Écart type

Enmathématiques,l’écart type(aussi orthographiéécart-type) est une mesure de ladispersiondes valeurs d'unéchantillon statistiqueou d'unedistribution de probabilité.Il est défini comme laracine carréede lavarianceou, de manière équivalente, comme lamoyenne quadratiquedes écarts par rapport à lamoyenne.Il se note en général avec la lettre grecque σ («sigma»), d’après l’appellationstandard deviationen anglais. Il esthomogèneà la variable mesurée.

Exemple de deux échantillons ayant la même moyenne (100) mais des écarts types différents illustrant l'écart type comme mesure de la dispersion autour de la moyenne. La population rouge a un écart type (SD =standard deviation) de 10 et la population bleue a un écart type de 50.

Les écarts types sont rencontrés dans tous les domaines où sont appliquées les probabilités et la statistique, en particulier dans le domaine dessondages,enphysique,enbiologieou dans lafinance.Ils permettent en général de synthétiser les résultats numériques d'une expérience répétée. Tant en probabilités qu'en statistique, il sert à l'expression d'autres notions importantes comme lecoefficient de corrélation,lecoefficient de variationou la répartition optimale deNeyman.

Quand l'écart type d'une population est inconnu, sa valeur est approchée à l'aide d'estimateurs.

Exemples

Population de personnes de même taille

On considère une population de 4 personnes mesurant 2m.La moyenne des tailles est de 2m.Chaque valeur étant égale à la moyenne, l'écart type est de 0m.

Population de personnes de tailles différentes

On considère maintenant une population de 4 personnes de taille 2m,1,80m,2,20met 2m.La moyenne est aussi de${\frac {2+1{,}8+2{,}2+2}{4}}=2~\mathrm {m}$.Les écarts par rapport à la moyenne sont maintenant de 0m,0,20m,0,20met 0m,respectivement. Ainsi l'écart type est lamoyenne quadratiquede ces écarts, c'est-à-dire${\sqrt {\frac {0^{2}+0{,}2^{2}+0{,}2^{2}+0^{2}}{4}}}$,qui vaut environ 0,14m.

Histoire

L'écart type est une grandeur dont l'invention remonte auXIX^esiècle, qui voit lastatistiquese développer auRoyaume-Uni.

C'est àAbraham de Moivrequ'est attribuée la découverte du concept de mesure de la dispersion qui apparaît dans son ouvrageThe Doctrine of Chancesen 1718.Mais le terme d'écart type («standard deviation») a été employé pour la première fois parKarl Pearsonen 1893 devant la Royal Society.C'est aussi Karl Pearson qui utilise pour la première fois le symbole σ pour représenter l'écart type.En 1908,William Gosset,plus connu sous le pseudonyme de Student, définit l'écart type empirique d'unéchantillonet montre qu'il est important de le distinguer de l'écart type d'unepopulation.Lavarianceest une notion qui apparut plus tard, en 1918, dans un texte deRonald FisherintituléThe Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.

Sur population totale

Définition

À partir d'un relevé exhaustif(x₁,...,x_n)d'une variable quantitative pour tous les individus d'une population, l'écart type est la racine carrée de la variance, c'est-à-dire:

$\sigma ={\sqrt {V}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-{\overline {x}}^{2}}}$

où${\overline {x}}$représente la moyenne. L'écart type est homogène à la variable mesurée, c'est-à-dire que si par un changement d'unité, toutes les valeurs sont multipliées par un coefficientα > 0,l'écart type sera multiplié par le même coefficient. En revanche, l'écart type est invariant par décalage additif: si on ajoute une constante à toutes les valeurs relevées, cela ne change pas l'écart type. Ces deux propriétés font de l'écart type unindicateur de dispersion.

Par contraste avec d'autres indicateurs de dispersion comme l'écart interquartile,l'écart type a l'avantage de pouvoir se calculer à partir des moyennes et écarts types sur unepartitionde la population, puisque la variance globale est la somme de la variance des moyennes et de la moyenne des variances. Cela permet decalculer l'écart type en parallèle.

