Écart type
Enmathématiques,l’écart type(aussi orthographiéécart-type) est une mesure de ladispersiondes valeurs d'unéchantillon statistiqueou d'unedistribution de probabilité.Il est défini comme laracine carréede lavarianceou, de manière équivalente, comme lamoyenne quadratiquedes écarts par rapport à lamoyenne.Il se note en général avec la lettre grecque σ («sigma»), d’après l’appellationstandard deviationen anglais. Il esthomogèneà la variable mesurée.
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Les écarts types sont rencontrés dans tous les domaines où sont appliquées les probabilités et la statistique, en particulier dans le domaine dessondages,enphysique,enbiologieou dans lafinance.Ils permettent en général de synthétiser les résultats numériques d'une expérience répétée. Tant en probabilités qu'en statistique, il sert à l'expression d'autres notions importantes comme lecoefficient de corrélation,lecoefficient de variationou la répartition optimale deNeyman.
Quand l'écart type d'une population est inconnu, sa valeur est approchée à l'aide d'estimateurs.
Exemples
modifier- Population de personnes de même taille
On considère une population de 4 personnes mesurant 2m.La moyenne des tailles est de 2m.Chaque valeur étant égale à la moyenne, l'écart type est de 0m.
- Population de personnes de tailles différentes
On considère maintenant une population de 4 personnes de taille 2m,1,80m,2,20met 2m.La moyenne est aussi de.Les écarts par rapport à la moyenne sont maintenant de 0m,0,20m,0,20met 0m,respectivement. Ainsi l'écart type est lamoyenne quadratiquede ces écarts, c'est-à-dire,qui vaut environ 0,14m.
Histoire
modifierL'écart type est une grandeur dont l'invention remonte auXIXesiècle, qui voit lastatistiquese développer auRoyaume-Uni.
C'est àAbraham de Moivrequ'est attribuée la découverte du concept de mesure de la dispersion qui apparaît dans son ouvrageThe Doctrine of Chancesen 1718[b 1].Mais le terme d'écart type («standard deviation») a été employé pour la première fois parKarl Pearsonen 1893 devant la Royal Society[b 2].C'est aussi Karl Pearson qui utilise pour la première fois le symbole σ pour représenter l'écart type[b 2].En 1908,William Gosset,plus connu sous le pseudonyme de Student, définit l'écart type empirique d'unéchantillonet montre qu'il est important de le distinguer de l'écart type d'unepopulation[b 2].Lavarianceest une notion qui apparut plus tard, en 1918, dans un texte deRonald FisherintituléThe Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance[i 1].
Sur population totale
modifierDéfinition
modifierÀ partir d'un relevé exhaustif(x1,...,xn)d'une variable quantitative pour tous les individus d'une population, l'écart type est la racine carrée de la variance, c'est-à-dire[b 3],[1],[2]:
oùreprésente la moyenne. L'écart type est homogène à la variable mesurée, c'est-à-dire que si par un changement d'unité, toutes les valeurs sont multipliées par un coefficientα > 0,l'écart type sera multiplié par le même coefficient. En revanche, l'écart type est invariant par décalage additif: si on ajoute une constante à toutes les valeurs relevées, cela ne change pas l'écart type. Ces deux propriétés font de l'écart type unindicateur de dispersion.
Par contraste avec d'autres indicateurs de dispersion comme l'écart interquartile,l'écart type a l'avantage de pouvoir se calculer à partir des moyennes et écarts types sur unepartitionde la population, puisque la variance globale est la somme de la variance des moyennes et de la moyenne des variances. Cela permet decalculer l'écart type en parallèle.
L'écart type est implémenté enPythondans la bibliothèquenumpy
avec la méthodestd
.EnR,la fonctionsd
utiliseà la place de[3],ce qui correspond à l'estimateur de l'écart-typed'une population à partir d'un échantillon.
Expression comme distance
modifierL'écart type est ladistance euclidiennedu pointde coordonnéesà ladroitediagonale engendrée par le vecteurdans,atteinte en sonprojeté orthogonalde coordonnées.
L'écart type est donc leminimumde la fonctionqui calcule la distance entreMet le point de coordonnées(t,...,t).
