Triangle

Engéométrie euclidienne,untriangleest unefigureplaneformée par troispoints(appeléssommets) et par les troissegmentsqui les relient (appeléscôtés), délimitant un domaine du plan appeléintérieur. Lorsque les sommets sont distincts deux à deux, en chaque sommet les côtés délimitent unangleintérieur, d'où vient la dénomination de « triangle ».

Triangle
Représentation d'un triangle, de sessommetsA, B et C, de ses longueurs de côtésa,betc,et de sesanglesα,βetγ.
Type	Polygone
Arêtes	3
Sommets	3
Aire	base×hauteur/2
Périmètre	a+b+c
Propriétés	Constructible

Un triangle.

Le triangle est aussi lepolygonele plus simple qui délimite une portion du plan et sert ainsi d'élément fondamental pour le découpage et l'approximation desurfaces.

De nombreuses constructions géométriques de points,droitesetcerclesassociés à un triangle sont liées par des propriétés qui étaient en bonne part déjà énoncées dans lesÉlémentsd'Euclide,près de 300 ans avant Jésus-Christ. Les relations entre les mesures des angles et les longueurs des côtés sont notamment à l'origine de techniques de calcul dedistancespartriangulation.Le développement de ces techniques constitue d'ailleurs une branche des mathématiques appeléetrigonométrie.

Un triangle équilatéral sphérique trirectangle.

Hors de la géométrie euclidienne, les côtés d'un triangle sont remplacés par des arcsgéodésiqueset beaucoup de ses propriétés sont modifiées (voirTrigonométrie sphérique).

La forme triangulaire se retrouve dans de nombreux objets, mathématiques ou non, et s'est chargée de symboliques diverses. De nombreuxcaractères typographiquesprésentent une telle forme.

Description

Notations

Notations usuelles pour un triangle ABC.

Un triangle est complètement déterminé par la donnée de ses trois sommets et il se note en général en juxtaposant les trois lettres (a prioricapitales) qui les désignent. L'ordre de ces lettres importe peu même si l'ordre d'énonciation correspond en général à un parcours dans lesens trigonométriqueautour du triangle.La longueur d'un côté est classiquement notée avec la lettre minuscule correspondant au sommet opposé.

$\alpha ={\widehat {\mathrm {A} }}={\widehat {\mathrm {BAC} }}$

Notations classiques pour un angle
dans un triangle (ABC).

Si tous les sommets sont distincts,chaque angle géométrique peut être identifié par la lettre du sommet correspondant, surmontée d'un accent circonflexe. Au cas où la figure comprend d'autres segments passant par les sommets, les côtés de l'angle sont précisés par les lettres désignant les deux autres sommets de part et d'autre sous l'accent circonflexe. Ces angles peuvent aussi être notés à l'aide delettres grecquesen minuscule et en italique.

Premières propriétés

Inégalité triangulaire

La propriétéeuclidienneselon laquelle « la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre » s'illustre par le fait que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés:

${\rm {BC\leqslant BA+AC,~~AB\leqslant AC+CB~~et~~AC\leqslant AB+BC.}}$

Les cas d'égalité caractérisent les triangles plats, dans lesquels l'un des sommets appartient au segment qui relie les deux autres.

Réciproquement, si on donne trois longueurs (données par troisnombres réelspositifs) dont aucune n'est supérieure à la somme des deux autres, il est possible de construire un triangle ayant ces longueurs de côté. La vérification de ces inégalités peut être faite en comparant seulement la plus grande des trois longueurs avec la somme des deux autres, car les deux autres inégalités sont nécessairement vraies.

Il suffit alors de construire d'abord un segment d'une des trois longueurs souhaitées, puis de tracer deux cercles centrés sur les extrémités de ce segment avec pour rayon chacune des deux autres longueurs. Les deux cercles ont alors deux points d'intersection et n'importe lequel de ces deux points définit le triangle de dimensions voulues avec le segment initial.

Somme des angles

La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.

Lasomme des angles d'un triangleest égale à unangle plat,autrement dit la somme de leurs mesures vaut 180° (degrés) c'est-à-direπradians.Cette propriété est une caractéristique de lagéométrie euclidienne.Il existe d'autres géométries, ditesgéométries non euclidiennes,dans lesquelles la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180° (on parle alors degéométrie elliptique), ou, au contraire, inférieure (la géométrie est alors ditegéométrie hyperbolique).

