Emmy Noether

Amalie Emmy Noether(23 mars 1882–14 avril 1935) est unemathématicienneallemandespécialiste d'algèbre abstraiteet dephysique théorique.Considérée parAlbert Einsteincomme« le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures »,elle a révolutionné les théories desanneaux,descorpset desalgèbres.En physique, lethéorème de Noetherexplique le lien fondamental entre lasymétrieet leslois de conservationet est considéré comme aussi important que lathéorie de la relativité.

Emmy Noether

Portrait de Emmy Noether, photo datant d'avant 1910.

Données clés

Naissance	23mars1882 Erlangen(Bavière,Empire allemand)
Décès	14avril1935 Princeton,New Jersey(États-Unis)
Nationalité	allemande

Données clés

Domaines	Mathématiques,physique théorique
Institutions	Université d'Erlangen Université de Göttingen
Directeur de thèse	Paul Gordan
Étudiants en thèse	Liste
Renommée pour	Théorèmes de Noether (physique;mathématiques) Anneaux noethériens

Emmy Noether naît dans une famille juive d'Erlangen(à l'époque dans leroyaume de Bavière). Son père est le mathématicienMax Noether.Emmy envisage d'abord d'enseigner le français et l'anglais après avoir passé les examens requis, mais étudie finalement les mathématiques à l'université d'Erlangenoù son père donne des conférences. Après avoir achevé sa thèse en 1907 sous la direction dePaul Gordan,elle travaille bénévolement à l'Institut de Mathématiques d'Erlangen pendant sept ans. En 1915, elle est invitée parDavid HilbertetFelix Kleinà rejoindre le très renommé département de mathématiques de l'université de Göttingen.Cependant, en raison de l'opposition de la faculté de philosophie — qui refuse qu'une femme soit nommée professeur — elle doit pendant quatre ans donner des cours sous le nom de Hilbert. Sonhabilitationest obtenue en 1919. Elle acquiert le titre dePrivatdozent.

Emmy Noether reste un des membres les plus influents du département de mathématiques de Göttingen jusqu'en 1933. En 1924, le mathématicien néerlandaisBartel Leendert van der Waerdenrejoint le cercle de ses étudiants et devient le principal propagateur des idées de Noether, dont le travail servira de fondation à son très influent ouvrage:Moderne Algebra(1931). Avant même son intervention aucongrès international des mathématiciensdeZurich(1932), sa connaissance de l'algèbre est reconnue dans le monde entier. L'année suivante, legouvernement naziexclut les Juifs qui occupent des postes universitaires et Noether émigre alors auxÉtats-Unisoù elle obtient un poste aucollège Bryn Mawr,enPennsylvanie.En 1935, elle est opérée pour unkyste ovarienet, malgré des signes de rétablissement, elle meurt quatre jours plus tard à l'âge de cinquante-trois ans.

Les travaux mathématiques d'Emmy Noether ont été divisés en trois « époques ». Durant la première (1908-1919), elle apporte des contributions significatives en théorie desinvariants algébriqueset descorps de nombres.Son théorème sur les invariants différentielsdans lecalcul des variationsest« l'un des plus importants théorèmes mathématiques jamais prouvé dans l'orientation du développement de la physique moderne ».Au cours de la deuxième époque (1920-1926), elle commence des travaux« qui ont changé la face de l'algèbre ».Dans son article devenu un classique,Idealtheorie in Ringbereichen(Théorie des idéaux dans les anneaux, 1921), Noether développe la théorie desidéauxdans les anneaux commutatifs pour en faire un outil puissant aux nombreuses applications. Elle fait un usage élégant de lacondition de chaîne ascendante,et les objets qui satisfont à cette condition sont ditsnoethériensen son honneur. Pendant sa troisième époque (1927-1935), elle publie des avancées majeures enalgèbre non commutativeet sur lesnombres hypercomplexes,et unit la théorie desreprésentationsdegroupesavec celle desmoduleset des idéaux. En plus de ses propres publications, Noether est reconnue pour avoir insufflé des idées à d'autres mathématiciens, y compris dans des domaines très éloignés des siens, comme latopologie algébrique.

Biographie

Famille et enfance

Erlangen,sur une carte postale de 1916.

Le père d'Emmy,Max Noether,est issu d'une famille de commerçants allemands. À la suite d'unepoliomyélitecontractée à l'âge de quatorze ans, il est paralysé, puis retrouve une certaine mobilité mais une jambe reste atteinte. Largement autodidacte, il obtient undoctoratde l'université de Heidelbergen 1868. Après avoir enseigné à Heidelberg pendant sept ans, il obtient un poste àErlangen,enBavière,où il rencontre puis épouse Ida Amalia Kaufmann, la fille d'un riche négociant.Les recherches de Max Noether portent essentiellement sur lagéométrie algébrique,suivant les traces d'Alfred Clebsch.Ses résultats les plus connus sont lethéorème de Brill-Noetheret lethéorème AF+BG.Quelques autres théorèmes portent le nom dethéorème de Max Noether.

Emmy Noether naît le23 mars 1882.Elle est la première de quatre enfants. Son prénom est Amalie, comme sa mère et sa grand-mère paternelle, mais elle est, très jeune, appelée par son deuxième prénom. Elle est aimée par ses parents. Ses résultats scolaires ne sont pas remarquables, bien qu'elle soit connue pour être intelligente et aimable. Elle estmyopeet, durant son enfance, parle avec un défaut de prononciation. Un ami de la famille racontera, bien des années après, comment Emmy avait résolu rapidement des énigmes lors d'un goûter réunissant plusieurs enfants, montrant ainsi un grand esprit de logique à un âge précoce.Emmy apprend à cuisiner et à faire le ménage — comme la plupart des petites filles de cette époque — et prend des leçons de piano. Aucune de ces activités ne la passionne, sauf la danse.

De ses trois frères, seulFritz Noether,né en 1884, est connu pour ses travaux universitaires. Après des études àMunich,il se taille une réputation enmathématiques appliquées.Son frère aîné, Alfred, né en 1883, obtient un doctorat de chimie à Erlangen en 1909, mais décède neuf ans après. Le plus jeune, Gustav Robert, naît en 1889. Sa vie est très peu connue. Il souffre d'une maladie chronique et meurt en 1928.

Université d'Erlangen

Paul Gordandirigea la thèse de doctorat de Noether sur lesinvariantsdes formes biquadratiques.

Emmy Noether montre rapidement des capacités en français et en anglais. Au printemps 1900, elle passe l'examen permettant de devenir enseignant dans ces langues et obtient la mentionsehr gut(très bien). Ses résultats la qualifient pour enseigner les langues dans les écoles réservées aux jeunes filles, mais elle choisit de poursuivre ses études à l'université d'Erlangen.

Cette décision est peu courante: deux ans auparavant, la direction de l'université a déclaré que l'instauration de la mixité« bouleverserait l'ordre académique ».Noether est l'une des deux seules femmes, parmi les986 étudiantsde l'université. Elle doit demander personnellement la permission de chaque professeur dont elle veut suivre le cours. Malgré ces obstacles, le14 juillet 1903,elle passe avec succès son examen dans ungymnasiumdeNuremberg.

Noether utilisait parfois des cartes postales pour discuter algèbre avec son collègue, Ernst Fischer; cette carte est oblitérée le10 avril 1915.

Durant le semestre d'hiver 1903-1904, elle étudie à l'université de Göttingenet assiste aux cours de l'astronomeKarl Schwarzschildet des mathématiciensHermann Minkowski,Otto Blumenthal,Felix KleinetDavid Hilbert.Peu après, les restrictions aux droits des femmes à l'université sont levées.

Noether revient à Erlangen. Elle rentre officiellement à l'université le24 octobre 1904et affirme son intention de se consacrer uniquement aux mathématiques. Elle écrit sa thèse sous la direction dePaul Gordan:Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form(Construction du système de formes de la forme ternaire quadratique,1907). Cette thèse fut bien accueillie mais Noether, après s'être tournée vers une approche plus abstraite, la qualifiera plus tard deMist(fumier), ajoutant que ce n'était qu'uneFormelngestrüpp(jungle d'équations).