L'écart type est implémenté enPythondans la bibliothèquenumpyavec la méthodestd.EnR,la fonctionsdutilise${\frac {1}{n-1}}$à la place de${\frac {1}{n}}$,ce qui correspond à l'estimateur de l'écart-typed'une population à partir d'un échantillon.

Expression comme distance

L'écart type est ladistance euclidiennedu point$M$de coordonnées$\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)$à ladroitediagonale engendrée par le vecteur$\left(1,\ldots,1\right)$dans$\mathbb {R} ^{n}$,atteinte en sonprojeté orthogonalde coordonnées$\left({\overline {x}},\ldots,{\overline {x}}\right)$.

L'écart type est donc leminimumde la fonction$t\mapsto {\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-t)^{2}}}$qui calcule la distance entreMet le point de coordonnées(t,...,t).

Coefficient de variation

L'écart type peut être utilisé pour comparer l'homogénéité de plusieurs populations sur une même variable. Par exemple, si on donne deux classes d'un même niveau moyen et évaluées selon les mêmes critères, la classe avec un plus fort écart type des notes sera plus hétérogène. Dans le cas d'une notation de$0$à$20$,l'écart type minimal est$0$(notes toutes identiques), et peut valoir jusqu'à$10$si la moitié de la classe à$0/20$et l'autre moitié$20/20$.

En revanche, on ne peut comparer tels quels les écarts types de variables différentes, et dont les ordres de grandeur ne correspondent pas nécessairement. Pour une variable quantitative strictement positive, on définit alors lecoefficient de variation,égal au quotient de l'écart type par la moyenne.Ce nombre adimensionnel ne dépend pas de l'unité de mesure choisie et permet de comparer la dispersion de variables différentes.

Un coefficient de variation élevé peut éventuellement signaler l'existence d'une valeur aberrante. Un critère consiste à rejeter les valeurs qui diffèrent de la moyenne par plus de 3 fois l'écart type. Dans le cas d'unedistribution gaussienne,la probabilité d'un tel dépassementest de l'ordre de 3/1000.

Pour une variable aléatoire

Définition

La modélisation probabiliste d'une distribution statistique consiste à définir unevariable aléatoire,c'est-à-dire uneapplicationXavec unemesure de probabilité$\mathbb {P}$,laquelle permet de définir lesprobabilitésde la forme$\mathbb {P} (X\in A)$.La donnée de ces probabilités constitue laloi de probabilitédeX. La modélisation est fidèle si la probabilité d'un évènement correspond à lafréquenced'occurrence des valeurs correspondantes dans la population testée, conformément à laloi des grands nombres.

On s'intéresse ici auxvariables aléatoires réellesou vectorielles de carré intégrable, c'est-à-dire dont l'espéranceE(X²)converge. Pour une variable vectorielle (à valeurs dans unespace vectoriel normécomplet), l'espérance est un vecteur du même espace et le carré désigne le carré de la norme. L'ensemble$\mathrm {L} ^{2}(\Omega )$de ces variables est lui-même unespace vectoriel.

L'écart type deXest la racine carrée de la variance $\sigma (X)={\sqrt {\mathbb {E} \left[\left(X-\mathbb {E} [X]\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}}}$.

L'existence de l'écart type est assurée pour une variable aléatoire bornée ou admettant une fonction de densitédominéeà l'infini par unefonction puissance$t\mapsto {\frac {1}{t^{\ Alpha }}}$avecα> 3.

Exemples

Dans le cas d'unevariable aléatoire discrètedont les valeurs sont notéesx_i,avec$p_{i}=\mathbb {P} (X=x_{i})$,l'écart type s'écrit comme pour une série statistique $\sigma:={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}}={\sqrt {\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{x_{i}}^{2}\right)-\mu ^{2}}}$,oùμest l'espérance de la loi deX.

En particulier, siXestuniformesur un ensemble fini$(x_{1},\dots,x_{n})$,c'est-à-dire si

$p_{i}={\frac {1}{n}}$pour toutientre 1 etn,

alors

$\sigma _{X}:={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)-\mu ^{2}}}$.