Réciproquement, si l'on donne trois mesures (non nulles) d'angles géométriques dont la somme vaut un angle plat, il existe un triangle ayant ces mesures d'angles. Il suffit de tracer un segment d'une longueur quelconque et de tracer unedemi-droiteen chaque extrémité maisdu même côtédu segment, de façon à former deux des angles voulus avec le segment initial. Les deux demi-droites auront un point d'intersection en lequel l'angle intérieur sera le troisième angle voulu.

Cas particuliers

• 
  Diagramme de Venndes différents types de triangle
• 
  Diagramme d'Eulerdes différents types de triangle

Un triangle dans lequel au moins deux sommets sont confondus est ditdégénéré(ou parfoisen aiguille^{[réf. nécessaire]}).

Untriangle platest un triangle dont les sommets sont alignés.

Untriangle isocèleest un triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Les deux angles adjacents au troisième côté sont alors de même mesure. Réciproquement, tout triangle ayant deux angles de même mesure est isocèle. Les triangles isocèles sont les seuls à admettre unaxe de symétrieen dehors des triangles plats.Anciennement, en géométrie euclidienne, un triangle isocèle possédait exactement deux côtés égaux.^{[réf. nécessaire]}

Untriangle équilatéralest un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Ses trois angles ont alors la même mesure qui vaut donc 60° et il admet trois axes de symétrie.

Un triangle qui n'est ni isocèle (ce qui exclut également le cas équilatéral) ni plat est ditscalène(du grecσκαληνός(skalenos): boiteux, inégal, déséquilibré, oblique…). Un triangle scalène peut aussi être rectangle.

L'adjectif « scalène » n'est pas synonyme de l'adjectif « quelconque ». Un triangle quelconque est un triangle qui peut posséder ou non des propriétés des triangles particuliers. Ainsi un triangle quelconque peut être isocèle ou équilatéral, ou même scalène. Par contre un triangle scalène ne peut être ni équilatéral ni isocèle. L'adjectif « quelconque » est employé pour insister sur le fait qu'on ne sait rien de plus à propos d'un triangle. Dès lors qu'on sait qu'un triangle possède une ou des propriété(s) particulière(s) il ne peut plus être considéré comme quelconque.

• 
  Triangle isocèle.
• 
  Triangle équilatéral.
• 
  Triangle scalène.

Untriangle rectangleest un triangle ayant unangle droit,c'est-à-dire de mesure 90°. Il satisfait alors lethéorème de Pythagore.Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il ne peut y avoir plus d'unangle obtus(supérieur à l'angle droit). S'il y en a un, le triangle estobtusangleouambligone.S'il n'y en a pas, il estacutangleouoxygone(il a alors troisangles aigus).

• 
  Triangle obtusangle ou ambligone.
• 
  Triangle rectangle.
• 
  Triangle acutangle ou oxygone.

Certains triangles ont reçu une dénomination particulière qui détermine leurs angles:

• ledemi-carréest untriangle isocèle rectangle,qui peut s'obtenir en reliant trois sommets d'un carré;
• le triangle des arpenteurs ou triangle « 3-4-5 » est un triangle rectangle dont les côtés sont de longueurs 3, 4 et 5 en fonction d'une unité fixée;
• le triangle de l'écolier ou triangle hémi-équilatéral est un triangle rectangle dont les mesures des angles sont de 30°, 60° et 90° ou dont l'un des côtés de l'angle droit est la moitié de l'hypoténuse; il est appelé ainsi car il sert de modèle pour les équerres utilisée dans l'enseignement de la géométrie(il existe aussi des équerres en demi-carré);
• letriangle d'orest un triangle isocèle dont les angles à la base valent deux cinquièmes de l'angle plat, soit 72°;
• le triangle d'argent ou gnomon d'or est un autre triangle isocèle, fortement lié au précédent, dont les angles à la base valent un cinquième de l'angle plat, soit 36°;
• letriangle heptagonalest un triangle dont les angles sont dans des rapports 4:2:1;
• letriangle de Keplerest un triangle rectangle dont les carrés des longueurs des côtés sont enprogression géométriqueselon la raison dunombre d'or.