Pendant les sept années suivantes (1908 – 1915), elle enseigne à l'Institut de mathématiques d'Erlangen à titre bénévole, remplaçant occasionnellement son père lorsqu'il est malade. Animée par le désir de quitter sa ville natale, elle construit, dès ses premiers pas à l'université, un réseau de contacts, de collègues et d'amitiés, avec lesquels elle peut partager ses connaissances et cultiver sa passion. En 1908, elle devient membre du Cercle mathématique dePalerme,l'année d'après, elle intègre la Société allemande de mathématiques et participe à une conférence àSalzbourg,en Autriche, prélude à l'extension de sa thèse — passant de troisvariablesà un nombre quelconquende variables —, qu'elle publie en 1910 et 1911.

Gordan prend sa retraite au printemps 1910 mais continue parfois à enseigner avec son successeur,Erhard Schmidt,qui s'en va peu après prendre un poste àBreslau.Gordan se retire définitivement à l'arrivée de son deuxième successeur,Ernst Sigismund Fischer,en 1911. Gordan meurt endécembre 1912.

SelonHermann Weyl,Fischer a eu une grande influence sur Noether, en particulier en lui présentant les travaux deDavid Hilbert.De 1913 à 1916, Noether publie des articles qui appliquent et amplifient les méthodes de Hilbert sur des objets mathématiques tels que lescorpsdefonctions rationnelleset lesinvariantsdesgroupes finis.Cette période marque le début de son investissement dans l'algèbre abstraite,le domaine des mathématiques auquel elle va apporter des contributions révolutionnaires. Noether et Fischer partagent un vif plaisir à étudier les mathématiques et discutent souvent des conférences longtemps après y avoir assisté. Noether envoie des cartes postales à Fischer, dans lesquelles elle poursuit ses raisonnements mathématiques.

Université de Göttingen

En 1915,David Hilbertinvite Noether à Göttingen malgré l'opposition de collègues, qui ne veulent pas qu'une femme enseigne à l'université.

Au printemps 1915, Noether est invitée à revenir à l'université de Göttingen par David Hilbert etFelix Klein.Leurs efforts pour la recruter sont cependant entravés par lesphilosopheset leshistoriensau sein de la faculté de philosophie: selon eux, les femmes ne doivent pas devenirPrivatdozent.Un membre de la faculté proteste:« Que penseront nos soldats, quand ils reviendront à l'université et verront qu'ils doivent apprendre aux pieds d'une femme? »Hilbert répond avec indignation, en indiquant:« je ne vois pas pourquoi le sexe de la candidate serait un argument contre son admission commePrivatdozent.Après tout, nous sommes une université, pas des bains publics. »

Noether quitte Erlangen pour Göttingen à la fin du mois d'avril.Deux mois après, sa mère meurt soudainement. Elle avait reçu auparavant des soins à un œil, mais la cause exacte de sa mort est inconnue. À la même période, son père prend sa retraite et son frère est mobilisé dans l'armée allemande et participe à laPremière Guerre mondiale.Emmy Noether retourne à Erlangen pour quelques semaines, essentiellement pour s'occuper de son père.

Le département de mathématiques de l'université de Göttingen.

Durant ses premières années d'enseignement à Göttingen, Emmy Noether n'a ni poste officiel ni rémunération. Sa famille lui paie le gîte et le couvert et finance ses travaux de recherche. Ses conférences sont souvent annoncées sous le nom de Hilbert, Noether y étant mentionnée comme assistante.

Cependant, peu après son arrivée, Emmy Noether prouve ses capacités en démontrant le théorème maintenant connu sous le nom de «théorème de Noether», qui exprime l'équivalence existant entre leslois de conservationet l'invariance deslois physiquesen ce qui concerne lasymétrie.

Juste après la Première Guerre mondiale, larévolution allemandeapporte des changements significatifs dans les comportements sociaux, notamment relatifs aux droits accordés aux femmes. En 1919, l'université de Göttingen permet à Emmy Noether de passer son habilitation. Son examen oral a lieu enmaiet son habilitation à donner des cours est délivrée enjuin.

Trois ans plus tard, elle reçoit une lettre du ministre de la Science, des Arts et de l'Éducation publique dePrusse,qui lui confère le titre dePrivatdozent.Bien qu'elle reconnaisse l'importance de ses travaux, cette affectation ne lui procure toujours aucun salaire. Noether n'est pas rémunérée pour ses conférences, jusqu'à ce qu'elle obtienne le poste spécial deLehrauftrag für Algebra(poste d'assistant en algèbre) un an plus tard.

Travaux fondateurs en algèbre générale

Bien que le théorème de Noether ait un profond effet sur la physique, elle est plus connue parmi les mathématiciens pour ses contributions fondatrices en algèbre générale.Nathan Jacobsonaffirme:

« Le développement de l'algèbre abstraite, qui est l'une des innovations les plus caractéristiques des mathématiques du vingtième siècle, lui est largement redevable, par les articles qu'elle a publiés, par ses conférences et son influence personnelle sur ses contemporains. »

Les travaux révolutionnaires de Noether en algèbre débutent en 1920. En collaboration avec W. Schmeidler, elle publie un article sur la théorie desidéauxdans lequel elle définit lesidéaux à gaucheetà droitedans unanneau.L'année suivante, elle publie un article qui fait date:Idealtheorie in Ringbereichen(Théorie des idéaux dans les anneaux) qui analyse, pour les idéaux, lacondition de chaîne ascendante(toutechaînepos sắc de unmaximumou, ce qui est équivalent, toutesuite croissanteeststationnaire). Un algébriste réputé,Irving Kaplansky,qualifie son travail de« révolutionnaire »et cette publication donne naissance au terme d'anneau noethérienet différents autres objets mathématiques (groupes,anneaux,espaces topologiques,schémas) sont qualifiés denoethériens.

En 1924, un jeune mathématicien néerlandais,Bartel Leendert van der Waerden,arrive à l'université de Göttingen. Il commence immédiatement à travailler avec Noether, qui lui enseigne d'inestimables méthodes de conceptualisation abstraite. Van der Waerden dira plus tard que l'originalité de Noether était« absolue, au-delà de toute comparaison ».En 1931, il publieModerne Algebra,un ouvrage central dans ce domaine. Le second volume emprunte beaucoup aux travaux de Noether. Bien qu'Emmy Noether ne soit pas à la recherche de reconnaissance, il inclura dans la septième édition:« basé en partie sur des conférences d'E. Artinet E. Noether ».Elle laisse parfois à ses collègues et étudiants le crédit pour ses propres idées, les aidant ainsi à développer leur carrière à ses dépens.

La venue de van der Waerden s'inscrit dans un vaste mouvement de mathématiciens du monde entier vers Göttingen, qui devient un centre de recherche important en physique et en mathématiques. De 1926 à 1930, letopologuerussePavel Alexandrovenseigne à l'université et devient rapidement ami avec Noether. Il l'appelleder Noether,utilisant l'article allemand masculin en signe d'affection et de respect. Elle essaie de lui obtenir un poste régulier de professeur à Göttingen, mais parvient seulement à l'aider à obtenir une bourse de laFondation Rockefeller.Ils se rencontrent régulièrement et apprécient de discuter des points communs entre l'algèbre et la topologie. En 1935, lors de son discours commémoratif, Alexandrov dira de Noether qu'elle était« la plus grande mathématicienne de tous les temps ».

Cours et étudiants

À Göttingen, Noether encadre une douzaine d'élèves en doctorat. Sa première doctorante,Grete Hermann,qui soutient sa thèse enfévrier 1925,écrira plus tard que cettedirectrice de thèseétait surnommée avec dévotion la« Maman desthésards»(«Doktormutter»).Noether supervise aussiMax Deuring,qui se distingue déjà en licence puis continue en faisant des apports significatifs engéométrie arithmétique;Hans Fitting,renommé pour lethéorème de Fittinget lelemme de Fitting;etChiungtze Tsenqui prouve lethéorème de Tsen.Elle travaille aussi avecWolfgang Krull,qui fera grandement progresser l'algèbre commutativeen établissantplusieurs théorèmesqui porteront son nom et ladimension de Krullpour les anneaux commutatifs.