Dans le cas d'unevariable aléatoire à densitépour laquelle les probabilités s'écrivent $\mathbb {P} _{X}\left(]a,b[\right)=\mathbb {P} \left(X\in ]a,b[\right)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ oùfest unefonction localement intégrable,pour lamesure de Lebesguepar exemple, mais pas nécessairement une fonction continue,l'écart type deXest défini par$\sigma _{X}:={\sqrt {\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{2}f(x)\mathrm {d} x}}={\sqrt {\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\mathrm {d} x-\mu ^{2}}}$où$\mu =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\mathrm {d} x$est l'espérance deX.

Avec ces formules et la définition, le calcul des écarts types pour les lois couramment rencontrées est aisé. Le tableau suivant donne les écarts types de quelques-unes de ces lois:

Nom de la loi	Paramètre(s)	Description	Écart type
Loi de Bernoulli	p∈ ]0; 1[	Loi discrète sur{0; 1}avec une probabilitépd'obtenir 1	$\sigma ={\sqrt {p(1-p)}}$
Loi binomiale	$n\in \mathbb {N} ^{*}$etp∈ ]0; 1[	Loi de la somme denvariables indépendantes suivant la loi de Bernoulli de même paramètrep	$\sigma ={\sqrt {np(1-p)}}$
Loi géométrique	p∈ ]0; 1[	Loi du rang de la première réalisation dans une suite de variables de Bernoulli indépendantes de même paramètrep	$\sigma ={\sqrt {\frac {1-p}{p^{2}}}}$
Loi uniforme sur un segment	a<b	Loi de densité constante sur[a,b]	$\sigma ={\frac {b-a}{2{\sqrt {3}}}}$
Loi exponentielle	$\lambda \in \mathbb {R} ^{+*}$	Loi à densité avec un taux de panne constantλ	$\sigma ={\frac {1}{\lambda }}$
Loi de Poisson	$\lambda \in \mathbb {R} ^{+*}$	Loi sur du nombre de réalisations indépendantes sur$\mathbb {N}$de moyenneλ	$\sigma ={\sqrt {\lambda }}$
Loi du χ²	n	Loi de la somme dencarrés de variables normales centrées réduites indépendantes	$\sigma ={\sqrt {2n}}$

Si la variableXsuit uneloi log-normalealorslnXsuit uneloi normaleet l'écart type deXest relié à l'écart type géométrique.

Mais toutes les lois de probabilité n'admettent pas forcément un écart type fini: laloi de Cauchy(ou loi de Lorentz) n'a pas d'écart type, ni même d'espérance mathématique.

Propriétés

Positivité

L'écart type est toujours positif ou nul. Celui d'une constante est nul.

Invariance par translation

L'écart type ne change pas si on ajoute une constantebà la variable aléatoireX:σ_X+b=σ_X.

Homogénéité

Pour toute constante positivecet toute variable aléatoire réelleX,on aσ_cX=cσ_X.

Somme algébrique de deux variables

L'écart type de la somme de deux variables s'écritsous la forme

$\sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\sigma _{X}\sigma _{Y}\rho (X,Y)}}$

oùρ_(X,Y)est lecoefficient de corrélationentre les deux variablesXetY.

Inégalité triangulaire

L'écart type de la somme est majoré par la somme des écarts types:

$\sigma _{X+Y}\leq \sigma _{X}+\sigma _{Y}$.

De plus, il y a égalité si et seulement s'il existe une relationaffinepresque sûre entre les deux variables.

Distance euclidienne

L'écart type d'une variable aléatoire réelleXest la distance euclidienne de cette variable à la droite des constantes dans l'espace des variables admettant une variance.C'est donc leminimumde la fonction$\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}:c\rightarrow {\sqrt {(|X-c|^{2})}}$,atteint sur la constantec= E(X).

Usages

Intervalle de fluctuation

Représentation graphique de la fonction de densité d'uneloi normale.Chaque bande colorée a la largeur d'un écart type.