• 
  Demi-carré.
• 
  Triangle des arpenteurs.
• 
  Triangle de l'écolier.
• 
  Triangle d'or.
• 
  Triangle de Kepler.

Un triangle est ditbisocèlesi l'une de sesbissectricesle partage en deux triangles isocèles. Il ne peut s'agir que du demi-carré ou d'un triangle d'or.

Le tableau suivant compare quelques-uns de ces triangles particuliers:

Triangle	Côtés	Angles
Équilatéral	Les longueurs des trois côtés sont égales	Les angles sont de 60°
Isocèle	Les longueurs de deux côtés sont égales	Les angles adjacents à la base sont égaux
Rectangle		Un angle est droit et les deux autres sont inférieurs à 90°
Isocèle rectangle	Les longueurs de deux côtés sont égales	Un angle est droit et les deux autres sont de 45°
Obtusangle		Un angle est supérieur à 90° et les deux autres sont inférieurs à 90°
Acutangle		Les trois angles sont inférieurs à 90°

Aire

L'aired'un triangle est donnée par diverses formules, la première étant fonction de la longueur d'un côté, appeléebase,et de la distance du sommet opposé à la droite qui porte ce côté, appeléehauteur.

${\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}\times \mathrm {base} \times \mathrm {hauteur}.$

Cette formule est dérivée de celle de l'aire d'unparallélogrammeet démontrée dans lesÉlémentsd'Euclide.

D'autres formules font appel à la longueur des côtés (formule de Héron) ou aux coordonnées des sommets dans unrepère orthonormé.

Périmètre

Lepérimètred'un triangle est simplement la somme des trois longueurs de côté. Pour un périmètrepdonné, l'aire intérieure du triangle est majorée par celle du triangle équilatéral correspondant:

${\mathcal {A}}\leqslant {\frac {p^{2}{\sqrt {3}}}{36}}.$

Relations trigonométriques

Les longueurs de côté d'un triangle et les mesures de ses angles satisfont plusieurs relations qui permettent de toutes les calculer à partir de certaines d'entre elles.

Il s'agit d'une part, outre la formule de la somme des angles, d'une relation entre l'aire, la mesure d'un angle et la longueur des deux côtés adjacents:

${\mathcal {A}}={\dfrac {1}{2}}bc\,\sin {\hat {A}}$

laquelle permet d'obtenir laformule des sinus:

${\dfrac {a}{\sin {\hat {A}}}}={\dfrac {b}{\sin {\hat {B}}}}={\dfrac {c}{\sin {\hat {C}}}}=2R$oùRest le rayon du cercle circonscrit;

d'autre part, duthéorème d'Al-Kashi(outhéorème de Carnot^{[réf. nécessaire]}ou encore loi des cosinus) qui généralise le théorème de Pythagore:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\hat {A}}$.

Utilisations

Triangulation

Lesrelations métriquesdans le triangle permettent d'évaluer des distances à partir de mesures angulaires, comme ennavigation maritime,engéodésieet enastronomie.C'est selon ce principe qu'a été mesuré leméridienterrestre pour la définition dumètre.

Décomposition de surface

Les trois polyèdres réguliers convexes à faces triangulaires.

Dans le plan, le calcul de l'aire d'un domaine peut être évalué en approchant ce domaine par une réunion de triangles disjoints.

Plus généralement, des surfaces de l'espace peuvent être approchées par une réunion de triangles appeléesfacettes.Cette technique est utilisée enanalyse numériquedans laméthode des éléments finis,mais aussi enimagerie numérique.L'analyse vectoriellepermet d'ailleurs de calculer rapidement l'orientation d'une telle facette et d'en déduire la réflexion durayonnement lumineuxd'une source ponctuelle dans une direction donnée.

Plusieurspolyèdres(réguliers ou non) ont des faces triangulaires, comme letétraèdre,l'octaèdre,l'icosaèdreet legrand icosaèdre.Les polyèdres dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux sont appelésdeltaèdres.

D'autre part, tout polygone peut être découpé en un nombre fini de triangles qui forment alors unetriangulationde ce polygone. Le nombre minimal de triangles nécessaire à ce découpage estn-2, oùnest le nombre de côtés du polygone. L'étude des triangles est fondamentale pour celle des autres polygones, par exemple pour la démonstration duthéorème de Pick.