En plus de sa perspicacité mathématique, Noether est respectée pour la considération qu'elle porte à autrui. Bien qu'elle soit parfois brusque envers ceux qui ne sont pas d'accord avec elle, elle gagne cependant une réputation de femme obligeante et patiente lorsqu'elle prodigue ses conseils aux nouveaux étudiants. Son attachement à la précision mathématique pousse un de ses collègues à la qualifier de« critique sévère »,mais elle combine cette demande d'exactitude avec une attitude constructive.Un collègue la décrira plus tard ainsi:« Complètement altruiste et sans vanité, elle ne demandait jamais rien pour elle-même, mais favorisait par-dessus tout les travaux de ses étudiants. »

Son style de vie économe était, au début, dû au fait qu'elle n'était pas payée pour son travail. Cependant, même après que l'université lui a octroyé un petit salaire, en 1923, elle continue de vivre simplement et modestement. Plus tard, elle sera payée plus généreusement mais économisera la moitié de son salaire pour le transmettre à son neveu,Gottfried E. Noether.

Très peu soucieuse des apparences et des relations sociales, elle se concentre sur ses études sans se préoccuper de la mode ni de liaisons amoureuses. L'algébriste réputéeOlga Taussky-Toddracontera un repas durant lequel Noether, complètement absorbée dans une discussion mathématique,« gesticulait comme une folle »en mangeant et« renversait sans cesse de la nourriture sur sa robe, et l'essuyait, sans que cela ne la perturbe le moins du monde ».Les étudiants soucieux des apparences ont un mouvement de recul quand elle sort son mouchoir de son chemisier ou devant le désordre croissant de sa coiffure au fur et à mesure de l'avancement de son cours. Une fois, deux étudiantes essaient de l'approcher à la pause entre deux heures de cours pour lui exprimer leur sentiment à ce sujet, mais il leur est impossible d'arrêter l'énergique discussion mathématique qu'a Noether avec d'autres étudiants.

Selon la nécrologie d'Emmy Noether écrite par van der Waerden, elle ne suit pas de plan de cours pendant ses conférences, ce qui perturbe certains étudiants. Au lieu de cela, elle construit ses cours comme des discussions à bâtons rompus avec les étudiants, avec pour but d'étudier et de résoudre des problèmes pointus et importants en mathématiques. Certains de ses résultats les plus importants sont développés pendant ces conférences, et les notes de cours des étudiants serviront de base à plusieurs livres importants, comme ceux de van der Waerden et de Deuring.

Plusieurs de ses collègues assistent à ses cours et elle accepte que certaines de ses idées, comme leproduit croiséd'algèbres associatives, soient publiées par d'autres. Noether donnera au moins cinq semestres de cours à Göttingen:

• Hiver 1924/25:Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen(Théorie des groupesetnombres hypercomplexes)
• Hiver 1927/28:Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie(Quantités hypercomplexes et théorie desreprésentations de groupes)
• Été 1928:Nichtkommutative Algebra(Algèbre non commutative)
• Été 1929:Nichtkommutative Arithmetik(Arithmétique non commutative)
• Hiver 1929/30:Algebra der hyperkomplexen Grössen(Algèbre des quantités hypercomplexes)

Ces cours précèdent souvent des publications majeures dans ces domaines.

Noether parle vite (ce qui reflète la rapidité de sa pensée, dit-on) et exige une grande concentration de la part de ses étudiants. Les étudiants qui n'aiment pas son style se sentent souvent perdus.L'un d'eux note, en marge de son cahier, pendant un cours se terminant à treize heures:« Il est 12 h 50, Dieu merci! »Certains étudiants trouvent qu'elle s'appuie trop sur des discussions spontanées. Ses élèves les plus dévoués, au contraire, se délectent de l'enthousiasme avec lequel elle aborde les mathématiques, d'autant que ses conférences sont souvent fondées sur des travaux qu'ils ont menés ensemble auparavant.

Elle se crée ainsi un petit cercle de collègues et d'étudiants qui pensent comme elle et tend à exclure ceux qui ne le font pas. Les « étrangers » qui se rendent occasionnellement à un cours de Noether ne restent en général qu'une demi-heure dans la salle avant de repartir, frustrés et l'esprit confus. Un étudiant régulier dira, dans une telle circonstance:« l'ennemi est vaincu, il a battu en retraite. »

Noether montre un dévouement à son travail et à ses étudiants qui s'étend au-delà de la période universitaire. Un jour, alors que le bâtiment est fermé pour cause de jour férié, elle rassemble ses étudiants sur le perron, à l'extérieur, puis les conduit à travers les bois jusqu'à un café où elle leur donne un cours.Plus tard, après avoir étérenvoyée en 1933par letroisième Reich,elle invitera ses étudiants chez elle pour discuter de concepts mathématiques et de leurs projets pour l'avenir.

Moscou

Bâtiment de l'université d'État de Moscou.

Pavel Alexandrov.

Pendant l'hiver 1928-1929, Noether accepte l'invitation de l'université d'État de Moscou,où elle continue à travailler avecPavel Alexandrov.Elle y poursuit ses recherches et donne des cours d'algèbre abstraite et degéométrie algébrique.Elle travaille avec les spécialistes de latopologieque sontLev PontriaguineetNikolai Tchebotariov,qui plus tard diront leur admiration pour ses contributions enthéorie de Galois.

Bien que la politique ne joue pas un rôle central dans sa vie, Noether s'intéresse vivement à la chose politique et, selon Alexandrov, affiche un soutien considérable à laRévolution russe de 1917.Elle est particulièrement heureuse de voir les avancées soviétiques dans les différents domaines des sciences et des mathématiques. Cette attitude lui cause des problèmes en Allemagne, jusqu'à provoquer son éviction de la pension dans laquelle elle logeait après que des responsables étudiants se furent plaints de vivre sous le même toit qu'« une Juive aux penchants marxistes ».

Noether projette de retourner à Moscou, avec l'aide d'Alexandrov. Après qu'elle eut quitté l'Allemagne en 1933, il essaie de l'aider à obtenir une chaire à l'université d'État de Moscouvialeministère soviétique de l'Éducation.Bien que cet essai s'avère infructueux, ils continuent à correspondre fréquemment pendant les années 1930 et, en 1935, elle envisage à nouveau de retourner enUnion des républiques socialistes soviétiques.Pendant ce temps, son frère Fritz a accepté un poste à l'Institut de Recherche en Mathématiques et Mécanique àTomsk,enSibérie,après avoir lui aussi perdu son emploi en Allemagne.

Reconnaissance

En 1932, Emmy Noether etEmil Artinreçoivent leprix Alfred Ackermann-Teubnerpour leurs contributions en mathématiques.Le montant du prix s'élève à500reichsmarkset est vu comme un long retard d'impayé pour ses travaux considérables en mathématiques. Cependant, ses collègues expriment leur déception de ne pas la voir élue à l'Académie des sciences de Göttingenni promue au poste deOrdentlicher Professor(professeur à part entière).

Les collègues de Noether fêtent ses cinquante ans en 1932 dans un style typiquement mathématicien.Helmut Hasselui consacre un article dans lesMathematische Annalen,dans lequel il confirme l'intuition de Noether selon laquelle certains aspects de l'algèbre non commutativesont plus simples que l'algèbre commutativeen prouvant uneloi de réciprocité quadratiquenon commutative.Cela fait immensément plaisir à Noether. Il lui envoie également une énigme, lamμν-riddle of syllables(Énigme mμν des syllabes), qu'elle résout immédiatement. Cette énigme a été perdue depuis.