Coefficient de variation
modifierL'écart type peut être utilisé pour comparer l'homogénéité de plusieurs populations sur une même variable. Par exemple, si on donne deux classes d'un même niveau moyen et évaluées selon les mêmes critères, la classe avec un plus fort écart type des notes sera plus hétérogène. Dans le cas d'une notation deà,l'écart type minimal est(notes toutes identiques), et peut valoir jusqu'àsi la moitié de la classe àet l'autre moitié[Note 1].
En revanche, on ne peut comparer tels quels les écarts types de variables différentes, et dont les ordres de grandeur ne correspondent pas nécessairement. Pour une variable quantitative strictement positive, on définit alors lecoefficient de variation,égal au quotient de l'écart type par la moyenne[b 4].Ce nombre adimensionnel ne dépend pas de l'unité de mesure choisie et permet de comparer la dispersion de variables différentes.
Un coefficient de variation élevé peut éventuellement signaler l'existence d'une valeur aberrante. Un critère consiste à rejeter les valeurs qui diffèrent de la moyenne par plus de 3 fois l'écart type. Dans le cas d'unedistribution gaussienne,la probabilité d'un tel dépassement[b 5]est de l'ordre de 3/1000.
Pour une variable aléatoire
modifierDéfinition
modifierLa modélisation probabiliste d'une distribution statistique consiste à définir unevariable aléatoire,c'est-à-dire uneapplicationXavec unemesure de probabilité,laquelle permet de définir lesprobabilitésde la forme.La donnée de ces probabilités constitue laloi de probabilité[b 6]deX. La modélisation est fidèle si la probabilité d'un évènement correspond à lafréquenced'occurrence des valeurs correspondantes dans la population testée, conformément à laloi des grands nombres.
On s'intéresse ici auxvariables aléatoires réellesou vectorielles de carré intégrable, c'est-à-dire dont l'espéranceE(X2)converge. Pour une variable vectorielle (à valeurs dans unespace vectoriel normécomplet), l'espérance est un vecteur du même espace et le carré désigne le carré de la norme. L'ensemblede ces variables est lui-même unespace vectoriel.
L'écart type deXest la racine carrée de la variance[Note 2],[i 2] .
L'existence de l'écart type est assurée pour une variable aléatoire bornée ou admettant une fonction de densitédominéeà l'infini par unefonction puissanceavecα> 3.
Exemples
modifierDans le cas d'unevariable aléatoire discrètedont les valeurs sont notéesxi,avec,l'écart type s'écrit comme pour une série statistique ,oùμest l'espérance de la loi deX.
En particulier, siXestuniforme[b 7]sur un ensemble fini,c'est-à-dire si
- pour toutientre 1 etn,
alors
- .
Dans le cas d'unevariable aléatoire à densitépour laquelle les probabilités s'écrivent oùfest unefonction localement intégrable,pour lamesure de Lebesguepar exemple, mais pas nécessairement une fonction continue[b 8],l'écart type deXest défini paroùest l'espérance deX.
Avec ces formules et la définition, le calcul des écarts types pour les lois couramment rencontrées est aisé. Le tableau suivant donne les écarts types de quelques-unes de ces lois:
Nom de la loi | Paramètre(s) | Description | Écart type |
---|---|---|---|
Loi de Bernoulli[b 7] | p∈ ]0; 1[ | Loi discrète sur{0; 1}avec une probabilitépd'obtenir 1 | |
Loi binomiale[b 9] | etp∈ ]0; 1[ | Loi de la somme denvariables indépendantes suivant la loi de Bernoulli de même paramètrep | |
Loi géométrique[b 10] | p∈ ]0; 1[ | Loi du rang de la première réalisation dans une suite de variables de Bernoulli indépendantes de même paramètrep | |
Loi uniforme sur un segment[b 11] | a<b | Loi de densité constante sur[a,b] | |
Loi exponentielle[b 11] | Loi à densité avec un taux de panne constantλ | ||
Loi de Poisson[b 12] | Loi sur du nombre de réalisations indépendantes surde moyenneλ | ||
Loi du χ²[b 13] | n | Loi de la somme dencarrés de variables normales centrées réduites indépendantes |
Si la variableXsuit uneloi log-normalealorslnXsuit uneloi normaleet l'écart type deXest relié à l'écart type géométrique[b 14].