Constructions géométriques associées

Triangle médian

Triangle médian en pointillée, médianes en traits pleins, et centre de gravité G.

Si on joint les trois milieux des côtés d'un triangle, on obtient quatretriangles semblablesau triangle initial, l'aire de chacun des triangles est le quart de celle du triangle initial.

On appelletriangle médianle triangle central dont les sommets sont les milieux des côtés du triangle initial (c'est donc letriangle céviendu centre de gravité). Ce triangle médian se trouve « inversé » par rapport aux trois autres.

D'après lethéorème des milieux,ce triangle médian a ses côtés parallèles à ceux du triangle initial et des longueurs de côté proportionnelles dans un rapport de 1/2.

Médiatrices et centre du cercle circonscrit

Médiatrices et cercle circonscrit

Si le triangle est non plat, les troismédiatricesdes côtés (les droites coupant les côtés à angle droit en leur milieu) sontconcourantesen un point appelé centre ducercle circonscrit,car il est le seul équidistant des trois sommets, c'est-à-dire qu'il est le centre du seul cercle passant par les trois sommets. Ce centre est souvent notéOou Ω («oméga»).

Un triangle est rectangle si et seulement si le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'un de ses côtés (qui est alors sonhypoténuse).

Pour un triangleacutangle,le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle. Pour untriangle obtusangle,ce centre est à l'extérieur.

Le produit durayondu cercle circonscrit et de l'aire du triangle est le quart du produit des longueurs de côtés du triangle.

Céviennes

Unecévienned'un triangle est un segment de droite partant d'un sommet et joignant son côté opposé. Les médianes, hauteurs et bissectrices sont des céviennes particulières.

Médianes et centre de gravité

Dans un triangle, unemédianeest un segment qui relie un sommet aumilieudu côté opposé. Chaque médiane divise un triangle en deux triangles d'aires égales.

Si le triangle est non plat, les trois médianes sontconcourantesen un point qui est l'isobarycentredes trois sommets, souvent appelé «centre de gravité» parabus de langage.Ce point, souvent notéGet situé aux deux-tiers de chaque médiane en partant du sommet, est en effet lecentre de masse de l'intérieur du triangle(supposé doté d'une masse uniformément répartie).

Les trois médianes concourantes divisent le triangle en six triangles de même aire.

La longueur de la médiane est reliée aux longueurs des autres côtés par lethéorème de la médianeou théorème d'Apollonius.

Hauteurs et orthocentre

Hauteurs et orthocentre.

Si les trois sommets sont distincts, unehauteurest une droite passant par un sommet etperpendiculaireau côté opposé. Si le triangle est non plat, les trois hauteurs sont concourantes en un point appeléorthocentre,souvent notéH.

Un triangle est rectangle si et seulement si son orthocentre est l'un des sommets (en lequel se trouve alors l'angle droit). Pour un triangle acutangle, l'orthocentre est à l'intérieur du triangle. Pour un triangle obtusangle, il est à l'extérieur.

Les trois médiatrices d'un triangle sont les trois hauteurs de son triangle médian et par conséquent, le centre du cercle circonscrit à un triangle est l'orthocentre du triangle médian.

Lepoint de Longchampsest lesymétriquede l'orthocentre par rapport au centre du cercle circonscrit.

Bissectrices et centre du cercle inscrit

Bissectrices et cercle inscrit.

Si le triangle est non plat, les troisbissectricesde ses angles (les demi-droites qui partagent les angles en deux angles de même mesure) sont concourantes en un point appelé centre ducercle inscrit,car il est le centre du seul cercletangentaux trois côtés. Ce centre est en général noté$I$ou$J$.

D'après lethéorème de Steiner-Lehmus,les longueurs de deux bissectrices dans un triangle sont égales si, et seulement si, les angles correspondants ont une même mesure.

Les points de contact de ce cercle inscrit avec les côtés forment letriangle de Gergonne.Les segments reliant ces points de contact avec les sommets opposés dans le triangle sont concourantes en un point appelépoint de Gergonne.

Chaque bissectrice divise le côté opposé en deux segments dont les longueurs sont proportionnelles à celles des côtés de l'angle grâce à laloi des sinus.