En septembre de cette même année, Noether donne une conférence plénière (großer Vortrag) surles systèmes hypercomplexes dans leurs relations avec l'algèbre commutative et la théorie des nombresaucongrès international des mathématiciensàZurich.Le congrès rassemble800 personnes,dont les collègues de NoetherHermann Weyl,Edmund LandauetWolfgang Krull.Il y a420 participantsofficiels et21 conférencesy sont présentées. La mise en avant de Noether en tant qu'oratrice est une reconnaissance de l'importance de ses contributions aux mathématiques. Le congrès de 1932 est parfois décrit comme le point culminant de sa carrière.

Expulsion de Göttingen

QuandAdolf Hitlerdevient chancelier enjanvier 1933,l'activiténaziese répand dans tout le pays. À l'université de Göttingen, l'Association des Étudiants allemands mène l'attaque contre l'« esprit non allemand »et est aidée par unPrivatdozentnommé Werner Weber, un ancien étudiant de Noether. Les comportementsantisémitescréent un climat hostile aux professeurs juifs. Un jeune manifestant aurait exigé:« les étudiants aryens veulent des mathématiques aryennes et non des mathématiques juives ».

Une des premières actions du gouvernement d'Hitler est laloi allemande sur la restauration de la fonction publique du 7 avril 1933qui exclut les fonctionnaires juifs ou politiquement suspects de leurs emplois, à moins qu'ils n'aient démontré leur loyauté à l'Allemagne en ayant servi sous les drapeaux pendant la Première Guerre mondiale. Cette loi concerne notamment les professeurs d'université. Enavril 1933,Noether reçoit une notification du ministère prussien des Sciences, des Arts et de l'Éducation qui lui signifie:« En application du paragraphe 3 de la loi sur la Fonction publique du7 avril 1933,par la présente je vous retire le droit d'enseigner à l'université de Göttingen ».Plusieurs collègues de Noether, dontMax BornetRichard Courant,sont également révoqués.Noether accepte la décision calmement et soutient ses amis dans ces temps difficiles. Hermann Weyl écrira plus tard« Emmy Noether, avec son courage, sa franchise, son détachement devant son propre destin, son esprit de conciliation, était, au milieu de la haine, de la mesquinerie, du désespoir et de la tristesse qui nous entouraient, un réconfort moral ».Typiquement, elle reste concentrée sur les mathématiques, réunissant ses étudiants dans son appartement pour discuter de lathéorie des corps de classes.Quand un de ses étudiants apparaît en uniforme desSA,elle ne montre aucun signe d'agitation et même, paraît-il, en rit plus tard.

Bryn Mawr

LeBryn Mawr Collegeaccueillit Noether à la fin de sa vie.

Comme des dizaines de professeurs sans emploi commencent à chercher des postes hors d'Allemagne, leurs collègues desÉtats-Unistentent de leur porter assistance. Albert Einstein et Hermann Weyl sont embauchés par l'Institute for Advanced StudyàPrinceton (New Jersey),alors que d'autres cherchent un mécène, nécessaire pour uneimmigrationlégale. Noether est contactée par les représentants de deux institutions éducatives: leBryn Mawr Collegeaux États-Unis et leSomerville Collegede l'université d'Oxford,en Angleterre. Après quelques négociations avec laFondation Rockefeller,une bourse est accordée à Noether pour Bryn Mawr et elle y prend son poste fin 1933.

À Bryn Mawr, Noether rencontre et lie amitié avecAnna Wheeler,qui a étudié à Göttingen juste avant l'arrivée de Noether. La présidente ducollege,Marion Edwards Park, apporte également son soutien à Noether. Elle invite avec enthousiasme des mathématiciens de la région pour« voir le Dr. Noether en action! »Noether et un petit groupe d'étudiants étudient rapidement le livre de van der WaerdenModerne Algebra I(1930) et des parties deTheorie der algebraischen Zahlen(Théorie des nombres algébriques,1908) d'Erich Hecke.

En 1934, Noether commence une série de conférences à l'Institute for Advanced Studyà l'invitation d'Abraham FlexneretOswald Veblen.Elle travaille avecAbraham AlbertetHarry Vandiveret encadre leurs recherches.Cependant, elle remarque qu'elle n'est pas la bienvenue à Princeton,« l'université des hommes, où aucune femme n'est admise ».

Son séjour aux États-Unis est agréable, car elle est entourée de collègues qui la soutiennent et absorbée par ses sujets favoris.À l'été 1934, elle retourne brièvement en Allemagne pour voir Emil Artin et son frère Fritz avant qu'il ne parte pour Tomsk. Bien que beaucoup de ses anciens collègues aient quitté les universités, contraints et forcés, elle parvient à utiliser la bibliothèque en tant que« chercheur étranger ».

Mort

Cloître de la bibliothèqueM. Carey ThomasduBryn Mawr College,où repose Emmy Noether.

En avril1935,les médecins diagnostiquent unetumeurdans l'abdomen d'Emmy Noether. Inquiets de possibles complications post-opératoires, ils prescrivent tout d'abord deux jours d'alitement. Durant l'opération, ils découvrent unkyste ovarien« de la taille d'un gros melon ».Deux autres tumeurs dans son utérus semblent bénignes et ne sont pas ôtées pour éviter de prolonger l'opération. Pendant trois jours, sa convalescence paraît se dérouler normalement et elle se remet rapidement d'uncollapsus cardio-vasculairele quatrième jour. Le 14 avril, elle perd connaissance, sa température monte à42,8°Cet elle meurt. Un des praticiens écrira:« Il n'est pas facile de dire ce qu'il s'est passé dans le cas du Dr. Noether. Il est possible que ce soit une rare et violente infection qui ait frappé la base du cerveau, là où les centres de régulation de la température sont supposés se trouver. »

Quelques jours plus tard, ses amis et connaissances de Bryn Mawr organisent une petite cérémonie commémorative chez la présidente Park. Hermann Weyl etRichard Brauerfont le voyage depuis Princeton et évoquent avec Wheeler et Taussky leur collègue défunte. Dans les mois qui suivent, des hommages écrits commencent à apparaître de par le monde: Albert Einstein se joint à van der Waerden, Weyl et Pavel Alexandrov. Sa dépouille est incinérée et les cendres enterrées sous la galerie qui entoure le cloître de la bibliothèqueM. Carey ThomasduBryn Mawr College.

Apports en mathématiques et physique

Avant tout, Noether restera pour la postérité unealgébriste,bien que son travail ait aussi d'importantes conséquences enphysique théoriqueet entopologie.Elle montre une grande propension au raisonnement abstrait, ce qui lui permet d'aborder les problèmes de mathématiques d'un point de vue nouveau et original.Son ami et collègueHermann Weylpartage ses recherches en trois périodes.

La première période est surtout consacrée auxinvariantsdifférentiels et algébriques, en commençant par sa thèse dirigée parPaul Albert Gordan.Ses horizons mathématiques s'élargissent et ses travaux deviennent plus généraux et abstraits lorsqu'elle se familiarise avec l'œuvre deDavid Hilbert,à travers de proches interactions avec un successeur de Gordan,Ernst Sigismund Fischer.Après son arrivée à Göttingen en 1915, elle produit ses résultats fondateurs pour la physique: les deuxthéorèmes de Noether.

Durant la deuxième période (1920 – 1926), Noether se consacre au développement de la théorie desanneaux.

Pendant la troisième période (1927 – 1935), elle se concentre sur l'algèbre non commutative,lestransformations linéaireset lescorps de nombrescommutatifs.

Contexte historique

En un siècle, de 1832 à la mort de Noether en 1935, les mathématiques, et en particulier l'algèbre, connaissent une profonde révolution dont les répercussions se font encore sentir aujourd'hui. Les mathématiciens des siècles précédents travaillaient sur des méthodes pratiques pour résoudre des types spécifiques d'équations, par exemple leséquations du troisième degré,équations quartiques,etc.,ainsi que sur les problèmes deconstruction à la règle et au compasdepolygones réguliers.Cette révolution débute par la création parCarl Friedrich Gaussde l'ensemble desentiers de Gausset l'étude de leurs propriétés (vers 1831), suivie de l'introduction en 1832 parÉvariste Galoisdesgroupes de permutation(bien qu'à cause de sa mort, ses travaux ne soient publiés qu'en 1846 parLiouville), puis de la découverte desquaternionsparWilliam Rowan Hamiltonen 1843, et enfin de la définition plus moderne desgroupesparArthur Cayleyen 1854. La recherche s'oriente alors vers la détermination de systèmes toujours plus abstraits définis par des règles toujours plus générales. Les apports les plus importants de Noether aux mathématiques concernent ce nouveau domaine: l'algèbre abstraite.

