots$,enphysique classique,ou$m.{\frac {dV^{i}}{d\tau }}=\dots$enrelativité restreinte,on peut écrire$m.{\frac {\nabla v^{i}}{d\tau }}=\dots$en relativité générale, à condition que le membre de droite de l'égalité ait aussi son équivalent dans cette théorie. Cela est rendu possible parce que, finalement, il s'agit de la même chose exprimée de manières différentes: des dérivations le long d'axes rectilignes de référentiels inertiels.

Dans le cas où, par rapport au référentiel inertiel, le quadri-vecteur est constant au cours du temps propre$\ \tau$(mouvement inertiel), on a${\frac {\nabla u^{i}}{d\tau }}=0$.

Dynamique

Supposons que dans un référentiel quelconque soit exercée une force relativiste, sous la forme d'un quadri-vecteur$\ \left(f^{i}\right)_{i=0;1;2;3}$,sur le corps observé. Par changement de référentiel, on peut considérer cette force dans un référentiel d'inertie local par un quadri-vecteur$\ \left(F^{i}\right)_{i=0;1;2;3}$.

Duprincipe fondamental de la dynamique,$m.{\frac {d{\vec {V}}}{dt}}={\vec {F}}$,en physique classique, on tire par leprincipe de correspondance$m.{\frac {dV^{i}}{d\tau }}=F^{i}$en relativité restreinte, puis enfin$m.{\frac {\nabla v^{i}}{d\tau }}=f^{i}$,équation de la dynamique relativiste en présence d'un champ de gravitation.

Équation d'Einstein

L'équation d'Einstein est l'expression mathématique de la Relativité Générale et plus généralement de toute la physique de lagravitation.Il s'agit d'une formule fondamentale, qui ne peut être dérivée d'une théorie sous-jacente.

Sa forme générale signifie:

${\left({\text{Une mesure de la courbure moyenne de l'espace-temps}}\right)=\left({\text{Une mesure de la densité d'énergie}}\right)}$

Cette équation exprime et concentre les idées principales d'Einstein gouvernant la relativité générale: leprincipe d'équivalenceamène à affirmer que la gravitation n'est pas une véritableforce.S'il n'existe aucune force pour dévier ou accélérer la trajectoire des objets, c'est que c'est l'espace-temps lui-même qui est déformé et la théorie de la gravitation doit se manifester sous forme d'une courbure de l'espace-temps. Les objets suivent desgéodésiques,qui peuvent être considérées comme l'équivalent des lignes droites pour cet espace-temps courbé. L'utilisation du formalisme destenseursrend l'expression de cette loi indépendante desréférentielset est donc conforme auprincipe de relativité.

Cette équation est locale: elle indique la manière avec laquelle l'espace-tempsse courbe en unpointde l'espace-temps en fonction de la densité de matière qui s'y trouve et, réciproquement, la disposition ou l'évolution de la matière en un point en fonction de la courbure à ce point. L'espace-temps agit sur la matière, qui elle-même agit sur l'espace-temps. Cetterétroactionse traduit par unenon-linéaritédes équations d'Einstein, qui sont de ce fait extrêmement difficiles à résoudre de manière exacte. Le caractère local de l'équation a pour conséquence que selon la relativité générale, il n'existe pas d'action instantanée à distance: la matière courbe localement l'espace-temps, ce qui perturbe l'espace-temps un peu plus loin et ainsi de suite. Les perturbations gravitationnelles se propagent ainsi à lavitesse de la lumière.

Cette équation se traduit par un ensemble complexe d'équations différentiellesd'untenseur métrique$g_{ij}$.Néanmoins l'expression de cette équation reste concise et élégante, et est considérée par beaucoup de physiciens comme étant une des formules les plus importantes et les plus belles de la physique.

Ses solutions, qui sont desmétriquesde l'espace-temps, permettent de définir desmodèles cosmologiquesformalisant l'évolution à grande échelle de l'univers, de modéliser les propriétés d'objets astronomiques comme lestrous noirs,ou de prédire l'existence d'ondes gravitationnelles.Elle incorpore bien entendu laloi universelle de la gravitationde Newton comme approximation dans le cas de champ gravitationnel faible.