Le segment de bissectrice allant (par exemple) du sommetAjusqu'au côtéBCa pour longueur:

$\mathrm {AM} ={\frac {2\,bc}{b+c}}\cos \left({\frac {\hat {A}}{2}}\right)$

oùbetcdésignent les longueurs des côtésACetAB,et${\hat {A}}$l'angle enA.

Démonstration

Dans unrepère orthonorméoù l'on a pris l'origineOenAet l'axeOxle long deAB,les pointsA,BetCont respectivement pour coordonnées$(0,0)$,$(c,0)$et$[b\cos(2\theta ),b\sin(2\theta )]$,où l'on a notéθl'angle${\hat {A}}/2$.Le pointMest à l'intersection de la bissectrice (d'équation$x\sin \theta -y\cos \theta =0$) et de la droite portant le segmentBC(d'équation$bx\sin(2\theta )-y[b\cos(2\theta )-c]=bc\sin(2\theta )$). En résolvant cesystème de deux équations linéairesà deux inconnues on trouve pour l'abscisse deM:

$x={\frac {bc\sin(2\theta )\cos \theta }{b\sin(2\theta )\cos \theta -[b\cos(2\theta )-c]\sin \theta }}={\frac {2\,bc\cos ^{2}\!\theta }{b+c}}$

or$\mathrm {AM} =x/\cos \theta$,d'où le résultat.

Le rayon du cercle inscrit est le quotient de l'aire du triangle par son demi-périmètre.

Droite et cercle d'Euler

Droite et cercle d'Euler.

Le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre sont alignés sur une droite appeléedroite d'Euleret satisfont la relationvectorielle:

${\overrightarrow {\mathrm {OH} }}=3\,{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}.$

En outre, les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments reliant l'orthocentre aux sommets sont tous sur un même cercle appelécercle d'Euler,dont le centre est également sur la droite d'Euler.

Particularité: soit M un point de la droite d'Euler. Les cercles d'Euler des triangles AHM, BHM et CHM se recoupent sur le cercle d'Euler du triangle ABC. Si M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, alors le point de concours est nommépoint de Jérabek.

Relations

Triangles isométriques

Deux triangles sont ditsisométriques,superposables ou égaux,s'ils ont les mêmes longueurs de côté. Dans ce cas il est possible de fairecorrespondreles sommets de l'un avec les sommets de l'autre par uneisométrie(par exemple, unetranslation,unerotationou unesymétrie) et cette correspondance relie alors des angles de même mesure. Ces triangles ont donc aussi la même aire.

Cette première définition est équivalente à chacune des trois suivantes:

• les trois longueurs des côtés du premier triangle sont lesmêmesque celles du second (abrégé par CCC);
• les deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de mêmes longueurs (abrégé par CAC);
• les deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de mêmes mesures (abrégé par ACA).

Triangles semblables

Deux triangles ayant les mêmes mesures d'angle sont ditssemblables.Ils ne sont pas nécessairement isométriques, mais leurs longueurs de côté sont proportionnelles avec un même coefficient de proportionnaliték.Leurs aires sont alors reliées par un facteurk².

Il existe en effet unesimilitude(qui est la composée d'une isométrie et d'unehomothétie) qui transforme l'un en l'autre. Cette définition équivaut à:

• les trois angles du premier ont mêmes mesures que ceux du second (abrégé par AAA), (en fait deux angles suffisent: le troisième s'en déduit)

ou encore à:

• les trois longueurs des côtés du premier sontproportionnellesà celles du second.

Deux triangles isométriques sont toujours semblables. Deux triangles équilatéraux (non nécessairement isométriques) aussi.

Autres figures relatives

Il existe trois autres cercles tangents simultanément aux trois droites qui portent les côtés d'un triangle, et sont tous trois extérieurs à ce triangle; ils sont ditsexinscrits.Les points d'intersection de ces cercles exinscrits avec les côtés du triangle forment le triangle de Nagel. Les segments reliant ces points de contact avec les sommets opposés du triangle sont concourants en un point appelé point de Nagel.

Le cercle dont un diamètre relie le point de Nagel à l'orthocentre est appelécercle de Fuhrmanncercle de Fuhrmannet son rayon est égal à la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit.