Algèbre abstraite etbegriffliche Mathematik(mathématiques conceptuelles)

Lesgroupeset lesanneauxsont deux concepts de base en algèbre abstraite, généralisant les opérations usuelles (l'addition pour les groupes, l'addition et la multiplication pour les anneaux). Leur utilisation, bien que coûteuse en abstraction, va permettre d'unifier de nombreux domaines (comme les corps de nombres et les polynômes dans le cas des anneaux) et de simplifier des preuves, qui en travaillant dans les ensembles particuliers, étaient coûteuses.

Les groupes sont souvent étudiés à travers leursreprésentations,c'est-à-dire à l'aide de fonctions (telles que les déplacements de l'espace) se comportant comme les éléments du groupe; dans ce contexte, ces fonctions sont généralement appelées lessymétriesde l'espace considéré. Noether a utilisé ces symétries dans ses travaux sur les invariants en physique. D'autres outils puissants similaires permettent d'étudier les anneaux, par exemple l'utilisation demodules.

Les théorèmes d'algèbre abstraite sont puissants car généraux; ils régissent de nombreux systèmes. On pourrait imaginer que peu de conclusions puissent être tirées d'objets définis à partir d'un nombre si restreint de propriétés, mais au contraire c'est là que réside l'apport de Noether: découvrir le maximum qui puisse être conclu à partir d'un ensemble donné de propriétés ou, réciproquement, identifier l'ensemble minimum, les propriétés essentielles responsables d'une observation particulière. Au contraire de la plupart des mathématiciens, elle ne produit pas des abstractions en généralisant à partir d'exemples connus, mais travaille directement dans l'abstraction. Comme le rappelle van der Waerden dans son hommage funèbre:

« La devise par laquelle Emmy Noether était guidée pour son travail pourrait être formulée ainsi:toutes les relations entre les nombres, les fonctions et les opérations deviennent transparentes, largement applicables et pleinement productives seulement lorsqu'elles ont été séparées des objets particuliers auxquelles elles s'appliquent et reformulées en tant que concepts universels.»

C'est labegriffliche Mathematik(les mathématiques purement conceptuelles) qui caractérise Noether. Ce style de mathématiques a été adopté par d'autres mathématiciens et, après sa mort, a refleuri sous d'autres formes, comme lathéorie des catégories.

Première période (1908 – 1919)

Théorie des invariants algébriques

Tableau 2 de la thèse de Noethersur la théorie des invariants. Ce tableau rassemble 202 des 331 invariants des formes biquadratiques ternaires. Ces formes sont catégorisées suivant deux variables,xetu.Les lignes du tableau font la liste des invariants suivant lesxcroissants, les colonnes suivant lesucroissants.

La plus grande partie des travaux de Noether pendant la première période de sa carrière concerne lathéorie des invariants,et principalement la théorie des invariants algébriques. La théorie des invariants étudie les expressions qui restent constantes (invariantes) sous l'actiond'ungroupede transformations. Par exemple, si une barre rigide pivote, les coordonnées (x,y,z) de ses extrémités changent, mais sa longueurLdonnée par la formuleL²= Δx²+ Δy²+ Δz²reste la même, c'est un invariant (correspondant au groupe des rotations). La théorie des invariants était un sujet de recherche active à la fin duXIX^esiècle, impulsé notamment par leprogramme d'ErlangendeFelix Klein,selon lequel les différentesgéométriesdevaient être caractérisées par leurs invariants par des transformations, par exemple lebirapportpour lagéométrie projective.

L'exemplearchétypald'invariant est lediscriminantB²− 4ACd'une forme quadratique binaireAx²+Bxy+Cy².Le discriminant est un invariant car il reste inchangé par les substitutions linéairesx ↦ ax+by,y ↦ cx+dydont le déterminantad−bcest égal à 1. Ces substitutions forment legroupe spécial linéairenotéSL₂(il n'y a pas d'invariant correspondant augroupe général linéaireformé de toutes les transformations linéaires inversibles, car la multiplication par un scalaire en fait partie; pour remédier à cet inconvénient, la théorie classique des invariants introduisait également desinvariants relatifs,définis à un facteur d'échelle près). On peut rechercher l'ensemble des polynômes enA,B,etCqui sont inchangés par l'action deSL₂;on les appelle les invariants des formes quadratiques à deux variables, et on montre que ce sont les polynômes formés à partir du discriminant. Plus généralement, les invariants de polynômes homogènes de degré plus élevéA₀x^ry⁰+... +A_rx⁰y^rsont des polynômes en les coefficientsA₀...,A_r,et l'on peut, plus généralement encore, s'intéresser au cas où il y a plus de deux variables.

L'un des buts principaux de la théorie des invariants était de résoudre leproblème de la base finie,c'est-à-dire de savoir s'il est possible d'obtenir tous les invariants par sommes et produits d'une liste finie d'invariants, appelésgénérateurs.Ainsi, le discriminant constitue une telle liste (réduite à un élément) pour l'ensemble des formes quadratiques à deux variables. Le directeur de recherches de Noether, Paul Albert Gordan, était connu comme le « roi de la théorie des invariants », et sa principale contribution aux mathématiques était sa résolution, en 1870, du problème de la base finie pour les polynômes homogènes à deux variables de degré quelconque.Sa méthode permettait, de façon constructive, de trouver tous les invariants et leurs générateurs, mais il ne parvint pas à la généraliser au cas de trois variables. En 1890,David Hilbertobtint un résultat analogue pour un nombre quelconque de variables,valable qui plus est pour d'autres sous-groupes du groupe linéaire, tels que legroupe orthogonal.Cependant, cette démonstration suscita des controverses, parce qu'elle n'était pas constructive (il devait préciser sa méthode et la rendre constructive dans des travaux ultérieurs). Dans sa thèse de 1907, Emmy Noether étendit la méthode de calcul de Gordan aux polynômes homogènes à trois variables; cette approche explicite rendait possible l'étude des relations entre les invariants.

Théorie de Galois

Lathéorie de Galoisétudie lesisomorphismesdescorps de nombresqui permutent les solutions d'une équation algébrique. En particulier, legroupe de Galoisd'un polynôme est l'ensemble des isomorphismes de soncorps de décompositionpréservant le corps de base (donc permutant les racines du polynôme). L'importance de ce groupe vient duthéorème fondamental de la théorie de Galois,montrant que les corps compris entre le corps de base et le corps de décomposition sont en bijection avec lessous-groupesdu groupe de Galois.

En 1918, Emmy Noether publia un article fondamental concernant leproblème de Galois inverse,c'est-à-dire la question de déterminer, étant donné un corps et un groupe, s'il est possible de trouver une extension de ce corps dont le groupe de Galois soit isomorphe au groupe donné. Elle réduisit cette question auproblème de Noether,lequel consiste à déterminer si, étant donné un sous-groupeGdugroupe symétriqueS_nagissant sur le corpsk(x₁,...,x_n),le corps des éléments laissés invariants parGest toujours uneextension transcendante puredu corpsk(elle avait mentionné ce problème dans un article de 1913,en l'attribuant àFischer); elle parvint à démontrer ce résultat pourn= 2,3, ou 4. En 1969,Richard Swanobtint un contre-exempleau problème de Noether, avecn= 47etGungroupe cycliqued'ordre 47. Le problème de Galois inverse reste encore non résolu dans le cas général.