Plus précisément, l'équation d'Einstein s'exprime sous la forme globale suivante:

$G_{ij}=\chi \ T_{ij}$

avec$G_{ij}$qui est letenseur d'Einsteinqui représente la courbure de l'espace-temps en un point, et$T_{ij}$qui est letenseur énergie-impulsionreprésentant la contribution de toute la matière (et énergie) à la densité d'énergie en ce point du champ gravitationnel. Mais ce tenseur ne tient pas compte de l'énergie éventuellement présente dans le champ gravitationnel lui-même.

$\chi$est un simple facteur dimensionnel, permettant d'exprimer l'équation dans les unités usuelles et de faire correspondre l'équation à la réalité physique et à la valeur observée de laconstante gravitationnelle.

La manière la plus naturelle de représenter lacourburepar un tenseur serait d'utiliser untenseur de Riemann,qui est la façon la plus courante d'exprimer la courbure desvariétés riemanniennes,l'espace-temps étant parfaitement représenté par unevariété pseudo-riemannienne.Mais ce tenseur est d'ordre 4 (à 4 indices), alors que le tenseur énergie-impulsion est d'ordre 2: 2 indices sont en effet suffisants pour décriretoutesles propriétés dynamiques de l'énergie et la matière, et construire un tenseur énergie-impulsion d'ordre 4 n'aurait aucun sens physique.

Il est donc nécessaire de construire un tenseur spécial représentant la courbure, ayant un sens physique et qui puisse être identifié au tenseur énergie-impulsion. C'est tout le travail qu'effectue Einstein entre 1913 et 1915, pour aboutir autenseur d'Einstein,et à la formulation exacte de l'équation d'Einstein.

Tenseur énergie-impulsion

Le tenseur énergie-impulsion représente la contribution de toute la matière (et de tous les champsnon gravitationnels) à la densité d'énergie en un point.

Le tenseur énergie-impulsion possède unedérivée covariantenulle, et une dérivée covariante étant une « dérivée le long des géodésiques », cela traduit qu'un objet suivant une géodésique conserve son énergie.

Toutefois, la dérivée covariante nulle du tenseur énergie-impulsion ne traduit pas la conservation de l'énergie-impulsion du corps en présence de gravitation, ni « la conservation de quoi que ce soit», ce qui se comprend en remarquant que dans unréférentiel non inertielun corps initialement au repos peut acquérir de la vitesse sans pour autant changer demasse,ce qui correspond à une acquisition d'énergie cinétique:la loi deconservation de l'énergied'un corps reste valable uniquement dans lesréférentiels inertiels.

Ce tenseur ne prend pas en compte l'énergie éventuellement présente dans le champ gravitationnel lui-même, quand celui-ci est dynamique (présence d'ondes gravitationnelles par exemple), cette expression ne représente pas la conservationglobalede l'énergie. La conservation de l'énergie en présence d'un champ gravitationnel dynamique est un sujet délicat et non encore complètement résolu en relativité générale.

Le tenseur d'Einstein

Le tenseur de Ricci (composantes rouges) représente l'accélération à partir de l'état de repos d'une sphère de particules entourant une masse.

Le tenseur d'Einstein est donc un tenseur qui, dans l'équation d'Einstein, représente la courbure et possède une signification physique, c'est-à-dire d'ordre 2, symétrique, possédant une dérivée covariante nulle, et qui permet de retrouver laloi de gravitation de Newtoncomme approximation avec des champs gravitationnels faibles et vitesses en jeu très inférieures à celle de la lumière.

Il existe un moyen de construire un tenseur d'ordre 2 à partir d'un tenseur d'ordre 4: effectuer unecontraction du tenseurselon deux indices. Une telle contraction dutenseur de Riemanndonne un tenseur connu sous le nom detenseur de Ricci,noté$R_{ij}$.

Pour construire une équation physique, le tenseur de Ricci possède une propriété intéressante: il permet de retrouver l'accélération à partir de l'état de repos d'une sphère de particules entourant une masse ponctuelle. En mécanique newtonienne, cette même accélération est calculée à partir de l'équation de Poisson${\nabla }^{2}\Phi =4\pi G\rho$,$\Phi$étant lepotentiel gravitationnelet$\rho$la densité de masse. Le tenseur de Ricci$R_{ij}$et le terme gauche de l'équation de Poisson possédant tous les deux des dérivées secondes de la métrique et ayant une même signification physique, il serait naturel de poser:

$G_{ij}=R_{ij}=4\pi GT_{ij}$

$T_{ij}$étant le tenseur représentant la densité de masse, et cette équation a été effectivement proposée en 1913 par Einstein. Ce tenseur est en effet d'ordre 2 et symétrique, mais il s'avère que sa dérivée covariante n'est pas nulle. En fait, en utilisant lesidentités de Bianchisur le tenseur de Riemann, on trouve que c'est le tenseur$R_{ij}\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{ij}\,R$qui possède une dérivée covariante nulle. Einstein ne connaissait pas les identités de Bianchi, et trouve le tenseur d'Einstein, après deux ans d'intense efforts, aidé par le mathématicienMarcel Grossmann:

$G_{ij}=R_{ij}\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{ij}\,R$

$R$est lacourbure scalaire,qui est elle-même une contraction du tenseur de Ricci, et$g_{ij}$est letenseur métrique,solution des équations d'Einstein. Si le tenseur de Riemann donne la courbure d'une variété en un point, selon un plan défini par un couple de vecteurs, le tenseur de Ricci représente la moyenne des courbures selon tous les plans contenant un vecteur donné, tandis que le tenseur d'Einstein représente la moyenne des courbures selon tous les plans orthogonaux à ce vecteur.

Il a été démontré que le tenseur d'Einstein est le seul tenseur pouvant être mathématiquement construit qui possède toutes les propriétés voulues: ordre 2, qui possède des dérivées secondes de la métrique, de dérivée covariante nulle et qui s'annule en espace plat (permettant de retrouver Newton)

David Hilberta aussi justifié cette équationpar le principe de moindre actiondès 1915.

Expression complète de l'équation d'Einstein

Étant donné le tenseur d'Einstein, la formulation complète et exacte de l'équation d'Einstein en découle directement:

$\ R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}.R=\chi \ T_{ij}$

avec$\chi ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}$,et (i,j) allant de 1 à 4 (pour les 4 dimensions de l'espace-temps).

Éclatée enéquations différentielles,cette expression tensorielle se traduit par dix équations aux dérivées partiellesnon-linéaires.Sur ces dix équations, quatre dépendent du choix du référentiel, ce qui laisse six équations à résoudre pour déterminer la métrique.

Constante cosmologique

Il est important de noter que l'ajout d'une « constante» au tenseur d'Einstein ne change pas ses caractéristiques physiques: sa dérivée covariante reste nulle et les lois de Newton sont toujours retrouvées aux limites. L'équation du champ peut donc contenir un paramètre « supplémentaire » appelé laconstante cosmologique$\ \Lambda$qui a été introduite à l'origine par Einstein pour qu'un univers statique (c'est-à-dire un univers qui n'est ni enexpansion,ni en contraction) soit solution de son équation.

Les équations d'Einstein s'écrivent alors:

$\ R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}.R+g_{ij}.\Lambda =\chi T_{ij}$

Cet effort se solda par un échec pour deux raisons: d'un point de vue théorique, l'univers statique décrit par cette théorie est instable; et de plus les observations de l'astronomeEdwin Hubbledix ans plus tard démontrèrent que l'Universétait en fait en expansion. Donc$\ \Lambda$fut abandonnée, mais récemment, des techniques astronomiques ont montré qu'une valeur non nulle de ce paramètre permet d'expliquer certaines observations, notamment l'énergie sombre.(C'est l'astrophysicienJim Peeblesdans les années 1980 qui va réintroduire la constante cosmologique).

Équation d'Einstein dans le vide. Tenseur de Weyl

Il est possible de reformuler les équations d'Einstein de manière, rigoureusement équivalente, à isoler le tenseur de Ricci:

$R_{ij}=\chi \ \left(T_{ij}+{\frac {1}{2}}g_{ij}.T\right)-g_{ij}.\Lambda$

Dans le vide où il n'existe aucune énergie ni matière,$T_{ij}=0$.Il devient alors apparent que l'équation d'Einstein se résume à:

$R_{ij}=0$

quand la constante cosmologique est nulle. Un espace vide dont le tenseur de Ricci s'annule est nommé un espace « Ricci-plat ».Cela ne signifie pas que l'espace-temps est plat en l'absence de toute matière ou énergie:la courbure de l'espace est représentée par le tenseur de Riemann, pas par le tenseur de Ricci.

Déformation d'une sphère de particules soumise aux forces de marée, modélisée par le tenseur de Weyl.