Les centres des trois cercles exinscrits forment le triangle de Bevan, qui est homothétique au triangle de Gergonne. Le centre de son cercle circonscrit est appelé point de Bevan.

Les trois cercles exinscrits sont tangents intérieurement à un cercle appelécercle d'Apollonius.Les droites reliant les points de contact aux sommets opposés du triangle sont concourantes en un point appelé point d'Apollonius.

Le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits sont tous tangents au cercle d'Euler. Les points de contact sont appeléspoints de Feuerbach.

Symédianes et point de Lemoine

Unesymédianeest une droite symétrique de la médiane par rapport à une bissectrice issue du même sommet. Les trois symédianes sont concourantes en un point appelé point de Lemoine.

Point de Fermat

Dans un triangle acutangle, il existe un unique point qui minimise la somme des distances aux sommets. En ce point, appelépoint de Fermat,les angles formés par les segments vers les sommets du triangle sont tous de 120°.

Points, droite et cercle de Brocard

Points de Brocard.

Si un triangle est non plat, il existe deux points appeléspoints de Brocardpour lesquels les segments vers les sommets subdivisent le triangle en trois triangles ayant un angle de même mesure par permutation des sommets du triangle initial. La mesure de cet angle est alors la même pour les deux points.

La droite de Brocard est la droite qui passe par ces deux points.

Les points de Brocard appartiennent aucercle de Brocarddont un diamètre a pour extrémités le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine.

D'après lethéorème d'Alasia,la droite de Brocard est parallèle à l'un des côtés si et seulement si le triangle est isocèle avec ce côté pour base.

Ellipse de Steiner

Dans un triangle non plat, il existe une uniqueellipsetangente à chaque côté en son milieu.

Autres résultats

Lethéorème de Thalèsrelie les longueurs de côtés de deux triangles semblables ayant un sommet commun et les côtés opposés parallèles.

Lethéorème de Napoléonaffirme que les centres des triangles équilatéraux formés extérieurement sur les côtés d'un triangle sont eux-mêmes les sommets d'un triangle équilatéral.

Le «théorème japonais de Carnot» établit que la somme des rayons des cercles inscrit et circonscrit est égale à la somme des distances du centre du cercle circonscrit aux côtés du triangle.

Lethéorème de Ménélaüsdonne une condition nécessaire et suffisante pour l'alignement de trois points alignés respectivement avec les côtés d'un triangle.

Lethéorème de Morleyaffirme que les intersections des trissectrices des angles d'un triangle forment un triangle équilatéral.

Lethéorème de Nagelmontre que la bissectrice d'un angle d'un triangle est la même que celle de l'angle en ce sommet dont les côtés passent par l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit.

Lethéorème de Neubergétablit que les centres de trois carrés obtenus par une construction géométrique particulière sur un triangle sont les milieux des côtés de ce triangle.

Lethéorème de Hamiltonstipule que le cercle d'Euler est le même pour les quatre triangles formés par un groupe orthocentrique.

Lethéorème d'Euler en géométrieexprime la distancedentre les centres des cercles inscrit et circonscrit en fonction de leurs rayons respectifsretRpard²=R(R– 2r).Il en découle que le rayon du cercle inscrit est au moins deux fois plus petit que celui du cercle circonscrit (inégalité d'Euler).

Avec des céviennes

Lethéorème de Cevadonne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites (appeléescéviennes) passant respectivement par les trois sommets d'un triangle soient parallèles ou concourantes.

Lethéorème de Gergonnedonne alors une relation entre les longueurs des céviennes et les longueurs des segments qui relient leur point d'intersection aux sommets.

Lethéorème de Stewartrelie la longueur d'une cévienne aux longueurs des côtés des deux triangles qu'elle forme.

Lethéorème de Terquemmontre que le cercle pédal, circonscrit autriangle pédalformé par les trois pieds de céviennes concourantes, coupe les côtés du triangle en trois points qui sont également les pieds de céviennes concourantes.

Lethéorème de Routhdonne le quotient des surfaces entre l'aire du triangle formé par trois céviennes, et celle d'un triangle donné.

Avec des cercles

Lethéorème des six cerclesmontre qu'une suite de cercles successivement tangents extérieurement et tangents intérieurement à deux côtés d'un triangle (les côtés variant parpermutation circulaire) est 6-périodique.