Physique

Noether fut invitée àGöttingenen 1915 parDavid HilbertetFelix Klein,qui voulaient profiter de son expertise en théorie des invariants pour les aider à éclaircir certains aspects mathématiques de larelativité générale,une théorie géométrique de lagravitationdéveloppée principalement parAlbert Einstein.Hilbert avait remarqué que le principe de laconservation de l'énergiesemblait violé par la nouvelle théorie, l'énergie gravitationnelle pouvant elle-même créer une force d'attraction. Noether fournit une explication de ce paradoxe, et développa à cette occasion un outil fondamental de laphysique théoriquecontemporaine, avec lepremier théorème de Noether,qu'elle démontra en 1915, mais ne publia qu'en 1918.Sa solution ne s'appliquait pas qu'à la relativité générale, mais déterminait les quantités conservées pour n'importe quel système de lois physiques possédant une « symétrie ». Par exemple, si le comportement d'un système physique ne dépend pas de son orientation dans l'espace (le groupe de symétrie correspondant étant donc le groupe des rotations), le théorème de Noether montre qu'un nombre correspondant aumoment cinétiquedu système doit être conservé.

À la réception de son travail, Einstein écrivit à Hilbert:« J'ai reçu hier de Mademoiselle Noether un article fort intéressant sur les invariants. J'ai été impressionné par le degré de généralité apporté par cette analyse. La vieille garde à Göttingen devrait prendre des leçons de Mademoiselle Noether; elle semble maîtriser le sujet! ».

Le théorème de Noether est devenu un outil fondamental de la physique théorique, non seulement à cause de l'éclairage qu'il apporte aux lois de conservation, mais aussi comme une méthode de calcul effective.De plus, il facilite l'étude de nouvelles théories: si une telle théorie pos sắc de une symétrie, le théorème garantit l'existence d'un invariant, lequel doit être expérimentalement observable.

Deuxième période (1920 – 1926)

Bien que les résultats obtenus par Emmy Noether durant sa première période aient été impressionnants et se soient révélés d'une grande utilité pratique, sa réputation en tant que mathématicienne repose davantage sur le travail novateur qu'elle accomplit par la suite, comme l'ont fait remarquerHermann WeyletB. L. van der Waerdendans leurs hommages posthumes.

Durant ses deux dernières périodes de production, Emmy Noether ne se contenta pas seulement d'appliquer des idées et des méthodes déjà connues, mais elle proposa de nouvelles définitions qui seraient par la suite universellement utilisées. En particulier, elle créa une théorie complètement nouvelle desidéaux,généralisant un travail antérieur deRichard Dedekind.Les outils qu'elle introduisit à cette occasion, comme lesconditions de chaîne,lui permirent d'aborder sous de nouvelles perspectives les questions de la théorie de l'élimination et de lathéorie des variétés algébriquesqui avaient été étudiées parson père.

Elle est renommée pour sa contribution à la fondation de l'algèbre structuraliste. En effet, si de nombreuses structures étaient déjà introduites avant ses travaux (le concept d'idéal par Dedekind ou encore le concept d'anneau par Fraenkel), elles avaient été introduites en partant des propriétés des domaines auxquelles elles se rattachaient (les nombres algébriques pour le concept d'idéal) et n'avait pas été reliées entre elles (Fraenkel ne reliera pas les anneaux aux idéaux).Non seulement Emmy Noether reliera ces structures entre elles en les détachant des propriétés des systèmes qui avaient permis leurs introductions mais elle adoptera aussi, via les théorèmes d'homomorphisme et d'isomorphismes, un traitement des concepts qui en fait le premier traitement structuraliste au sens où on l'entend aujourd'hui. Ainsi, dans son article de 1927Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpernelle introduira un traitement de l'algèbre en termes d'idéaux, de modules, sous-modules et de relations entre eux (via les morphismes et isomorphismes) contrairement au traitement antérieur qui utilisaient les éléments des modules et leurs opérations. Cette manière d'énoncer des propriétés et de les démontrer explique qu'elle soit vue comme la mère de l'algèbre structuraliste telle que nous la connaissons aujourd'hui.

Conditions de chaînes descendantes et ascendantes

Pendant cette période, Noether devint célèbre pour son utilisation adroite desconditions de chaîneascendante (Teilerkettensatz) ou descendante (Vielfachenkettensatz). Une suite desous-ensemblesA₀,A₁,A₂…deSest ditestrictement croissantesi chacun eststrictement inclusdans le suivant:A₀⊊A₁⊊A₂⊊…; lacondition de chaîne ascendantedemande qu'une telle suite soit toujours finie, si elle satisfait à une condition supplémentaire, telle qu'une certaine propriété devant être vraie pour tous lesA_k.De même, la condition de chaîne descendante demande qu'une suite de la formeA₀⊋A₁⊋A₂⊋… soit toujours finie. Dans un langage plus moderne, cela revient à dire que la relation d'inclusion est unerelation bien fondée.

De nombreux types de structures enalgèbre abstraitepeuvent satisfaire des conditions de chaîne; un objet satisfaisant une condition de chaîne ascendante est souvent appelé «noethérien» en son honneur. Ainsi, unanneau noethérienest unanneauvérifiant une condition de chaîne ascendante sur sesidéaux,unespace noethérienest unespace topologiquedont les ouverts vérifient une condition de chaîne ascendante, etc.

Emmy Noether utilisa ces conditions (qui peuvent sembler assez faibles) pour obtenir de nombreux résultats puissants, voisins de ceux fournis par lelemme de Zorn;ainsi, elle put souvent montrer qu'un objet complexe admettait un ensemble de générateurs plus simples, ou que tout ensemble de sous-objets d'un certain type possédait un élément minimal ou maximal.

Une autre application des conditions de chaîne est la méthode derécurrence noethérienne(connue aussi sous le nom derécurrence bien fondée), permettant souvent de réduire la démonstration d'une propriété de tous les objets d'une collection donnée à celle de cette propriété pour quelques objets particuliers. De même, si par exemple une condition de chaîne descendante est vérifiée, l'ensemble descontre-exempleséventuels à la propriété contient un contre-exemple minimal; il suffit ainsi, pour prouver qu'il n'existe en fait pas de contre-exemple, de montrer que pour tout contre-exemple, il existe un contre-exemple plus petit (cette version de la récurrence noethérienne généralise laméthode de descente infiniedue àPierre de Fermat).

Anneaux commutatifs, idéaux et modules

En 1921, l'article de Noether,Idealtheorie in Ringbereichen(Théorie des idéaux dans les anneaux)posa les fondations de la théorie générale desanneaux commutatifs,en en donnant l'une des premières définitions abstraites.Avant ce travail, la plupart des résultats obtenus en algèbre commutative étaient restreints à des cas particuliers d'anneaux, tels que les anneaux de polynômes ou les anneaux d'entiers algébriques.Noether montra que dans un anneau dont lesidéauxsatisfont à la condition de chaîne ascendante, tout idéal estengendrépar un nombre fini d'éléments de l'anneau; en 1943,Claude Chevalleyproposa d'appeler «anneau noethérien» un anneau satisfaisant cette propriété.

Un résultat essentiel de l'article de 1921 est lethéorème de Lasker-Noether,étendant le théorème de Lasker sur la décomposition des idéaux des anneaux de polynômes à tous les anneaux noethériens. Ce théorème peut être vu comme une généralisation duthéorème fondamental de l'arithmétique,affirmant l'existence et l'unicité de la décomposition des entiers en produit de nombres premiers.

En 1927, Noether obtint, dans un article intituléAbstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern(Structure abstraite de la théorie des idéaux des corps de nombres et de fonctions algébriques), une caractérisation des anneaux dans lesquels les idéaux pos sắc dent une factorisation unique enidéaux premiers:ce sont lesanneaux de Dedekind(qu'elle caractérisa comme étant les anneaux noethériens dedimension de Krull0 ou 1,intégralement closdans leur corps des quotients). Cet article contient également des résultats actuellement appelésthéorèmes d'isomorphisme,et d'autres résultats fondamentaux concernant les modules noethériens etartiniens.

Théorie de l'élimination

Lathéorie de l'éliminationcherche traditionnellement à éliminer une ou plusieurs variables d'un système d'équations polynomiales, généralement en utilisant lerésultant.

