Multiplication

La multiplication de 4 par 3 donne le même résultat que la multiplication de 3 par 4.

Lamultiplicationest l'une des quatreopérationsde l'arithmétique élémentaireavec l'addition,lasoustractionet ladivision.Selon la norme NF EN ISO 80000-2,la multiplication de deux nombres$a$et$b$se dit indifféremment en français « $a$multiplié par$b$ » ou « $a$fois$b$ »; cette opération peut être notée$a\times b$,$a\cdot b$,$a\ b$ou$ab$.Son résultat s'appelle leproduit,les nombres que l'on multiplie sont lesfacteurs.

La multiplication de deux nombres entiers peut être vue comme une addition répétée plusieurs fois. Par exemple, « 3 fois 4 » peut se voir comme la somme de trois nombres 4; « 4 fois 3 » peut se voir comme la somme de quatre nombres 3:

$4\times 3=3+3+3+3$,

$3\times 4=4+4+4$,

avec:

$3\times 4=4\times 3=12$.

La multiplication permet de compter des éléments rangés dans unrectangleou de calculer l'aired'un rectangle dont on connaît la longueur et la largeur. Elle permet aussi de déterminer un prix d'achat connaissant le prix unitaire et la quantité achetée.

La multiplicationse généralise à d'autres ensemblesque les nombres classiques (entiers, relatifs, réels). Par exemple, on peutmultiplierdescomplexesentre eux, desfonctions,desmatriceset même desvecteurspar des nombres.

Notations

Selon la norme NF EN ISO 80000-2,la multiplication de deux nombres$a$et$b$se dit indifféremment en français « $a$multiplié par$b$ » ou « $a$fois$b$ »; cette opération peut être notée

• avec lacroix de multiplication« × »:$a\times b$;
• avec lepoint médian« · »:$a\cdot b$;
• mais le signe peut être omis s'il n'y a aucune ambiguïté:$a\ b$ou$ab$.

Enarithmétique,la multiplication est souvent écrite à l'aide du signe "×" entre les termes, c'est-à-dire ennotation infixée.Par exemple,

$2\times 3=6$(oralement, « trois fois deuxégalesix » ou « trois multiplié par 2 égale 6 »)

$3\times 4=12$

$2\times 3\times 5=6\times 5=30$

$2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$

L'introduction de ce signe est attribuée àWilliam Oughtred^[Quand?].Ce symbole est codé enUnicodeparU+00D7×multiplication sign(HTML:××).En mode mathématique dansLaTeX,il s'écrit\times.

Il y a d'autresnotations mathématiquespour la multiplication:

• la multiplication est aussi notée par un point, en hauteur médiane ou basse:5 ⋅ 2ou5. 3;
• enalgèbre,une multiplication impliquant desvariablesest souvent écrite par une simplejuxtaposition(par exemplexypour «xfoisy» ou 5xpour « cinq foisx»), aussi appeléemultiplication implicite.Cette notation peut aussi être utilisée pour des quantités qui sont entourées deparenthèses(e.g., 5(2) ou (5)(2) pour cinq fois deux). Cet usage implicite de la multiplication peut créer des ambiguïtés quand laconcaténationdes variables correspond au nom d'une autre variable, ou quand le nom de la variable devant la parenthèse peut être confondu avec le nom d'une fonction, ou pour la détermination de l'ordre des opérations.
• enmultiplication vectorielle,le symboles croix et point ont des sens différents. Le symbole croix représente leproduit vectorielde deuxvecteursde dimension 3, fournissant un vecteur comme résultat, alors que le symbole point représente leproduit scalairede deux vecteurs de même dimension (éventuellement infinie), fournissant unscalaire;
• enprogrammation informatique,l'astérisque(comme dans5*2) est la notation la plus courante. Cela est dû au fait qu'historiquement les ordinateurs étaient limités à un petitjeu de caractères(commeASCIIouEBCDIC) n'ayant pas de symbole comme⋅ou×,alors que l'astérisque se trouve sur tous les claviers. Cet usage trouve ses origines dans le langage de programmationFORTRAN.