Ensciences,il est fréquent de considérer que les mesures d'une grandeur se répartissent selon unedistribution gaussienne,par accumulation d'erreurs de mesure ou d'interférences indépendantes avec d'autres phénomènes, en application duthéorème central limite.L'histogrammedes valeurs observées se rapproche alors d'unecourbe en clochecaractéristique de laloi normale.La courbe étant complètement définie par la donnée de la valeur moyenne et de l'écart type, ces deux valeurs permettent de définir unintervalle de fluctuationqui concentre l'essentiel des observations.

Le calcul desquantilesde cette loi montre par exemple que pour une grandeur satisfaisant cette distribution sur une population d'individus, avec une moyennemet un écart typeσ, 95 % des valeurs observées appartiendront à l'intervalle[m– 1,96 σ;m+ 1,96 σ](voir97,5e centile). On peut ainsi associer des probabilités à des intervalles de valeurs centrés sur la moyenne et dont l'amplitude est un multiple de l'écart type.

Intervalles de fluctuation pour une distribution gaussienne

Écart maximal à la moyenne	Proportion des valeurs
$\pm \sigma$	68,27 %
$\pm 1.96\cdot \sigma$	95 %
$\pm 2\sigma$	95,45 %
$\pm 3\sigma$	99,73 %

Dans l'industrie,l'écart type intervient dans le calcul de l'indice de qualité desproduits manufacturésou dans l'indice de fidélité d'unappareil de mesure.

Enphysique des particules,la détection d'évènements est ainsi quantifiée en nombre de sigmas, représentant l'écart entre la valeur observée et la moyenne attendue en l'absence d'évènement. Un résultat est considéré comme significatif par l'obtention de 5 sigmas, représentant une probabilité d'erreur inférieure à 0,00006 % (soit niveau de confiance de plus de 99,99994 %).

La moyenne mobile est en rouge et les bandes de Bollinger, calculées à l'aide de l'écart type, sont en bleu.

Dans le domaine de la communication financière, l'écart type est une mesure de lavolatilitédes cours des actions des sociétés cotées.Lesbandes de Bollingersont des outils facilitant l'analyse des prévisions boursières.John Bollingera construit la courbe desmoyennes mobilessur 20 jours et les courbes, de part et d'autre de cette courbe, situées à deux fois l'écart type sur ces 20 jours. John Bollinger a utilisé une définition adaptée de l'écart type.En outre, le risque d'un actif boursier et le risque associé au marché sont mesurés par l'écart type de larentabilitéattendue, dans lemodèle d'évaluation des actifs financiersdeHarry Markowitz.

Variable centrée réduite

Exemples de distributions asymétriques.

Exemples de distributions plus ou moins aplaties.

SiXest une variable aléatoire d'écart type non nul, on peut lui faire correspondre lavariable centrée et réduiteZdéfinie par$Z={\frac {X-{\bar {X}}}{\sigma }}$.Deux variables aléatoires centrées et réduitesZ₁etZ₂sont aisées à comparer, puisqueE(Z_i)=0etσ_Zi=1.

Lethéorème central limitea pour objet lalimite d'une suitede variables aléatoires centrées réduites,lescoefficients de dissymétrieet d'aplatissementd'une densité de probabilité,E(Z³)etE(Z⁴),permettent de comparer des distributions différentes.

Coefficient de corrélation linéaire

SiXetYsont deuxvariables aléatoiresréelles admettant toutes les deux une variance non nulle, le coefficient de corrélation linéaire est le rapport$\operatorname {Cor} (X,Y)={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}$où$\operatorname {Cov} (X,Y)=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])\,(Y-\mathbb {E} [Y])]=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]$est lacovariancedes variablesXetY.D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz,$|\operatorname {cov} (X,Y)|\leq \sigma _{X}\sigma _{Y}$;le coefficient de corrélation prend ses valeurs dans l'intervalle[–1; +1].

Si les deux variables sont indépendantes, le coefficient de corrélation linéaire est nul, mais la réciproque est fausse.