Entre 1923 et 1924, Noether appliqua ses méthodes d'étude des idéaux à la théorie de l'élimination, dans une formulation qu'elle attribua à l'un de ses étudiants, Kurt Hentzelt, montrant que des théorèmes fondamentaux concernant la factorisation des polynômes pouvaient être obtenus directement.

Invariants des groupes finis

Les techniques non constructives telles que celles utilisées par Hilbert pour sa solution du problème de la base finie ne permettent pas d'obtenir d'informations quantitatives sur le nombre des invariants sous l'action d'un groupe, et ne s'appliquent de plus pas dans tous les cas. Dans son articlede 1915, Noether avait déjà obtenu une solution à ce problème pour le cas d'un groupe finiGagissant sur unespace vectoriel de dimension finie(sur un corps decaractéristiquenulle), montrant que l'anneau des invariants est engendré par des invariants homogènes dont le degré est inférieur à l'ordredu groupe (ce résultat est appelé laborne de Noether). Cet article donnait deux démonstrations, valables également lorsque la caractéristique du corps étaitpremière avec|G|!, lafactoriellede l'ordre du groupeG.Le nombre de générateurs ne satisfait pas forcément la borne de Noether lorsque la caractéristique du corps divise |G|,mais Noether ne réussit pas à déterminer si la borne était correcte dans le cas intermédiaire où cette caractéristique divise |G|! mais non |G|. Ce problème, connu sous le nom delacune de Noether,resta ouvert durant de nombreuses années, jusqu'à ce qu'il soit résolu indépendamment par Fleischmann en 2000 et Fogarty en 2001, qui montrèrent que la borne reste vraie dans ce cas.

En 1926, Noether étendit le théorème de Hilbert aux représentations d'un groupe fini sur un corps de caractéristique quelconque;le cas que Hilbert n'avait pas traité est celui où cette caractéristique divise l'ordre du groupe. Ce résultat fut par la suite encore étendu parWilliam Haboushà tous lesgroupes réductifs,lors de sa démonstration d'une conjecture de Mumford.Dans cet article, Noether introduisait également lelemme de normalisation,caractérisant lesalgèbres de type finisur un corps.

Contributions en topologie

Déformation continue (homotopie) d'une tasse de café enbeignet(une plaisanterie traditionnelle veut qu'un topologue soit quelqu'un qui ne sait pas faire la différence).

Dans leurs hommages posthumes,Pavel AlexandrovetHermann Weylfirent remarquer que les contributions de Noether à latopologieillustrent sa générosité en matière d'idées, et montrent comment ses intuitions pouvaient transformer des domaines mathématiques entiers.

On attribue à Noetherl'idée fondamentale de l'introduction desgroupes d'homologie,qui devait amener au développement de latopologie algébriqueà partir d'une théorie plus ancienne, latopologie combinatoire.Selon Alexandrov, Noether assista à des conférences données parHeinz Hopfet lui-même durant les étés 1926 et 1927, pendant lesquelles« elle faisait continuellement des remarques, souvent profondes et subtiles ».Il précise que« lorsqu'elle découvrit les constructions de la topologie combinatoire, elle remarqua immédiatement qu'il serait utile d'étudier directement le groupe des complexes algébriques et des cycles d'un polyèdre donné, et le sous-groupe des cycles homologues à zéro; à la place de la définition usuelle desnombres de Betti,elle proposa de définir le groupe de Betti comme le quotient du groupe des cycles par le groupe des cycles nuls. Cette remarque semble à présent évidente, mais, en ces années-là (1925-1928), c'était un point de vue complètement original. ».

Cette suggestion de Noether d'étudier la topologie à l'aide d'outils algébriques fut immédiatement adoptée par Hopf, Alexandrov et d'autres,et devint un sujet de discussions fréquentes parmi les mathématiciens de Göttingen.Noether remarqua que son introduction du groupe de Betti rendait laformule d'Euler-Poincaréfacile à comprendre, et le travail de Hopf sur ces questions« porte l'empreinte de ces remarques d'Emmy Noether ».Cependant, Noether elle-même ne mentionna ses idées topologiques que dans une remarque incidente d'une publication de 1926,où elle les cite comme un exemple d'application de la théorie des groupes.

Troisième période (1927 – 1935)

Nombres hypercomplexes et théorie des représentations

Helmut Hassetravailla avec Noether (et d'autres) pour fonder la théorie desalgèbres centrales simples.

Un important travail sur lesnombres hypercomplexeset sur lesreprésentations de groupesavait été accompli au dix-neuvième siècle et au début du vingtième, mais les résultats obtenus restaient disparates. Emmy Noether unifia ces résultats et construisit la première théorie générale des représentations des groupes et des algèbres.Elle rassembla la théorie de la structure desalgèbres associativeset celle de la représentation des groupes en une seule théorie arithmétique desmoduleset desidéauxd'anneaux satisfaisant à des conditions de chaîne ascendante. Ce travail de Noether, à lui seul, s'avéra d'une importance fondamentale pour le développement de l'algèbre moderne.

Algèbre non commutative

Noether est également responsable de nombreux autres progrès en algèbre. AvecEmil Artin,Richard BraueretHelmut Hasse,elle posa les bases de la théorie desalgèbres centrales simples.

Un autre article fondateur de Noether, Hasse et Brauer concerne le cas particulier des algèbres centrales « à division »,c'est-à-dire desextensions de corpsnon nécessairement commutatives.Ils démontrent deux théorèmes importants:un théorème local-globalénonçant que si une algèbre centrale simplesur uncorps de nombresestdéployéelocalementpartout, alors elle est déployée globalement; ils en déduisent leurHauptsatz(« théorème principal »): « toute algèbre à division centrale sur un corps de nombres estcyclique». Ces théorèmes permettent une classification complète de ces algèbres sur un corps de nombres donné.

Un article ultérieur de Noether montra (comme cas particulier d'un théorème plus général) que tous les sous-corps maximaux d'une algèbre à division sont descorps de déploiement.Cet article contient également lethéorème de Skolem-Noether,affirmant que deux plongements d'une extension d'un corpskdans une algèbre centrale simple de dimension finie surksont conjugués. Enfin, unthéorème de Brauer et Noetherdonne une caractérisation des corps de déploiement des algèbres centrales à division.

Hommages

Le campus Emmy Noether de l'université de Siegenen Allemagne.

Buste d'Emmy Noether à laRuhmeshalle de Munich.

Les idées de Noether sont toujours pertinentes pour le développement de la physique théorique et des mathématiques. Elle est constamment classée parmi les plus grands mathématiciens duXX^esiècle. Dans son hommage posthume, son confrère algébriste van der Waerden écrit que son originalité mathématique était« absolument au-delà de toute comparaison »et Hermann Weyl considère que Noether« a changé la face de l'algèbre par son travail ».Pendant sa vie et jusqu'à nos jours, Noether a été considérée comme la plus grande mathématicienne de l'histoire par les autres mathématicienscommePavel Alexandrov,Hermann WeyletJean Dieudonné.

Le2 janvier 1935,quelques mois avant la mort de Noether, le mathématicienNorbert Wienerécritque

« Mademoiselle Noether est [...] la plus grande mathématicienne qui a jamais vécu, et la plus grande femme scientifique vivante, tous domaines confondus, et une savante du même niveau, au moins, queMadame Curie.»

Dans une lettre adressée auNew York Times,Einstein écrit, le1^ermai 1935:

« Selon le jugement de la plupart des mathématiciens compétents en vie, Fräulein Noether était le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures jusqu'à aujourd'hui. Dans le domaine de l'algèbre, qui a occupé les mathématiciens les plus doués depuis des siècles, elle a découvert des méthodes qui se sont avérées d'une importance énorme pour les recherches de l'actuelle nouvelle génération de mathématiciens. »

Dans la section de l'Exposition universellede 1962 consacrée aux mathématiciens modernes, Noether est la seule femme représentée parmi les mathématiciens les plus notables du monde moderne.