Le fait que le tenseur de Ricci représente une courburemoyenneimplique que, dans le vide (au point où est faite la mesure: absence d'énergie courbant l'espace), l'espace soiten moyenneplat (courbure moyenne nulle), mais courbé dans chaque direction, du fait que plus ou moins loin, des présences d'énergies (des masses en mouvement) courbent l'espace en le mettant sous tension, un peu comme une nappe tirée à ses coins. Par ailleurs, la forme globale de l'universimpose des courbures dans les différentes directions, bien que dans le vide la courbure moyenne reste nulle: diversesformes d'universsont possibles, aucune n'est certaine à ce jour.

Si on considère le tenseur de Ricci comme lasourcedu champ gravitationnel, le champ gravitationnel lui-même est représenté par le tenseur de Riemann, duquel on soustrait le tenseur de Ricci pour ne laisser que les degrés de liberté qui ne sont pas issus de la source elle-même. Le tenseur obtenu est letenseur de Weyl$C_{ijkl}$,qui a les mêmes propriétés que le tenseur de Riemann, mais qui représente réellement lechamp gravitationnel:${\text{WEYL}}={\text{RIEMANN}}-{\text{RICCI}}$.C'est l'annulation de ce tenseur qui est la condition pour la platitude conforme de l'espace-temps.

Le tenseur de Weyl représente lesforces de maréedues à la gravitation. Une sphère de particules soumise au tenseur de Weyl, par l'influence d'une masse en dehors de la sphère, subit une déformationqui ne change pas son volume,contrairement à l'influence du tenseur de Ricci. Lesondes gravitationnellessont décrites, dans le vide, par le tenseur de Weyl.

La masse gravitationnelle active

Le tenseur densité-impulsion amène à définir le concept demasseen relativité générale de manière légèrement différente par rapport au cas des lois Newtoniennes. En reprenant l'expression de l'équation d'Einstein qui isole le tenseur de Ricci:$R_{ij}=\chi \left(T_{ij}+{\frac {1}{2}}g_{ij}.T\right)-g_{ij}.\Lambda$,et en identifiant celui-ci à l'accélération initiale, et à l'équation de Poisson, on trouve une masse gravitationnelle active équivalente:

$\rho _{G}=\rho +P_{1}+P_{2}+P_{3}-{\frac {\Lambda }{4\pi G}}$

au lieu de$\rho _{G}=\rho$dans le cas Newtonien. Les valeurs$P_{i}$sont les valeurs de lapressionsur les trois axes spatiaux orthogonaux, et la constante gravitationnelle contribue à la masse gravitationnelle active.

Dans les conditions normales, la contribution de la pression à la masse gravitationnelle active est très faible, et la constante cosmologique négligeable. Mais la pression peut jouer un rôle considérable dans des conditions extrêmes notamment lors de l'effondrement gravitationneld'étoiles massives, où la pression - au lieu de s'opposer à l'effondrement gravitationnel comme on pourrait s'y attendre - accroît la tendance à l'effondrement en augmentant la masse gravitationnelle active.

Conservation de l'énergie et énergie du champ gravitationnel

Dégénérescence orbitale de PSR B1913+16. Les points indiquent les changements observés au cours du temps dupériastrede l'orbite, dus à la perte d'énergie emportée par les ondes gravitationnelles. La ligne continue représente les prédictions de la relativité générale.

Il existe des situations physiques où l'énergie peut être échangée entre des systèmes gravitationnels et non-gravitationnels. Par exemple, quand un corps massif orbite autour d'un autre corps massif, il y a émission d'ondes gravitationnellesqui emportent une certaine énergie du système. Cette perte est absolument négligeable dans les ordres de grandeurs classiques (par exemple, l'énergie dégagée par unité de temps sous forme d'ondes gravitationnelles par l'orbite deJupiterautour du soleil correspond à 40 watts). Mais dans des circonstances où les ordres de grandeurs sont très élevés, comme pour lepulsar binairePSR B1913+16,l'énergie emportée a des effets importants et mesurables, qui permettent d'ailleurs de valider avec succès la théorie de la relativité générale.