Multiplication dans les ensembles de nombres

Multiplication dans les entiers

Multiplier un entier par un autre c'est ajouter cet entier à lui-même plusieurs fois. Ainsi multiplier 6 par 4 c'est calculer 6 + 6 + 6 + 6, le résultat de 6 × 4 se dit4 fois 6(comme dans4 foisle nombre6) ou6 multiplié par 4.On appelle leproduitde 6 par 4 le résultat de cette opération. Dans cette multiplication, 6 est appelé lemultiplicandecar c'est lui qui est répété et 4 est appelé lemultiplicateurcar il indique combien de fois 6 doit être répété.

Cependant, le fait que 4 fois 6 soit égal à 6 fois 4, rend cette distinction peu nécessaire, et les deux nombres sont appelésfacteursdu produit. Celui-ci est noté 6 × 4 — qui se lit indifféremment« quatre fois six »ou« six multiplié par quatre »— ou 4 × 6. Dans les livres scolaires d'arithmétique des deux derniers siècles, on lisait plutôt de la seconde manière à l'origine. "Fois" était ressenti comme moins précis (comme "et" pour l'addition).

Il n'est pas efficace, à long terme, de voir la multiplication comme une addition répétée. Il est donc nécessaire d'apprendre le résultat de la multiplication de tous les entiers de 1 à 9. C'est l'objet de latable de multiplication.

La multiplication dans les entiers vérifie les propriétés suivantes:

• on peut changer l'ordre des facteurs sans changer le résultat final: a × b = b × a. On dit que la multiplication estcommutative;
• quand on doit multiplier trois nombres entre eux, on peut, au choix, multiplier les deux premiers et multiplier le résultat obtenu par le troisième facteur ou bien multiplier entre eux les deux derniers puis multiplier le résultat par le premier nombre: (a × b) × c = a × (b × c). On dit que la multiplication estassociative;
• quand on doit multiplier une somme (ou une différence) par un nombre, on peut, au choix, calculer d'abord la somme et multiplier le résultat par le nombre ou bien, multiplier d'abord chaque terme de la somme par ce nombre et ensuite effectuer la somme: (a + b) × c = (a × c) + (b × c). On dit que la multiplication estdistributivepour l'addition car on a distribué c aux deux termes de la somme.

Les parenthèses indiquent l'ordre dans lequel les opérations doivent être effectuées. En pratique, pour éviter de traîner trop de parenthèses, on utilise, par convention, la règle de priorité suivante: les multiplications s'effectuent toujours avant les additions. Ainsi, dans l'écriture 4 + 5 × 2, il faut lire 4 + (5 × 2), c'est-à-dire 4 + 10 = 14 et non (4 + 5) × 2 qui aurait valu 18.

$4+5\times 2=4+(5\times 2)=4+10=14,$

$(4+5)\times 2=9\times 2=18\neq 4+5\times 2.$

Cette règle s'appelle unepriorité opératoire.

La dernière propriété a trait aux comparaisons. Si deux nombres sont rangés dans un certain ordre et qu'on les multiplie par le même nombre strictement positif, les résultats seront rangés dans le même ordre. Si a < b alors a × c < b × c. On dit que la multiplication par desentiers positifsest compatible avec l'ordre.

Le symbole utilisé pour la multiplication est la croix × (a × b) mais on trouve aussi, dans des calculs avec des lettres le point$\cdot$(a$\cdot$b) ou même rien (ab) s'il n'y a pas d'ambiguïté possible.

Il existe deux opérations un peu particulières:

• la multiplication par 1 qui ne change pas le facteur: 1 × a = a × 1 = a. On dit que 1 est unélément neutrepour la multiplication;
• la multiplication par 0 qui donne toujours 0: 0 × a = a × 0 = 0. on dit que 0 est unélément absorbantpour la multiplication.