Mais toutes les lois de probabilité n'admettent pas forcément un écart type fini: laloi de Cauchy(ou loi de Lorentz) n'a pas d'écart type, ni même d'espérance mathématique[b 15].
Propriétés
modifier- Positivité
- L'écart type est toujours positif ou nul. Celui d'une constante est nul.
- Invariance par translation
- L'écart type ne change pas si on ajoute une constantebà la variable aléatoireX:σX+b=σX.
- Homogénéité[Note 3],[b 16]
- Pour toute constante positivecet toute variable aléatoire réelleX,on aσcX=cσX.
- Somme algébrique de deux variables
- L'écart type de la somme de deux variables s'écrit[b 17]sous la forme
oùρ(X,Y)est lecoefficient de corrélationentre les deux variablesXetY.
- Inégalité triangulaire
- L'écart type de la somme est majoré par la somme des écarts types[Note 4]:
- .
- De plus, il y a égalité si et seulement s'il existe une relationaffinepresque sûre entre les deux variables.
- Distance euclidienne
- L'écart type d'une variable aléatoire réelleXest la distance euclidienne de cette variable à la droite des constantes dans l'espace des variables admettant une variance[b 18].C'est donc leminimumde la fonction,atteint sur la constantec= E(X).
Usages
modifierIntervalle de fluctuation
modifierEnsciences,il est fréquent de considérer que les mesures d'une grandeur se répartissent selon unedistribution gaussienne,par accumulation d'erreurs de mesure ou d'interférences indépendantes avec d'autres phénomènes, en application duthéorème central limite.L'histogrammedes valeurs observées se rapproche alors d'unecourbe en clochecaractéristique de laloi normale.La courbe étant complètement définie par la donnée de la valeur moyenne et de l'écart type, ces deux valeurs permettent de définir unintervalle de fluctuationqui concentre l'essentiel des observations.
Le calcul desquantilesde cette loi montre par exemple que pour une grandeur satisfaisant cette distribution sur une population d'individus, avec une moyennemet un écart typeσ, 95 % des valeurs observées appartiendront à l'intervalle[m– 1,96 σ;m+ 1,96 σ](voir97,5e centile). On peut ainsi associer des probabilités à des intervalles de valeurs centrés sur la moyenne et dont l'amplitude est un multiple de l'écart type[b 19].
Écart maximal à la moyenne | Proportion des valeurs |
---|---|
68,27 % | |
95 % | |
95,45 % | |
99,73 % |
Dans l'industrie,l'écart type intervient dans le calcul de l'indice de qualité desproduits manufacturésou dans l'indice de fidélité d'unappareil de mesure[i 3],[i 4].
Enphysique des particules,la détection d'évènements est ainsi quantifiée en nombre de sigmas, représentant l'écart entre la valeur observée et la moyenne attendue en l'absence d'évènement. Un résultat est considéré comme significatif par l'obtention de 5 sigmas, représentant une probabilité d'erreur inférieure à 0,00006 % (soit niveau de confiance de plus de 99,99994 %)[i 5].
Dans le domaine de la communication financière, l'écart type est une mesure de lavolatilitédes cours des actions des sociétés cotées[b 20].Lesbandes de Bollingersont des outils facilitant l'analyse des prévisions boursières.John Bollingera construit la courbe desmoyennes mobilessur 20 jours et les courbes, de part et d'autre de cette courbe, situées à deux fois l'écart type sur ces 20 jours. John Bollinger a utilisé une définition adaptée de l'écart type[i 6].En outre, le risque d'un actif boursier et le risque associé au marché sont mesurés par l'écart type de larentabilitéattendue, dans lemodèle d'évaluation des actifs financiersdeHarry Markowitz[i 7].
Variable centrée réduite
modifierSiXest une variable aléatoire d'écart type non nul, on peut lui faire correspondre lavariable centrée et réduiteZdéfinie par.Deux variables aléatoires centrées et réduitesZ1etZ2sont aisées à comparer, puisqueE(Zi)=0etσZi=1[b 21].
Lethéorème central limitea pour objet lalimite d'une suitede variables aléatoires centrées réduites[b 22],lescoefficients de dissymétrieet d'aplatissementd'une densité de probabilité,E(Z3)etE(Z4),permettent de comparer des distributions différentes[b 23].