La théorie de la relativité générale ne donne pas une représentation immédiate et évidente de ce phénomène.Le tenseur énergie-impulsion ne donne que l'énergie d'un corps ou d'un champ non gravitationnel en un point, sans tenir compte de l'énergie du champ de gravitation en ce point. L'énergie des ondes gravitationnelles n'est donc pas représentée par ce tenseur, et sa dérivée covariante nulle ne représente pas la conservation globale de l'énergie. Pour représenter une énergie du système « corps-champ de gravitation » se conservant, Einstein a exprimé l'énergie du champ par un «pseudo-tenseur(en)» qui s'annule pour un choix de référentielen chute libre(inertiel) au point considéré: l'énergie du champ de gravitation n'existe qu'en fonction du référentiel choisi.Ce « pseudo-tenseur », tiré du tenseur de Ricci, exprime aussi l'auto-corrélation du champ sur lui-même, ce qui explique sa formulation assez compliquée. En particulier, l'énergie émise sous forme d'ondes gravitationnelless'exprime à l'aide de ce « pseudo-tenseur ».

Ces échanges ont aussi été étudiés et modélisés parHermann BondietRainer Sachspour un type d'espace-temps particulier, l'espace-temps asymptotiquement plat(en),qui représente des systèmes gravitationnels considérés comme isolés du reste de l'univers, ce qui est approximativement vrai pour des systèmes comme des pulsars binaires.

Mais la compréhension de la conservation globale de l'énergie en présence d'un champ gravitationnel dynamique reste un sujet délicatet non encore complètement résolu en relativité générale.

Applications

Géolocalisation par satellite

La prise en compte de la relativité générale est nécessaire à la précision de lagéolocalisation par satellite.

Mesure du champ de gravité

La relativité générale permet de mesurer lagravité— et donc l'altitude — avec unehorloge atomiquesuffisamment précise.

Notes et références

Annexes

Articles connexes

Théories

• Gravitation
• Histoire de la gravitation
• Histoire de la relativité générale
• Principe de relativité
• Relativité restreinte

Tests et observations

• Lentille gravitationnelle
• Tests expérimentaux de la relativité générale
• Trou noir

Mathématiques

• Mathématiques de la relativité générale
• Action d'Einstein-Hilbert
• Courbure
• Covariance
• Géométrie dans l'espace
• Géométrie différentielle
• Géométrie non euclidienne
• Ligne d'univers
• Paramétrisation post-newtonienne
• Variété riemannienne
• Variété lorentzienne

Astronomie

• Cosmologie

Institutions

• Société italienne pour la relativité générale et la gravitation

Liens externes

Cours en ligne

• Laurent Baulieu,Introduction à la relativité générale,cours d'introduction donné à l'École polytechnique par un chercheur du Laboratoire de physique théorique des hautes énergies de l'université Paris 6 (Fichier pdf — 53 pages.)
• Éric Gourgoulhon,Relativité générale,cours de Master2^eannée, Observatoire de Paris et Universités Paris 6, Paris 7 et Paris 11 (fichier PDF — 188 pages)
• (en)Sean Carroll,Lecture notes on general relativity,cours approfondi donné en 1997 par un membre de l'Institute for Theoretical Physics, University of California at Santa Barbara (USA) (Fichiers Postscript et pdf — 238 pages)

Lectures complémentaires

• (en)Living Reviews in Relativity:les articles en ligne publiés sur ce site, géré par l'Institut Max-Planck pour la Gravitation de Potsdam (RFA), sont régulièrement remis à jour par leurs auteurs, tous spécialistes de leur domaine de contribution.
• (en)John C. Baez et Emory F. Bunn,« The meaning of Einstein's equations », dansAmerican Journal of Physics,vol. 73, 2005,p.644-652.Remarquable article pédagogique écrit en 2001 par un membre du Department of Mathematics, University of California at Riverside (USA). Donne une interprétation géométrique simple des équations du champ d'Einstein. Une version plus complète est disponible sur l'ArXiv:gr-qc/0103044
• (en)Lee C. Loveridge,Physical & geometric interpretations of the Riemann tensor, Ricci tensor & scalar curvature,remarquable article pédagogique écrit en 2004 (18 pages).
• (en)R. Arnowitt, Stanley Deser et Charles W. Misner,The dynamics of general relativity,un article écrit en 1962 sur la formulation canonique Hamiltonienne de la relativité générale, formulation passée à la postérité sous le nom de « formulation ADM » (30 pages).
• (en)Joel M. Weisberg et Joseph H. Taylor,Relativistic binary puslar B1913+16: thirty years of observations & analysis,un article de synthèse écrit en 2004 sur les mesures effectuées sur le pulsar binaire découvert en 1974 par Russel Hulse & Joseph Taylor, prix Nobel 1993 (7 pages).
• (en)Thomas B. Bahder,Clock synchronisation & navigation in the vincinity of the Earth,un article de revue écrit en 2004 sur le problème de la « synchronisation des horloges » en relativité générale, avec application au GPS (49 pages).
• (en)Norbert Straumann,The history of the cosmological constant problem,un article de revue sur la constante cosmologique écrit en 2002 par un membre du Département de physique théorique de l'université de Zurich (Suisse) (12 pages).
• (en)Jacob D. Beckenstein,Black holes: physics & astrophysics,un article de synthèse sur les trous noirs, écrit par un spécialiste en 2004. D'après des cours donnés au NATO advanced study instituteNeutrinos and explosive events in the universe,Erice (2-13 juillet 2004) (26 pages).
• B. Kouznetsov,Einstein: sa vie, sa pensée, ses théories,Marabout université, 1967 (343 pages).

Divers

• Relativité générale: comment l'espace-temps devint dynamique,Futura-Sciences
• Cours de relativité générale - CNRS, Observatoire de Paris, Université Paris Diderot

Bases de données et notices

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes:

  • Britannica
  • Store norske leksikon
  • Universalis
• Notices d'autorité:

  • BnF(données)
  • LCCN
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  • Israël
  • Tchéquie

Bibliographie

Vulgarisation

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• Stéphane Durand,La relativité animée, Comprendre Einstein en animant soi-même l'espace-temps,Belin -Pour la science,96 pages.
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• Banesh Hoffmann,Histoire d'une grande idée: la relativité,Éditions Pour La Science,1985,diffusion Belin(ISBN2-9029-1844-5).Un exposé par un ancien collaborateur d'Einstein à l'Institute for Advanced Studiesde Princeton.
• Thibault Damour,Si Einstein m'était conté,Paris, Éditions du Cherche-midi,2005(ISBN2-74910-390-8).Le spécialiste français des théories de la relativité livre « son » Einstein sans équations. Thibault Damour est professeur permanent à l'Institut des hautes études scientifiquesde Bures-sur-Yvette; il a longtemps enseigné la relativité générale au DEA de physique théorique de la rue d'Ulm.
• Albert EinsteinetLeopold Infeld,L'évolution des idées en physique,Collection Champs, Flammarion,1993(ISBN2080811193).Au format poche, une histoire de la physique, de la Mécanique de Newton jusqu'aux théories modernes (relativité,quanta), écrite en1936par Einstein lui-même et l'un de ses disciples à Princeton, pour financer le séjour de ce dernier. Accessible dès la terminale scientifique, un ouvrage qui invite à la réflexion et qui fait aimer une physique vivante et accessible.
• (en)John Wheeler,A journey into gravity & space-time,Freeman,1999(ISBN0-7167-6034-7).La relativité générale vulgarisée par un expert mondial.
• (en)Herman Bondi,Relativity and Common Sense,Heinemann, 1964. Une introduction accessible à tous par un scientifique renommé.

Ouvrages d'initiation

Accessibles au niveau du premier cycle universitaire.

• Dennis Sciama,The Physical Foundations of General Relativity,Doubleday, 1969(ISBN0-385-02199-2).Né en 1926 en Angleterre, l'auteur est un astrophysicien qui a été dès la fin des années 1950 l'un des grands théoriciens des trous noirs. Il a joué un rôle déterminant en impulsant les recherches dans ce domaine; il a notamment eu Stephen Hawking et Martin Rees comme étudiants à l'université de Cambridge. Il a existé autrefois une traduction française du livre:Les bases physiques de la relativité générale,Dunod, 1971, hélas non rééditée.
• Thibault Damouret Stanley Deser, « Relativité », dansEncyclopeadia Universalis,vol. 19, 1995),p.739-748.Un exposé non technique par un spécialiste de notoriété mondiale: Thibault Damour est professeur permanent à l'IHESde Bures-sur-Yvette; il a longtemps enseigné la relativité générale au DEA de physique théorique de la rue d'Ulm.
• Max Born,La théorie de la relativité d'Einstein et ses bases physiques,Gauthier-Villars, 1923. Réédité par Jacques Gabay, 2003(ISBN2-87647-230-9).Un ouvrage clair, écrit par un grand théoricien allemand, prix Nobel 1954. La place occupée par l'aspect mathématique y est extrêmement réduite.
• (en)Wolfgang Rindler,Relativity: special, general and cosmological,Oxford University Press,3^eéd., 2001(ISBN0-19-850836-0).Une introduction à tous les aspects de la relativité, par un professeur de l'Université de Dallas (Texas), spécialiste du domaine.
• (en)James B. Hartle,Gravity — An introduction to Einstein's general relativity,Addison-Wesley (2003),(ISBN0-8053-8662-9).Kip Thorne a écrit de ce livre: « la meilleure introduction à la relativité générale jamais écrite »! L'auteur est professeur de physique théorique à l'université de Santa-Barbara.