Si le coefficient de corrélation linéaire vaut 1 ou −1, les deux variables sont presque sûrement en relation affine.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

C'est grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychevque l'écart type apparaît comme une mesure de la dispersion autour de la moyenne. En effet, cette inégalité exprime que$P(|X-E(X)|>k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}$et montre que la probabilité pour queXs'écarte deE(X)de plus dekfois l'écart type est inférieure à1/k².

Principe d'incertitude

Enmécanique quantique,leprincipe d'incertituded'Heisenbergexprime que le produit des écarts types de lapositionxet de l'impulsionpd'uneparticuleest supérieur ou égal à laconstante de Planck réduitedivisée par deux, soit$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$.

Estimation

Lorsqu'il n'est pas possible de connaître toutes les valeurs de la caractéristique considérée, on se trouve dans le cadre de la théoriestatistique.Le statisticien procède alors par échantillonnage et estimation pour évaluer les grandeurs analysées telles que l'écart type.

L'écart type sert à indiquer, à l'aide debarres d'erreur,l'incertitudesur la largeur moyenne des sépales.

Unestimateurest une fonction permettant d'approcher un paramètre d'une population à l'aide d'un échantillon tiré auhasard,ou une grandeur sur un phénomène aléatoire à partir de plusieurs réalisations de celui-ci.

Dans le cas d'un échantillon de taillen,et dont la vraie moyenne -ou espérance-μest connue, l'estimateur est le suivant: $$\sigma _{X}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}}.$$Malheureusement, le plus souvent on ne connaît pasμet on doit l'estimer à partir de l'échantillon lui-même grâce à l'estimateur suivant:${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$.Différents estimateurs de l'écart type sont généralement utilisés. La plupart de ces estimateurs s'expriment par la formule: $$S_{k}={\sqrt {{\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}.$$S_{n– 1}(ouS′) est l'estimateur le plus utilisé,mais certains auteurs recommandent d'utiliserS_n(ouS).

Propriétés des estimateurs

Deux propriétés importantes des estimateurs sont laconvergenceet l'absence debiais.

Pour toutktel quek/ntende vers 1, laloi des grands nombresgarantit queS2
npuisS2
ksont des estimateursconvergentsdeσ².Grâce authéorème de continuité,stipulant que sifest continue, alors$\lim \limits _{n\to \infty }f(X_{n})=f(\lim \limits _{n\to \infty }X_{n})$.La fonctionracine carréeétant continue,S_kconverge lui aussi versσ.En particulierS_netS_{n– 1}sont des estimateurs convergents deσ,ce qui reflète l'approximation deσpar ces deux séries lorsquendevient de plus en plus grandet conforte le statisticien à utiliser ces estimateurs.

L'estimateur de la varianceS2
n– 1est sans biais. Cependant, la non-linéarité de la fonction racine carrée fait queS_{n– 1}est légèrement biaisé.Les estimateursS2
netS_nsont eux aussi biaisés. Le fait de faire intervenir non pasnmaisn– 1au dénominateur (correction de Bessel(en)) dans le calcul de la variance vient du fait que déterminer la moyenne dexà partir de l'échantillon fait perdre un degré de liberté puisque la formule${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$relie${\bar {x}}$aux valeursx_i.On a donc seulementn– 1valeurs indépendantes après le calcul de${\bar {x}}$.Dans le cas ou l'on cherche à estimer l’écart-type d'uneloi normale,on dispose d'un estimateur non biaisé deσproche de$S_{n-3/2}$.Le choix de$n-3/2$permet de corriger le biais supplémentaire lié à la racine carrée.

La précision, donnée par l'erreur quadratique moyenne, est difficile à calculer explicitement pour des lois quelconques. Il semblerait cependant qu'en dépit d'un biais plus important,S_nsoit plus précis queS_n–1.