Coefficient de corrélation linéaire
modifierSiXetYsont deuxvariables aléatoiresréelles admettant toutes les deux une variance non nulle, le coefficient de corrélation linéaire est le rapportoùest lacovariancedes variablesXetY.D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz,;le coefficient de corrélation prend ses valeurs dans l'intervalle[–1; +1][b 24].
Si les deux variables sont indépendantes, le coefficient de corrélation linéaire est nul, mais la réciproque est fausse.
Si le coefficient de corrélation linéaire vaut 1 ou −1, les deux variables sont presque sûrement en relation affine[b 25].
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
modifierC'est grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychevque l'écart type apparaît comme une mesure de la dispersion autour de la moyenne. En effet, cette inégalité exprime que[b 26]et montre que la probabilité pour queXs'écarte deE(X)de plus dekfois l'écart type est inférieure à1/k2[b 27].
Principe d'incertitude
modifierEnmécanique quantique,leprincipe d'incertituded'Heisenbergexprime que le produit des écarts types de lapositionxet de l'impulsionpd'uneparticuleest supérieur ou égal à laconstante de Planck réduitedivisée par deux, soit[i 8].
Estimation
modifierLorsqu'il n'est pas possible de connaître toutes les valeurs de la caractéristique considérée, on se trouve dans le cadre de la théoriestatistique.Le statisticien procède alors par échantillonnage et estimation pour évaluer les grandeurs analysées telles que l'écart type.
Unestimateurest une fonction permettant d'approcher un paramètre d'une population à l'aide d'un échantillon tiré auhasard[b 28],ou une grandeur sur un phénomène aléatoire à partir de plusieurs réalisations de celui-ci.
Dans le cas d'un échantillon de taillen,et dont la vraie moyenne -ou espérance-μest connue, l'estimateur est le suivant: Malheureusement, le plus souvent on ne connaît pasμet on doit l'estimer à partir de l'échantillon lui-même grâce à l'estimateur suivant:.Différents estimateurs de l'écart type sont généralement utilisés. La plupart de ces estimateurs s'expriment par la formule: Sn– 1(ouS′) est l'estimateur le plus utilisé[b 29],[b 3],mais certains auteurs recommandent d'utiliserSn(ouS)[i 9].
Propriétés des estimateurs
modifierDeux propriétés importantes des estimateurs sont laconvergenceet l'absence debiais[b 3].
Pour toutktel quek/ntende vers 1, laloi des grands nombresgarantit queS2
npuisS2
ksont des estimateursconvergentsdeσ2.Grâce authéorème de continuité,stipulant que sifest continue, alors.La fonctionracine carréeétant continue,Skconverge lui aussi versσ.En particulierSnetSn– 1sont des estimateurs convergents deσ,ce qui reflète l'approximation deσpar ces deux séries lorsquendevient de plus en plus grand[Note 5],[b 30]et conforte le statisticien à utiliser ces estimateurs.
L'estimateur de la varianceS2
n– 1est sans biais. Cependant, la non-linéarité de la fonction racine carrée fait queSn– 1est légèrement biaisé[i 9].Les estimateursS2
netSnsont eux aussi biaisés. Le fait de faire intervenir non pasnmaisn– 1au dénominateur (correction de Bessel(en)) dans le calcul de la variance vient du fait que déterminer la moyenne dexà partir de l'échantillon fait perdre un degré de liberté puisque la formulerelieaux valeursxi.On a donc seulementn– 1valeurs indépendantes après le calcul de.Dans le cas ou l'on cherche à estimer l’écart-type d'uneloi normale,on dispose d'un estimateur non biaisé deσproche de[i 10].Le choix depermet de corriger le biais supplémentaire lié à la racine carrée.
La précision, donnée par l'erreur quadratique moyenne, est difficile à calculer explicitement pour des lois quelconques. Il semblerait cependant qu'en dépit d'un biais plus important,Snsoit plus précis queSn–1[i 9].