Ouvrages techniques

• Lev LandauetEvgueni Lifchits,Physique théorique,t.2:Théorie des champs[détail des éditions]:second tome du célèbre cours écrit parLandau,théoricien soviétique prix Nobel de physique 1962. Ce volume débute par une introduction à la théorie de la relativité restreinte, se poursuit par la théorie de Maxwell du champ électromagnétique, et expose dans la dernière partie la théorie de la relativité générale. Le niveau reste toujours élevé (second cycle universitaire).
• (en)Steven Weinberg,Gravitation & Cosmology,New York, Wiley, 1972(ISBN0-471-92567-5).Un ouvrage de référence. Niveau second cycle universitaire minimum.
• (en)Charles W. Misner,Kip ThorneetJohn Wheeler,Gravitation,San Francisco, Freeman, 1973(ISBN0-7167-0344-0).Autre ouvrage de référence, qui développe les aspects géométriques modernes, niveau second cycle universitaire minimum.
• (en)Robert M.Wald,General Relativity,University of Chicago Press,1984,498p.(ISBN0226870332).Plus récent que les deux bibles précédentes, voilà un livre d'introduction à la théorie dans un exposé moderne, qui contient également des développements récents (théorèmes de singularités), incluant certains effets quantiques en gravitation (évaporation des trous noirs d'Hawking). La première partie de ce livre est accessible à partir d'un second cycle universitaire.
• (en)Sean Carroll,Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity,Addison Wesley, 2003(ISBN0-8053-8732-3).Une introduction moderne; une ébauche du texte est disponible sur l'ArXiv:gr-qc/9712019.
• (en)Hermann Weyl,Space, time, matter,Dover (4^eédition-1952)(ISBN0-486-60267-2).Un classique de la physique théorique, écrit par un mathématicien. Niveau second cycle universitaire. (Il a existé autrefois une traduction française de cet ouvrage.)
• Denis Gialis et François-Xavier Désert,Relativité Générale et Astrophysique,EDP Sciences (2015)(ISBN978-2-7598-1749-8).Pour apprendre le calcul en relativité générale et savoir redémontrer les résultats fondamentaux. À partir du second cycle universitaire.

Aspects historiques

• Jean Eisenstaedt,Einstein & la relativité générale — Les chemins de l'espace-temps,CNRS éditions, 2002(ISBN2-271-05880-5).Une histoire de la théorie d'Einstein écrite par Le spécialiste français du domaine.
• (en)W. Perret et G. B. Jeffrey, trans.,The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity,New York, Dover, 1923.
• (en)Wolfgang Pauli,Theory of relativity,Dover, 1981(ISBN0-486-64152-X).Ce livre est une mine d'informations. Il s'agit de la réédition anglaise d'un article de revue écrit en allemand en 1921 pour l'Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaftenpar un jeune théoricien autrichien, alors âgé de 21 ans, étudiant à Göttingen avecMax Born.Voilà ce qu'en dit Einstein dans une lettre adressée à Born datée du30 décembre 1921:« Pauli est un type épatant pour ses 21 ans; il peut être fier de son article pour l'Encyclopédie. »
• (en)Max Jammer,Concepts of space — The history of theories of space in physics,Dover (3^eédition-1993)(ISBN0-486-27119-6).Une histoire érudite du concept d'espace, depuis l'Antiquité jusqu'à nos jours.
• Jean Le Tourneux, « Pourquoi Einstein inventa-t-il une théorie dont personne n'avait besoin? »,Études françaises,vol. 26, n^o3, hiver 1990, p. 91-99 (lire en ligne).