Écart type des moyennes

Pour estimer la précision de l'estimation de la moyenne d'une variable, la méthode du calcul de l'écart type de la distribution d'échantillonnage des moyennes est utilisée. Appelé aussierreur type de la moyenne(«Standard error»), noté$\sigma _{\bar {x}}$,c'est l'écart type des moyennes des échantillons de tailles identiques d'une population. Sinest la taille des échantillons prélevés sur une population d'écart typeσ,et siNest la taille de la population, alors$\sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}$.Lorsque l'écart typeσde la population est inconnu, il peut être remplacé par l'estimateurS_n–1.Quandnest suffisamment grand (n≥ 30), la distribution d'échantillonnage suit approximativement une loi de Laplace-Gauss, ce qui permet de déduire unintervalle de confiance,fonction de$\sigma _{\bar {x}}$,permettant de situer la moyenne de la population par rapport à la moyenne de l'échantillon.

Écart type des écarts types empiriques

En général, il est très difficile de calculer la loi de distribution des écarts types empiriques. Mais siX_nest une suite de variables aléatoires distribuées selon la loi normale${\mathcal {N}}(\mu,\sigma ^{2})$,alors$n{\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}$suit une loi duχ²àndegrés de liberté. Cette loi a pour écart type√2net donc l'écart type de la distribution des variances de variables normales a pour expression$\sigma _{S_{n}^{2}}=\sigma ^{2}{\sqrt {\frac {2}{n}}}$.

Sondages d'opinion

Dans lessondages d'opinion,l'écart type$\sigma _{\bar {x}}$évalue l'incertitude des variations accidentelles dexinhérentes au sondage, ce qu'on appelle la marge d'erreur due aux variations accidentelles.

De plus, avec la méthode d'échantillonnage représentatif, lorsque les différentes strates ont des écarts types très différents, l'écart type est utilisé pour calculer la répartition optimale deNeymanqui permet d'évaluer la population dans les différentes strates en fonction de leur l'écart type; en d'autres termes$n_{i}=n{\frac {N_{i}\sigma _{i}}{\sum N_{j}\sigma _{j}}}$est la taille de l'échantillon dans la stratei,oùnest la taille totale de l'échantillon,N_iest la taille de la stratei,σ_il'écart type de la stratei.

En algorithmique

Les écarts types obtenus par un programme d'ordinateur peuvent être incorrects si on n'utilise pas un algorithme adapté aux données, comme lorsqu'on utilise celui qui exploite directement la formule${\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)-\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\right)^{2}}}$sur des grands échantillons de valeurs comprises entre 0 et 1.

Un des meilleurs algorithmes est celui de B.P. Welford qui est décrit parDonald Knuthdans son livreThe Art of Computer Programming,vol. 2.

Une approximation de l'écart type de la direction du vent est donnée par l'algorithme de Yamartinodont on se sert dans lesanémomètresmodernes.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

• Gilbert Saporta,Probabilités, Analyse des données et Statistiques,Paris, Éditions Technip,2006,622p.[détail des éditions](ISBN978-2-7108-0814-5,présentation en ligne),seconde édition
• AlainMonfort,Cours de Statistique Mathématique,Paris, éditions Economica,1997,333p.(ISBN2-7178-3217-3).
• (en)Encyclopaedia Britannica Ultimate Reference Suite,Chicago, Encyclopædia Britannica,2010.
• OlivierRioul,Théorie des probabilités,Paris, éditions Hermes sciences,2008,364p.(ISBN978-2-7462-1720-1).
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• (en)RichardHerrnsteinetCharlesMurray,The Bell Curve: Intelligence and Class Structure in American Life,New York, Simon & Schuster Ltd,1994,896p.(ISBN978-0-684-82429-1),Appendix 1, "Statistics for People Who Are Sure They Can't Learn Statistics"

Articles connexes

• Calcul d'erreur
• Indicateur de dispersion
• Erreur type
• Écart type géométrique
• Moment d'ordre n
• Coefficient de variation
• Variance
• Écart moyen
• Algorithme de calcul de la variance

Liens externes

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  • Den Store Danske Encyklopædi
  • Enciclopedia De Agostini
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