Multiplication dans les décimaux

Pour multiplier entre eux desnombres décimaux,on utilise le fait que les produits peuvent être effectués dans n'importe quel ordre. Si l'on cherche à multiplier, par exemple, 43,1 par 1,215, on effectue les remarques suivantes

${\begin{aligned}43,1\times 1,215&=\left(431\times {\frac {1}{10}}\right)\times \left(1\;215\times {\frac {1}{1\;000}}\right)\\&=(431\times 1\;215)\times \left({\frac {1}{10}}\times {\frac {1}{1\;000}}\right)\\&=(431\times 1\;215)\times {\frac {1}{10\;000}}.\end{aligned}}$

De là naît la règle: pour multiplier entre eux deux décimaux, on compte le nombre de chiffres situés après la virgule dans les deux nombres et on en fait la somme. On effectue ensuite le produit, sans tenir compte de la virgule. Enfin, on place la virgule dans le résultat final en laissant à droite autant de chiffres que la somme que l'on a obtenue précédemment.

3,15 × 1,2 =? (on compte 3 chiffres après la virgule, 2 dans le premier nombre et 1 dans le second nombre)

315 × 12 = 630 × 6 = 3 780

3,15 × 1,2= 3,780 = 3,78.

Cette règle fonctionne car le calcul « sans tenir compte de la virgule » revient à multiplier 3,15 par 100, pour obtenir 315 et multiplier 1,2 par 10 pour obtenir 12. Ces multiplications doivent être compensées à la fin du calcul par la multiplication inverse, donc une division, par 100 et par 10: 3 780 devient alors 378 puis 3,78, donnant le résultat de l’opération demandée.

Multiplication avec des nombres négatifs

Illustration de la multiplication dans les nombres négatifs. Dans la zone bleue, le produit est positif, dans la zone rouge le produit est négatif

Illustration de la multiplication de nombres relatifs sur ladroite numérique.Une multiplication par un nombre négatif peut être vue comme un changement de sens duvecteurdenormeégale à lavaleur absoluedu produit des facteurs.

On peut voir le produit 4 fois (–6) comme la somme de (–6) répété 4 fois soit (–6) + (–6) + (–6) + (–6) = –24.

On peut aussi voir le produit (–4) fois (6) comme un nombre 6 que l'on ôte 4 fois. Ainsi, faire le produit de (–4) fois 6 c'est ôter 24, que l'on écrit (–4) × 6 = –24.

Enfin, on peut voir le produit (–4) fois (–6) comme le nombre (–6) que l'on enlève 4 fois, il s'agit donc d'enlever –24. Enlever –24 consiste à ajouter 24 donc(–4) × (–6) = 24.

Ces exemples expliquent la règle concernant les nombres ayant un signe. Pour effectuer le produit de deux nombres signés, on effectue le produit de leurs valeurs absolues et on affecte au résultat le signe – si les signes des deux facteurs sont différents, et le signe plus (+) si les deux facteurs ont même signe.

Ces règles se résument ainsi

moinsparmoinségaleplus

moinsparpluségalemoins

plusparmoinségalemoins

plusparpluségaleplus

La multiplication dans lesentiers relatifspossède les mêmes propriétés que la multiplication dans les entiers naturels (elle est commutative, associative, distributive pour l'addition) à une exception près: elle ne conserve pas toujours l'ordre: si deux nombres sont rangés dans un certain ordre et si on les multiplie par un entier strictement positif, l'ordre est conservé

–2 < 3 et (–2) × 4 < 3 × 4

mais si on le multiplie par un nombre strictement négatif, l'ordre est inversé

(–2) < 3 et (–2) × (–4) > 3 × (–4).

Multiplication dans les fractions

Multiplier entre elles deux fractions, c'est multiplier entre eux les numérateurs et les dénominateurs:

${\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {a\times c}{b\times d}}.$

Dans l'ensemble ℚ desnombres rationnels,la multiplication conserve les propriétés déjà énoncées avec la même difficulté concernant l'ordre et la multiplication par un nombre négatif.