De nombreux hommages ont été rendus à Noether.

• L'Association for Women in Mathematicstient chaque année uneconférence Noetherpour distinguer les femmes en mathématiques. Dans sa brochure présentant la conférence de 2005, l'association qualifie Noether de« l'un des grands mathématiciens de son temps, quelqu'un qui a travaillé et s'est battue pour ce qu'elle aimait et ce en quoi elle croyait. Sa vie et son travail restent une formidable inspiration. ».
• L'association allemandeDeutsche Mathematiker-Vereinigungdécerne uneConférence Noether.
• L'Union mathématique internationaledécerne laConférence Emmy-Noether (ICM)(de)à l'occasion duCongrès international des mathématiciens(ICM).
• En accord avec son dévouement à ses étudiants, l'université de Siegenabrite ses départements de physique et de mathématiques dans sonCampus Emmy Noether.
• La Fondation allemande pour la Recherche (Deutsche Forschungsgemeinschaft) met en œuvre leProgramme Emmy Noether,qui accorde des bourses aux jeunes chercheurs post-doctorants pour la poursuite de leurs recherches et activité d'enseignement.
• Son nom a été donné à des rues de plusieurs villes, dontSaint-Ouen,près de Paris,Munich,Hanovre,Erlangen...
• Le lycée d'Erlangen a été rebaptiséEmmy Noether,ainsi qu'un autre lycée à Berlin.
• D'avril 2023 à avril 2024, l'Espace pour la vie(Montréal), avec l'artisteMissMe,rend hommage à Emmy Noether et 6 autres femmes scientifiques,Katherine Johnson,Mary Jackson,Donna Strickland,Vera Rubin,Jocelyn BelletLise Meitner,« restées inconnues trop longtemps » avec l'expositionnobELLESdans lePlanétarium.

Également:

• lecratère Nötherde laface cachée de la Lune;
• l'astéroïde(7001) Noether

ont été nommés en son honneur.

Liste de ses étudiants en doctorat

Date	Nom de l'étudiant	Titre de la thèse	Université	Publication
16 décembre 1911	Hans Falckenberg	Verzweigungen von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen	Erlangen	Leipzig 1912
4 mars 1916	Fritz Seidelmann	Die Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei beliebigem Rationalitätsbereich	Erlangen	Erlangen 1916
25 février 1925	Grete Hermann	Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale unter Benutzung nachgelassener Sätze von Kurt Hentzelt	Göttingen	Berlin 1926
14 juillet 1926	Heinrich Grell	Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe	Göttingen	Berlin 1927
1927	Wilhelm Doräte	Über einem verallgemeinerten Gruppenbegriff	Göttingen	Berlin 1927
Mort avant la soutenance	Rudolf Hölzer	Zur Theorie der primären Ringe	Göttingen	Berlin 1927
12 juin 1929	Werner Weber	Idealtheoretische Deutung der Darstellbarkeit beliebiger natürlicher Zahlen durch quadratische Formen	Göttingen	Berlin 1930
26 juin 1929	Jacob Levitzki	Über vollständig reduzible Ringe und Unterringe	Göttingen	Berlin 1931
18 juin 1930	Max Deuring	Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen	Göttingen	Berlin 1932
29 juillet 1931	Hans Fitting	Zur Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen und ihr Analogon bei nichtkommutativen Gruppen	Göttingen	Berlin 1933
27 juillet 1933	Ernst Witt	Riemann-Rochscher Satz und Zeta-Funktion im Hyperkomplexen	Göttingen	Berlin 1934
6 décembre 1933	Chiungtze Tsen	Algebren über Funktionenkörpern	Göttingen	Göttingen 1934
1934	Otto Schilling	Über gewisse Beziehungen zwischen der Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme und algebraischer Zahlkörper	Marburg	Braunschweig 1935
1935	Ruth Stauffer	The construction of a normal basis in a separable extension field	Bryn Mawr	Baltimore 1936
1935	Werner Vorbeck	Nichtgaloissche Zerfällungskörper einfacher Systeme	Göttingen
1936	Wolfgang Wichmann	Anwendungen der p-adischen Theorie im Nichtkommutativen Algebren	Göttingen	Monatshefte für Mathematik und Physik(1936)44,203-224.

Publications

Choix de travaux d'Emmy Noether (en allemand)

• «Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form»,J. reine angew. Math.,vol.134,‎1908,p.23-90 et deux tableaux annexes(lire en ligne)
  Construction du système de formes de la forme ternaire biquadratique,thèse de doctorat.
• «Rationale Funkionenkörper (Corps de fonctions rationnelles)»,Jber.DMV,vol.22,‎1913,p.316-319(lire en ligne).
• «Der Endlichkeitssatz der Invarianten endlicher Gruppen (Le théorème de finitude des invariants des groupes finis)»,Math. Ann.,vol.77,‎1915,p.89-92(DOI10.1007/BF01456821,lire en ligne)
• «Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe (Équations mettant en jeu un groupe fixé)»,Math. Ann.,vol.78,‎1918,p.221-229(DOI10.1007/BF01457099,lire en ligne).
• «Invariante Variationsprobleme (Problèmes de variations d'invariants)»,Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys.,‎ 1918b,p.235-257,[texte intégralsurWikisource].Traduit en anglais par M. A. Tavel (1918),«physics/0503066», texte en accès libre, surarXiv.Traduction française dansKosmann-Schwarzbach et Meersseman 2004,p.1-24
• «Idealtheorie in Ringbereichen (La théorie des idéaux dans les anneaux)»,Math. Ann.,vol.83,n^o1,‎1921,p.24-66(ISSN0025-5831,lire en ligne[PDF]).
• «Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten (Sur la théorie des idéaux de polynômes et des résultants)»,Math. Ann.,vol.88,‎1923,p.53-79(DOI10.1007/BF01448441,lire en ligne).
• «Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie (Théorie de l'élimination et théorie générale des idéaux)»,Math. Ann.,vol.90,‎ 1923b,p.229-261(DOI10.1007/BF01455443,lire en ligne).
• «Eliminationstheorie und Idealtheorie (Théorie de l'élimination et théorie des idéaux)»,Jber. DMV,vol.33,‎1924,p.116-120(lire en ligne).
• «Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristikp(Démonstration de la finitude des invariants des groupes linéaires finis de caractéristique p)»,Nachr. Ges. Wiss. Göttingen,‎1926,p.28-35(lire en ligne).
• «Ableitung der Elementarteilertheorie aus der Gruppentheorie (Dérivation de la théorie des diviseurs élémentaires à partir de la théorie des groupes)»,Jber. DMV,vol.34 (Abt. 2),‎ 1926b,p.104(lire en ligne).
• «Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Structure abstraire de la théorie des idéaux des corps de nombres algébriques)»,Math. Ann.,vol.96,n^o1,‎1927,p.26-61(DOI10.1007/BF01209152,lire en ligne[PDF]).
• (avecRichard Brauer),«Über minimale Zerfällungskörper irreduzibler Darstellungen (Sur les corps de rupture minimaux des représentations irréductibles)»,Sitz. Ber. D. Preuss. Akad. D. Wiss.,‎1927,p.221-228.
• «Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie (Quantités hypercomplexes et théorie des représentations)»,Math. Ann.,vol.30,‎1929,p.641-692(DOI10.1007/BF01187794).
• (avec Richard Brauer etHelmut Hasse),«Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren (Démonstration d'un important théorème de la théorie des algèbres)»,J. reine angew. Math.,vol.167,‎1932,p.399-404(lire en ligne).
• «Nichtkommutative Algebra (Algèbre non commutative)»,Mathematische Zeitschrift,vol.37,‎1933,p.514-541(DOI10.1007/BF01474591,lire en ligne)
• (de)Gesammelte Abhandlungen,Berlin-New York,Springer-Verlag,1983,viii, 777(ISBN3-540-11504-8)lienMath Reviews
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Notes et références

• (en)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé«Emmy Noether»(voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Science sous le Troisième Reich
• Liste de femmes scientifiques

Bibliographie

:document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

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Liens externes

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