Écart type des moyennes
modifierPour estimer la précision de l'estimation de la moyenne d'une variable, la méthode du calcul de l'écart type de la distribution d'échantillonnage des moyennes est utilisée. Appelé aussierreur type de la moyenne(«Standard error»), noté,c'est l'écart type des moyennes des échantillons de tailles identiques d'une population. Sinest la taille des échantillons prélevés sur une population d'écart typeσ,et siNest la taille de la population, alors[b 31].Lorsque l'écart typeσde la population est inconnu, il peut être remplacé par l'estimateurSn–1[b 31].Quandnest suffisamment grand (n≥ 30), la distribution d'échantillonnage suit approximativement une loi de Laplace-Gauss, ce qui permet de déduire unintervalle de confiance,fonction de,permettant de situer la moyenne de la population par rapport à la moyenne de l'échantillon[b 32],[b 33].
Écart type des écarts types empiriques
modifierEn général, il est très difficile de calculer la loi de distribution des écarts types empiriques. Mais siXnest une suite de variables aléatoires distribuées selon la loi normale,alorssuit une loi duχ2àndegrés de liberté[b 13],[Note 6]. Cette loi a pour écart type√2net donc l'écart type de la distribution des variances de variables normales a pour expression[b 13].
Sondages d'opinion
modifierDans lessondages d'opinion,l'écart typeévalue l'incertitude des variations accidentelles dexinhérentes au sondage, ce qu'on appelle la marge d'erreur due aux variations accidentelles[i 11].
De plus, avec la méthode d'échantillonnage représentatif, lorsque les différentes strates ont des écarts types très différents, l'écart type est utilisé pour calculer la répartition optimale deNeymanqui permet d'évaluer la population dans les différentes strates en fonction de leur l'écart type; en d'autres termesest la taille de l'échantillon dans la stratei,oùnest la taille totale de l'échantillon,Niest la taille de la stratei,σil'écart type de la stratei[i 11].
En algorithmique
modifierLes écarts types obtenus par un programme d'ordinateur peuvent être incorrects si on n'utilise pas un algorithme adapté aux données, comme lorsqu'on utilise celui qui exploite directement la formulesur des grands échantillons de valeurs comprises entre 0 et 1[i 12],[i 13].
Un des meilleurs algorithmes est celui de B.P. Welford qui est décrit parDonald Knuthdans son livreThe Art of Computer Programming,vol. 2[i 14],[i 15].
Une approximation de l'écart type de la direction du vent est donnée par l'algorithme de Yamartinodont on se sert dans lesanémomètresmodernes[i 16],[i 17].
Notes et références
modifierNotes
modifier- Sinélèves ont 0/20 etnélèves ont 20/20, c'est-à-dire l'échantillon contientnfois la valeur 20 etnfois la valeur 0, la moyenne est;soitX= 10etX2= 100.
Les valeurs au carré, notéesX2,sontnfois 400 etnfois 0. La moyenne deX2vaut donc.On en déduit que la variance vaut 100 et l'écart type 10. - La deuxième égalité est donnée par lethéorème de König-Huygens.
- Toutes ces propriétés sont la conséquence directe du théorème de Huygens et des propriétés de l'espérance mathématique.
- L'inégalité découle de l'égalité précédente et de l'encadrement du coefficient de corrélation:.
- D'après le théorème de continuité on a:
Théorème—Sigest continue, alors:
- par définition de laloi duχ2
Références
modifierOuvrages spécialisés
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Articles de revue
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- RolfHeuer,«Une fin d’année pleine de suspense»,Bulletin Hebdomadaire du CERN,vol.2012,no3,(lire en ligne,consulté le)
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Autres références
modifier- «Basics of Descriptive Statistics», surche.utah.edu(consulté le)
- Voirthéorème de König-Huygenspour l'établissement de la seconde formule
- (en)«sd: Standard Deviation», surRDocumentation.
Voir aussi
modifierBibliographie
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- AndréVessereau,La Statistique,Paris,Presses Universitaires de France,coll.« Que sais-je » (no281),,128p.(ISBN2-13-052942-9).
- (en)RichardHerrnsteinetCharlesMurray,The Bell Curve: Intelligence and Class Structure in American Life,New York, Simon & Schuster Ltd,,896p.(ISBN978-0-684-82429-1),Appendix 1, "Statistics for People Who Are Sure They Can't Learn Statistics"
Articles connexes
modifier- Calcul d'erreur
- Indicateur de dispersion
- Erreur type
- Écart type géométrique
- Moment d'ordre n
- Coefficient de variation
- Variance
- Écart moyen
- Algorithme de calcul de la variance
Liens externes
modifier
- Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes: