Produit de convolution

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En pratique:Quelles sources sont attendues?Comment ajouter mes sources?

Enmathématiques,leproduit de convolutionest unopérateur bilinéaireet unproduit commutatif,généralement noté « $*$ », qui, à deuxfonctions $f$ et $g$ sur un même domaine infini, fait correspondre une autre fonction « $f * g$ » sur ce domaine, qui en tout point de celui-ci est égale à l'intégralesur l'entièreté du domaine (ou lasommesi celui-ci estdiscret) d'une des deux fonctions autour de ce point, pondérée par l'autre fonction autour de l'origine — les deux fonctions étant parcourues en sens contraire l'une de l'autre (nécessaire pour garantir la commutativité).

Convolution d'unefonction portepar elle-même.

Le produit de convolution généralise l'idée demoyenne glissanteet est la représentation mathématique de la notion defiltre linéaire.Il s'applique aussi bien à des données temporelles (entraitement du signalpar exemple) qu'à des données spatiales (entraitement d'image). Enstatistique,on utilise une formule très voisine pour définir lacorrélation croisée.

Définition du produit de convolution

Le produit de convolution de deux fonctionsréellesoucomplexes $f$ et $g$ ,est une autre fonction, qui se note généralement $f\ast g$ et qui est définie par:

(f\ast g)(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x-t)g(t)\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)g(x-t)\,\mathrm {d} t

Parfois l'opération $*$ s'appelleloi de convolutionet $f\ast g$ s'appelle laconvoluée^[1].

Pour dessuites(en remplaçant lamesure de Lebesguepar lamesure de comptage):

(f\ast g)(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{f(n-m)g(m)}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{f(m)g(n-m)}

.

Lorsqu'il s'agit de séries, on parle deproduit de Cauchy(mais dans ce qui suit, nous n'utiliserons que la version « continue »).

On peut considérer cette formule comme une généralisation de l'idée demoyenne mobile.

Pour que cette définition ait un sens, il faut que $f$ et $g$ satisfassent certaines hypothèses; par exemple, si ces deux fonctions sontintégrables au sens de Lebesgue(c'est-à-dire qu'elles sontmesurableset que l'intégrale de leur module est finie), leur produit de convolution est défini pourpresque toutxet est lui-même intégrable. Plus généralement, si $f \in L p$ et $g \in L q$ et ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1+{\frac {1}{r}}}$ avec $p,q,r\in [1,+\infty ]$ ,alors $f * g \in L r$ :cf. «Inégalité de Young pour la convolution».

Propriétés du produit de convolution

Propriétés algébriques

Le produit de convolution estbilinéaire,associatifetcommutatif:

f\ast (g+\lambda h)=(f\ast g)+\lambda (f\ast h)

(pour toutscalaire

λ

);

(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)

;

f\ast g=g\ast f

.

Démonstration

Le produit de convolution estdistributifsur l'addition:

${\begin{aligned}(f\ast (g+h))(x)&{\stackrel {\mathrm {def.} }{=}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x-t)(g(t)+h(t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }[f(x-t)g(t)+f(x-t)h(t)]\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x-t)g(t)\,\mathrm {d} t+\int _{-\infty }^{+\infty }f(x-t)h(t)\,\mathrm {d} t\\&{\stackrel {\mathrm {def.} }{=}}(f\ast g)(x)+(f\ast h)(x).\end{aligned}}$

Le produit de convolution est associatif lorsqu'on considère desfonctions intégrables(pour lesquelles s'applique lethéorème de Fubini): ${\begin{aligned}((f\ast g)\ast h)(y)&{\stackrel {\mathrm {def.} }{=}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left(\int _{-\infty }^{+\infty }f((y-x)-t)g(t)\,\mathrm {d} t\right)h(x)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }f(y-T)g(T-x)h(x)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} T\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }f(y-T)\left(\int _{-\infty }^{+\infty }g(T-x)h(x)\,\mathrm {d} x\right)\,\mathrm {d} T\\&{\stackrel {\mathrm {def.} }{=}}(f\ast (g\ast h))(y)\end{aligned}}$ où $T=x+t$ ,soit $t=T-x$ ,et $\mathrm {d} t=\mathrm {d} T$ .
Le produit de convolution est commutatif. On le voit aisément en opérant lechangement de variablesuivant: ${\begin{aligned}(f\ast g)(x)&{\stackrel {\mathrm {def.} }{=}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x-t)g(t)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{+\infty }^{-\infty }f(T)g(x-T)\,\mathrm {d} (-T)\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }f(T)g(x-T)\,\mathrm {d} T\;\\&{\stackrel {\mathrm {def.} }{=}}(g\ast f)(x)\end{aligned}}$ où $T = x - t$ ,soit $t = x - T$ ,et $d t =d(- T)$ .

Pseudo-anneau

L'ensemble des fonctions intégrables muni de l'addition et du produit de convolution forme donc unpseudo-anneau,c'est-à-dire unanneaunon unitaire.En effet, si cet anneau était unitaire, l'élément unité $δ$ devrait vérifier (pour tout $x$ et toute fonction $f$ ):

f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\delta (x-t)\,\mathrm {d} t

.

On vérifie que ce n'est possible que si $δ$ est ladistribution de Dirac,qui n'est pas une fonction.

Le cadre naturel pour une bonne généralisation du produit de convolution est celui de lathéorie des distributions,mais il n'est pas abordé dans cet article. On trouvera dansl'article consacré aux distributionsune définition précise du produit de convolution dans ce cas, ainsi qu'une étude de ses principales propriétés.

Compatibilité avec les translations

Le produit de convolution est compatible avec les translations temporelles. Si l'on note $τ h$ la translation sur les fonctions définie par

(\tau _{h}f)(x)=f(x-h)

,

alors

(\tau _{h}f)\ast g=\tau _{h}(f\ast g).

Dans le cadre plus large de laconvolution des mesures,

\tau _{h}f=\delta _{h}\ast f

,

où $δ h$ désigne lamasse de Dirac enh,et la compatibilité avec les translations n'est qu'une conséquence immédiate de l'associativité du produit de convolution des mesures:

(\tau _{h}f)\ast g=(\delta _{h}\ast f)\ast g=\delta _{h}\ast (f\ast g)=\tau _{h}(f\ast g).

Cette propriété doit par ailleurs être rapprochée desapplications des produits de convolution au filtrage.

Parité

La convolution suit larègle des signespour laparité des fonctions:

f * g

est paire (resp. impaire) si

f

et

g

sont de même parité (resp. de parités contraires).

Démonstration

Notons $I$ l'involutiondéfinie par $(If)(x)=f(-x)$ et vérifions que $I(f\ast g)=(If)\ast (Ig)$ .

{\begin{aligned}(I(f\ast g))(x)&=(f\ast g)(-x)\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }f(-x-t)g(t)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }f(-x+u)g(-u)\,\mathrm {d} u\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }(If)(x-u)(Ig)(u)\,\mathrm {d} u\\&=((If)\ast Ig)(x).\end{aligned}}

Cette propriété combinée avec l'invariance sous translation permet de prouver que le produit de convolution par une fonction paire préserve les symétries axiales des fonctions:

Si

g

est paire et si

f (x - h) = f (- x - h)

alors

(f * g)(x - h) = (f * g)(- x - h)

.

Démonstration

La première équation est équivalente à $\tau _{h}(f)(x)=\tau _{h}(f)(-x)$ .On en déduit

((\tau _{h}f)\ast g)(x)=((\tau _{h}f)\ast g)(-x)=\tau _{h}(f\ast g)(x)=\tau _{h}(f\ast g)(-x)

,

qui est le résultat annoncé.

Intégration d'un produit de convolution

On a (en appliquant lethéorème de Fubini) la formule: $\int _{-\infty }^{+\infty }(f\ast g)(t)\,\mathrm {d} t=\left(\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,\mathrm {d} t\right)\left(\int _{-\infty }^{+\infty }g(t)\,\mathrm {d} t\right).$

Dérivation

Dans le cas d'une seule variable, si $f$ (par exemple) est de classe $C 1$ et si $f$ , $f '$ et $g$ appartiennent à $L 1$ alors

(f*g)'=f'*g

.

Plus généralement dans les cas defonctions de plusieurs variableson a

{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f*g)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}*g

.

Produit de convolution et transformée de Fourier

Latransformée de Fourierd'un produit de convolution s'obtient par multiplication des transformées de Fourier des fonctions:

si $f$ et $g$ sont intégrables alors ${\mathcal {F}}(f\ast g)={\mathcal {F}}(f){\mathcal {F}}(g)~;$
si $f$ est intégrable et si $g$ est decarré intégrable,on a aussi

${\mathcal {F}}(f\ast g)={\mathcal {F}}(f){\mathcal {F}}(g){\text{ donc }}f\ast g={\mathcal {F}}^{-1}\left({\mathcal {F}}(f){\mathcal {F}}(g)\right)~;$

si $f$ et $g$ sont de carré intégrable alors $f\ast g={\mathcal {F}}^{-1}\left({\mathcal {F}}(f){\mathcal {F}}(g)\right)$

où ${\mathcal {F}}$ désigne la transformation de Fourier et ${\mathcal {F}}^{-1}$ la transformation de Fourier inverse (« théorème de convolution »).

Ces formules se restreignent à l'espace de Schwartz,puis s'étendent partiellement à latransformation de Fourier pour les distributions tempérées,appliquée par exemple à laconvoluée d'une distribution tempérée par une distribution à support compact.Plus généralement, siSetTsont deuxdistributions tempéréesdont l'une est unconvoleur,alors leurs transformées de Fourier sont des distributions tempérées dont l'une est unmultiplieur,et elles vérifient: ${\mathcal {F}}(S\ast T)={\mathcal {F}}(S){\mathcal {F}}(T){\text{ donc }}S\ast T={\mathcal {F}}^{-1}\left({\mathcal {F}}(S){\mathcal {F}}(T)\right).$

Dans ce cadre, ladistribution de Dirac(convoleurneutre) et lafonction constante $1$ (multiplieur neutre) sont deux distributions tempérées (paires) transformées de Fourier l'une de l'autre.

L'intérêt principal du calcul du produit de convolution par transformées de Fourier est que ces opérations sont moins coûteuses en temps pour un ordinateur que le calcul direct de l'intégrale.

Utilisation du produit de convolution

Le produit de convolution est utilisé dans le traitement du signal, lorsque l'on utilise des filtres (passe-bas,passe-haut,passe-bande). Si l'on a un signal entrant $e (t)$ et un élément filtrant ayant unefonction de transfert $h (t)$ alors le signal de sortie $s (t)$ sera la convolution de ces deux fonctions: $s=e\ast h$ (produit de convolution) et $S (f)= E (f) H (f)$ (produit simple de deux fonctions)où $E (f)$ , $S (f)$ et $H (f)$ sont lestransformées de Fourierdes fonctions du temps $e (t)$ , $s (t)$ et $h (t)$ .
En audio numérique, et particulièrement dans lemixagemusical ou audiovisuel, des logiciels deréverbération à convolutionexistent. Ils effectuent, dans ledomaine fréquentiel,un produit de convolution entre le signal audio entrant et une réponse impulsionnelle sélectionnée par l'utilisateur. Ces logiciels disposent d'une banque de réponses impulsionnelles correspondant à divers environnements dont on souhaite reproduire la réverbération sonore (pièces, grottes, églises,...), réponses obtenues en enregistrant la réverbération du lieu à un signal source donné.
Encristallographie,le théorème de convolution est utilisé dans les méthodes directes pour déterminer laphasedesfacteurs de structurelors de ladétermination d'une structure cristalline.
En probabilité, ladensité de probabilitéde la somme de deuxvariables aléatoires réelles indépendantes(à densité) est leproduit de convolution des densitésde probabilité de ces deux variables indépendantes, comme on le voit à l'aide d'unchangement de variables^[2].
Une autre utilisation des produits de convolution se situe dans le domaine de la mécanique quantique, où l'on réalise des produits de convolution à partir des fonctions d'ondebra et ket.
De manière générale, on peut écrire leséquations différentielles linéairescorrespondant à de nombreux problèmes physiques sous la forme du produit de convolution d'un opérateur par une fonction décrivant le système. On peut alors résoudre de manière générique le problème en déterminant l'inverse de convolution de l'opérateur (appeléfonction de Green).Joseph Fouriera été à l'origine de cette méthode lorsqu'il a cherché à résoudre l'équation de la chaleur.Sa formulation moderne a dû attendre l'arrivée de lathéorie des distributionsintroduite parLaurent Schwartz.
Le produit de convolution se généralise à de nombreuses algèbres d'un groupe, par exemple auxalgèbres d'un groupe fini.Si de plus le groupe est abélien, alors la théorie de l'analyse harmonique sur un groupe abélien finipermet d'établir tous les résultats classiques du produit de convolution.
Enapprentissage profond,des opérateurs de convolution constituent les banques defiltresdesréseaux neuronaux convolutifspour lavision par ordinateurou letraitement automatique du langage naturel.

Produit de convolution de mesures

Convolution de mesures sur la droite réelle

Par extension, on peut définir le produit de convolution de deuxmesuressur $(\mathbb {R},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )),$ avec l'interprétation probabiliste suivante: lorsque leslois de probabilité $μ$ et $ν$ de deuxvariables aléatoires réellesindépendantes n'ont pas toutes les deux desdensités par rapport à la mesure de Lebesgue,la loi de leur somme est leproduit de convolutionde $μ$ par $ν$ ,noté $μ * ν$ et défini, pour toute partieborélienne $A$ de $\mathbb {R},$ par

\mu \ast \nu (A)=\int _{\mathbb {R} ^{2}}\ 1_{A}(x+y)\,\mu (\mathrm {d} x)\,\nu (\mathrm {d} y).

L'intégrale d'une fonctionθpar rapport à la mesure $μ * ν$ est donnée par

\int _{\mathbb {R} }\ \theta (s)\,(\mu \ast \nu )(\mathrm {d} s)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{2}}\ \theta (x+y)\,\mu (\mathrm {d} x)\,\nu (\mathrm {d} y).

Le produit de convolution $μ * ν$ est lamesure imagepar la fonctionφ,définie sur $\mathbb {R} ^{2}$ par $φ (x, y) = x + y$ ,de lamesure produit $μ \otimes ν$ .En particulier, si $μ$ et $ν$ ont toutes les deux des densités, respectivement $f$ et $g$ ,par rapport à la mesure de Lebesgue, alors $μ * ν$ a aussi une densité par rapport à la mesure de Lebesgue, et une de ses densités est $f * g$ .

Convolution de mesures sur ungroupe commutatif

Cette définition du produit de convolution peut être étendue à ungroupe topologiquecommutatif $(G,\oplus)$ muni de satribu borélienne,de manière immédiate: pour toute partieborélienne $A$ de $G$ ,

\mu \ast \nu (A)=\int _{G^{2}}\ 1_{A}(x\oplus y)\,\mu (\mathrm {d} x)\,\nu (\mathrm {d} y).

L'intégrale d'une fonctionθpar rapport à la mesure $μ * ν$ est donnée par

\int _{G}\ \theta (s)\,(\mu \ast \nu )(\mathrm {d} s)\ =\ \int _{G^{2}}\ \theta (x\oplus y)\,\mu (\mathrm {d} x)\,\nu (\mathrm {d} y).

La notion demesure de Haardu groupe $G$ s'écrit alors en termes de produit de convolution: $μ$ est une mesure de Haar de $G$ si et seulement si, pour tout élément $g$ de $G$ ,

\delta _{g}\ast \mu =\mu.

Si le groupe n'est pas commutatif, on peut quand même définir un produit de convolution en précisant convolution à gauche ou à droite.

Plus généralement, on peut définir un produit de convolution pour uneaction de groupe.Soit $G$ un groupe mesurable agissant sur unespace mesurableK,d'action notée. et soient $μ$ une mesure sur $G$ et $ν$ une mesure surK.On définit le produit de convolution par la formule

\mu *\nu (A)=\int _{K}\int _{G}{\mathsf {1}}_{A}(g.x)\,\mu (\mathrm {d} g)\,\nu (\mathrm {d} x)

oùAest une partie mesurable deK.

C'est une mesure surK.SiK=Get si l'action est la multiplication (ou la multiplication à gauche ou à droite si le groupe n'est pas commutatif), alors on retrouve le produit de convolution sur les groupes décrit plus haut.

Approche vulgarisée

Convolution avec un dirac

La manière la plus simple de représenter le produit de convolution consiste à considérer lafonction δ de Dirac $δ a (x)$ ;cette « fonction » vaut 0 six≠aet son intégrale vaut 1. Ceci peut paraître contre-intuitif, mais on peut l'imaginer comme lalimite d'une suitede fonctions, des courbes en cloche ou des rectangles ayant toutes la même surface 1, mais de plus en plus fines (donc de plus en plus hautes); lorsque la largeur des courbes tend vers 0, sa hauteur tend vers +∞, mais la surface reste égale à 1. Pour des raisons pratiques, on représente souvent le dirac comme un bâton placé en $a$ et de hauteur 1.

Le produit de convolution par un dirac $δ a$ correspond à une translation de la fonction initiale d'une valeur de $a$

f\ast \delta _{a}(x)=f(x-a)

Produit de convolution d'une fonction par le dirac en a

En particulier pour a = 0, on voit que δ₀laisse invariante la fonction $f$ : $f\ast \delta _{0}(x)=f(x-0)$ .Ainsi δ₀est l'élément neutre du produit de convolution

Convolution avec une somme pondérée de deux diracs

Si l'on considère maintenant le produit de convolution par unesomme pondéréede deux diracs ( $α δ a + β δ b$ ), on obtient la superposition de deux courbes translatées.

Produit de convolution d'une fonction par une somme pondérée de deux diracs

Convolution avec une fonction porte

Considérons maintenant unefonction porteP_a,b;c'est une fonction qui vaut 1/(b-a) entreaetb,et 0 ailleurs (son intégrale vaut 1). Cette fonction peut être vue comme une succession de diracs. La convolution de $f$ parP_a,bva donc s'obtenir en faisant glisser $f$ sur l'intervalle [a;b]. On obtient un « élargissement » de $f$ .

Produit de convolution d'une fonction par une fonction porte

Si l'on considère maintenant une fonction quelconque $g$ ,on peut voir $g$ comme une succession de diracs pondérés par la valeur de $g$ au point considéré. Le produit de convolution de $f$ par $g$ s'obtient donc en faisant glisser la fonction $f$ et en la dilatant selon la valeur de $g$ .

Produit de convolution d'une fonction par une fonction quelconque

Le produit de convolution et le filtrage

Le produit de convolution est lié à la notion de filtrage sous deux conditions, à savoir lalinéaritéet l'indépendance du filtre vis-à-vis du temps (système invariant). À partir de ces deux conditions, l'opérateur de convolution peut être construit. La convolution correspond à la réponse du filtre à une entrée donnée (notée $e (t)$ ). Le filtre est entièrement caractérisé par saréponse impulsionnelle $h (t)$ .Mise en équation,la réponse du filtre est $s (t) = {h * e}(t)$ .

La construction de l'opérateur de convolution s'élabore de la manière suivante. Tout d'abord, on s'intéresse aux deux conditions imposées sur le filtre. On note $f (e)$ le filtrage réalisé par le filtre sur l'entréee.La linéarité du filtre implique que:

f(\lambda e)=\lambda f(e)

f(e_{1}+e_{2})=f(e_{1})+f(e_{2})

On peut noter que la réponse du filtre à un signal nul est nulle. L'indépendance du temps se résume par:

f(e^{d})=(f(e))^{d}

où $e d$ est le signal $e$ retardé de la quantité $d$ .

À partir de là, on peut construire la réponse du filtre linéaire et indépendant du temps à l'entrée $e (t)$ .En effet, comme le filtre est linéaire, on peut décomposer le signal $e (t)$ en parties indépendantes, à l'aide d'un ensemble de signaux $e i$ avec dessupportsdisjoints compacts de telle sorte que $e(t)=\Sigma _{i}e_{i}(t)$ .On injecte chaque partie du signal dans le filtre puis l'on somme les différentes réponses. Ainsi le filtrage donnera: $f(e)=\Sigma _{i}f(e_{i})$ .Cette décomposition temporelle de $e (t)$ peut s'effectuer de manière récursive sur les signaux $e i (τ)$ .À la fin, on obtient une suite de signaux dont lesupportse résume à un point. Ces signaux, élémentaires parce que non décomposables temporellement, correspondent chacun d'entre eux à la distribution de Dirac $δ (t - τ)$ centrée en $τ$ avec une amplitude $e (τ)$ ,l'impulsion s'écrit $δ (t - τ) e (τ)$ .Il suffit de sommer toutes les impulsions suivant la variable $τ$ pour obtenir le signal $e (t)$ :

e(t)=\int \delta (t-\tau )e(\tau )\,\mathrm {d} \tau

On applique l'opération de filtrage sur $e (t)$ .Comme le filtre est linéaire et indépendant du temps, nous avons:

{\begin{aligned}f(e)&=\int f(\delta (t-\tau )e(\tau ))\,\mathrm {d} \tau \\&=\int e(\tau )f(\delta (t-\tau ))\,\mathrm {d} \tau &{\text{(linéarité)}}\\&=\int e(\tau )(f\circ \delta )(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau &{\text{(indépendance du temps).}}\end{aligned}}

La réponse du filtre $f$ à l'impulsion $δ (t)$ est nommée la réponse impulsionnelle du filtre $h (t)$ .Finalement on a:

f(e)=\int e(\tau )h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau

qui n'est autre que le produit de convolution.

En conclusion: si le filtre est linéaire et indépendant du temps, alors il est entièrement caractérisé par sa réponse $h (t)$ et la réponse du filtre à l'entrée $e (t)$ est donnée par l'opérateur de convolution.

Autre conclusion fondamentale des filtres linéaires et indépendants du temps: si l'on entre un signal $e (t)=e 2 π j f t$ ,le signal de sortie sera:

{\begin{aligned}s(t)&=\int \mathrm {e} ^{2\pi \jmath f\tau }h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\&=\int \mathrm {e} ^{2\pi \jmath f(t-\tau )}h(\tau )\,\mathrm {d} \tau \\&=\mathrm {e} ^{2\pi \jmath ft}\int \mathrm {e} ^{-2\pi \jmath f\tau }h(\tau )\,\mathrm {d} \tau \\&=\mathrm {e} ^{2\pi \jmath ft}H(f).\end{aligned}}

Le signal $s (t)$ sera aussi un signal de la forme $e 2 π j f t$ au facteur $H (f)$ près. Ce facteur n'est autre que latransformée de Fourierde $h (t)$ .

Notes et références

↑Xavier Gourdon, «Les maths en tête. Analyse - 2e édition», surwww.editions-ellipses.fr(consulté le23 juillet 2023),p. 284, Problème 18 "Preuve du théorème de Weierstrass par la convolution"
↑Olivier Garet et Aline Kurtzmann, «De l'intégration aux probabilités - 2e édition augmentée», surwww.editions-ellipses.fr,Ellipses,28 mai 2019(ISBN 9782340030206,consulté le23 juillet 2023),p. 179 Théorème 6.45