Fonction affine

Enanalyse,unefonction affineest unefonctionobtenue paradditionetmultiplicationde la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme:

Fonction affine

Courbes représentativesdes fonctions$x\mapsto 0,5x+2$et$x\mapsto -x+5$.

Notation	$ax+b$
Réciproque	${\frac {1}{a}}x-{\frac {b}{a}}$si$a\neq 0$
Dérivée	$a$
Primitives	${\frac {a}{2}}x^{2}+bx+C$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	$\mathbb {R}$
Ensemble image	$\mathbb {R}$si$a\neq 0$

Valeurs particulières

Valeur en zéro	$b$
Limite en +∞	$+\infty$si$a>0$ $-\infty$si$a<0$
Limite en −∞	$-\infty$si$a>0$ $+\infty$si$a<0$

Particularités

Zéros	$-{\frac {b}{a}}$
Points fixes	${\frac {b}{1-a}}$si$a\neq 1$

$f(x)=ax+b$

où les paramètres$a$et$b$ne dépendent pas de$x$.

Lorsque la fonction est définie sur l'ensemble des réels,elle estreprésentéepar unedroite,dont$a$est lapenteet$b$l'ordonnée à l'origine.

Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors unefonction linéaire.

Les fonctionsconstantesetlinéairessont des exemples de fonctions affines. Les fonctions affines sont elles-mêmes des exemples defonctions polynomialesde degré inférieur ou égal à 1.

La notion de fonction affine est généralisée engéométriepar celle d'application affine.

Remarque: dans certaines branches des mathématiques comme lastatistique,une telle fonction est appelée, à l'image du terme anglophonelinear functionet du terme allemandLineare Funktion,unefonction linéaireen référence au fait que son graphe est unelignedroite.

Propriété caractéristique

Une fonction affine$f$est caractérisée par le fait que sontaux d'accroissementest constant. C'est-à-dire qu'il y a proportionnalité entre les accroissement de$x$et les accroissement de$f(x)$.En effet, si$x_{1}$et$x_{2}$sont deux réels, l'accroissement$f(x_{1})-f(x_{2})=a(x_{1}-x_{2})$estproportionnelà$x_{1}-x_{2}$.Le coefficient de proportionnalité est$a$.

Une fonction$f$est affinesi et seulement siil existe$a$tel que pour tout réels$x_{1},x_{2}$,$f(x_{1})-f(x_{2})=a(x_{1}-x_{2})$.

Démonstration

Si pour tout réels$x_{1},x_{2}$,$f(x_{1})-f(x_{2})=a(x_{1}-x_{2})$.Alors en particulier pour$x_{2}=0$:

$f(x_{1})-f(0)=ax_{1}$

et donc$f(x)=ax+f(0)$,$f$est affine.

Réciproquement, si$f$est affine:

$f(x_{2})-f(x_{1})=ax_{2}+b-ax_{1}-b=ax_{2}-ax_{1}=a(x_{2}-x_{1}).$

Cette propriété donne alors un outil pour déterminer lecoefficient$a$:

$a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$si$x_{1}\neq x_{2}$.

On en déduit:$f'(x)=a$.Ladérivéed'une fonction affine est une fonction constante dont la valeur est le coefficient multiplicateur — ou coefficient de proportionnalité — de la fonction affine.

L'ordonnée à l'origine$b$peut se calculer de la manière suivante:

$b={\frac {x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})}{x_{2}-x_{1}}}$si$x_{1}\neq x_{2}$.

Démonstration

$x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})=x_{2}(ax_{1}+b)-x_{1}(ax_{2}+b)=ax_{2}x_{1}+bx_{2}-ax_{2}x_{1}-bx_{1}=b(x_{2}-x_{1}).$

Si l'on connaît l'expression de$f$,alors on a que$b=f(0)$.

Résolution d'équations et d'inéquations

Supposons$a,b$réels et$a$non nul.

• L'unique solution de l'équation$ax+b=0$est le réel$-{\frac {b}{a}}$.
• L'ensemble des solutions de l'inéquation$ax+b\geq 0$est l'intervalle réel$\left[-{\frac {b}{a}},+\infty \right[$si$a>0$,$\left]-\infty,-{\frac {b}{a}}\right]$si$a<0$.

Exemples

• Exemple de l'abonnement téléphonique.

Le prix de l'abonnement mensuel est$A$et le prix d'une communication à la minute est de 0,10€/min.La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre$x$de minutes de communication dans le mois:

$f\,\colon x\mapsto A+0{,}1~x$.

• Longueur d'un ressort.

Si au repos le ressort a une longueur$L_{0}$et si sa raideur est$k$,alors la longueur duressortest une fonction affine de la force appliquée (loi de Hooke).

$L\,\colon f\mapsto L_{0}+{\frac {f}{k}}$.

Dans ce cas, le coefficient directeur est$1/k$et l'ordonnée à l'origine$L_{0}$.

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine définie sur l'ensemble des réelsest unedroitedont l'équation est

$y=ax+b$.

La droite coupe l'axe des ordonnées pour$y=b$(d'où le nom d'ordonnée à l'origine).Lorsque$b$est nul, la droite passe par l'origine du repère cartésien.

La droite a pour« pente » ou « coefficient directeur »le réel$a$.Si$a>0$,la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si$a<0$,elle est décroissante (la droite « descend »). Par un processus analogue à celui vu pour lafonction linéaire,un déplacement d'un carreau en abscisse induit un déplacement de$a$carreaux en ordonnée, si le repère est orthonormé.

Détermination des coefficients

Si$M(x_{1},y_{1})$et$N(x_{2},y_{2})$sont deux points distincts appartenant à la droite d'équation$y=ax+b$,alors:

$a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$,

$b=y_{1}-ax_{1}=y_{2}-ax_{2}={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}$.

Si$a=0$alors la fonction est constante et si$b=0$alors la fonction est linéaire.

Voir aussi

Articles connexes

• Application affine(d'unespace affinedans un autre)
• Fonction affine par morceaux

Bibliographie

• Jean Wacksmann,Mathématiques - Seconde: Pour aller plus loin en démontrant et en s’entraînant,Ellipses,8 janvier 2019,576p.(ISBN9782340028708),chap.6.1 (« Fonction affine »)