La réciproque duthéorème des trois cercles de Miquelmontre que trois cercles passant respectivement par les sommets d'un triangle et sécants le long des côtés correspondants sont concourants en un point appelé point de Miquel.

En 1993, B. Sherman a établi l'existence d'un « quatrième côté » d'un triangle, soit un segment de droite dont les extrémités sur le cercle circonscrit, tangent au cercle inscrit et dont le milieu est sur le cercle d'Euler du triangle de référence.

Généralisations

Polygones

Un quadrilatère, avec ses diagonales.

Un triangle étant un polygone à trois côtés, certaines propriétés se généralisent pour un plus grand nombre de côtés, comme l'inégalité triangulaire ou la somme des angles (pour un polygone non croisé), mais l'aire et les angles ne dépendent plus seulement des longueurs des côtés. Il y a aussi moins de résultats valables en toute généralité sur les droites ou points remarquables. Cependant, certaines conditions permettent d'en retrouver comme dans le cas de quadrilatères particuliers (parallélogrammes notamment) ou inscriptibles dans un cercle.

En plus grande dimension

Un tétraèdre.

Dans l'espace, trois points sont toujourscoplanaireset ne suffisent donc pas pour définir un élément devolume.Mais quatre points non coplanaires forment untétraèdre.Plus généralement, unsimplexeest une figure géométriqueconvexeengendré parnpoints dans un espace à au moinsn−1dimensions.

Histoire

Problèmes R49→R55 dupapyrus Rhind.

Figure du triangle, représentée dans le problème R51 dupapyrus Rhind.

Aucun document mathématique de l'Ancien Empirene nous est parvenu. Mais l'architecture monumentale desIII^eetIV^edynastieconstitue une preuve que les Égyptiens de cette époque détenaient des connaissances relativement élaborées en géométrie, et en particulier dans l'étude des triangles.

Le calcul de l'aire de cette figure est étudié dans les problèmes R51 dupapyrus Rhind,M4, M7 et M17 dupapyrus de Moscouet datant tous duMoyen Empire.Le problème R51 constitue, dans l'histoire mondiale des mathématiques, le premier témoignage écrit traitant du calcul de l'aire d'un triangle.

Énoncé du problème R51 dupapyrus Rhind

« Exemple de calcul d'un triangle de terre. Si quelqu'un te dit: un triangle de 10 khet sur sonmrytet de 4 khet sur sa base. Quelle est sa superficie? Calcule la moitié de 4 qui est 2 pour en faire un rectangle. Tu fais en sorte de multiplier 10 par 2. Ceci est sa superficie. »

Le termemrytsignifie probablement hauteur, ou côté. Mais la formule utilisée pour le calcul de l'aire fait pencher l'interprétation en faveur de la première solution.Le scribe prenait la moitié de la base du triangle et calculait l'aire du rectangle formé par ce côté et la hauteur, soit

$A={\frac {base}{2}}{mryt}$

équivalente à la formule générale utilisée de nos jours:

$S={\frac {ah}{2}}.$

Euclide,dans le livreIde sesÉléments,vers -300, énonce la propriété sur la somme des angles du triangle et les trois cas d'égalité des triangles (voir ci-dessus le paragraphe sur les triangles isométriques).

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

• Arnold Buffum Chace(en),The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations,vol.II,1927-1929
• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009(ISBN978-2-91-635208-4)
• Marshall Clagett,Ancient Egyptian Science, A Source Book,vol.3:Ancient Egyptian Mathematics,American Philosophical Society,1999

Articles connexes

• Aire d'un triangle
• Centres du triangle
• Nombre triangulaire
• Liste des éléments remarquables d'un triangle
• Résolution d'un triangle
• Triangle de Pascal
• Triangle de Penrose
• Triangle de Sierpiński
• Triangle de Kobon
• Symbolique du triangle
• Coniques circonscrites et inscrites à un triangle
• Triangle (caractère)

Liens externes

• Texte de problèmesur les propriétés classiques du triangle, avec indications de démonstration.
• TriangulateurCalculatrice de triangle à partir d'un minimum de données. Avec dessin du triangle.
• Clark Kimberling, «Encyclopedia of triangle centers - ETC»(consulté le6 avril 2022)