Multiplication dans les réels

C'est une généralisation de la multiplication précédente. Elle conserve les mêmes propriétés.

Inverse

L'inversed'un nombre pour la multiplication est le nombre par lequel il faut le multiplier pour obtenir 1.

Par exemple:

• l'inverse de 10 est 0,1 car 10 × 0,1 = 1;
• l'inverse de 2 est 0,5 car 2 × 0,5 = 1;
• l'inverse de³⁄₄est⁴⁄₃car³⁄₄×⁴⁄₃=¹²⁄₁₂= 1.

L'inverse du nombreaest noté¹⁄_aou encorea⁻¹.

Ainsi:

• l'inverse deπest noté¹⁄_π;
• l'inverse de 2 est noté¹⁄₂= 0,5.

Selon les ensembles de nombres, on ne trouve pas toujours un inverse dans l'ensemble:

• dans l'ensemble des entiers, seuls 1 et –1 possèdent des inverses;
• quel que soit l'ensemble de nombres vérifiant 0 ≠ 1, 0 ne possède pas d'inverse car 0 multiplié paradonne toujours 0 et jamais 1;
• dans l'ensemble des rationnels et dans l'ensemble des réels, tous les nombres, sauf 0, possèdent un inverse.

La quatrième opération desmathématiques élémentaires,la division peut alors être vue comme une multiplication par l'inverse.

Multiple

On dit qu'un nombre a est multiple d'un nombre b s'il est le résultat de la multiplication de b par un entier (naturel ou relatif)

a est multiple de b si et seulement s'il existe un entier relatif k tel que a = k × b

Lorsque a et b sont des entiers, on dit aussi que a estdivisiblepar b.

Notion de corps ordonné

Dans l'ensemble desnombres rationnels,et dans l'ensemble desnombres réels,on retrouve les propriétés suivantes pour la multiplication:

Associativité	Pour tous a, b, c, a ×(b × c) = (a × b) ×c
Commutativité	Pour tous a et b, a × b = b × a
Élément neutre	Pour tout a, a × 1 = 1 × a = a
Inverse	Pour tout a non nul, il existe a−1tel que a × a−1=1
Distributivité	Pour tous a, b, et c, (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Élément absorbant	pour tout a, a × 0 = 0 × a = 0
Ordre	Pour tout a > 0 et tous b et c, si b < c alors ab < ac

Ces propriétés associées à celles que possède l'addition sur ces ensembles font de ℝ et ℚ, munis de l'addition et de la multiplication, des ensembles spéciaux appelés descorps ordonnés.

Techniques de multiplication

Bâtons de Napier

Excepté lamultiplication égyptienneet sa varianterussequi utilisent un principe binaire, les techniques de multiplication qui se sont développées au cours des siècles, utilisent le système décimal et nécessitent pour la plupart de connaitre latable de multiplicationdes nombres de 1 à 9 ainsi que le principe de distributivité. Ainsi pour multiplier 43 par 25, on écrit que43 × 25 = 43 × (2 dizaines + 5 unités).Ensuite, on distribue les différents termes

43 × 25 = 43 × 2 dizaines + 43 × 5 unités.

43 × 25 = (4 × 2 centaines + 3 × 2 dizaines) + (4 × 5 dizaines + 3 × 5 unités) =8 centaines+6 dizaines+20 dizaines+15 unités= 1 075.

Les différentes méthodes consistent à présenter ce calcul de manière pratique. On trouve ainsi laméthode chinoisequi commence par les poids forts, c'est-à-dire la multiplication des chiffres les plus à gauche. Cette méthode est celle utilisée dans la multiplication avecboulier.Mais d'autres méthodes sont possibles comme celle couramment utilisée dans les écoles françaises consistant à« poser la multiplication »en multipliant 43 d'abord par 5 puis par 2 dizaines et faire la somme.

Multiplication posée des nombres entiers (couramment utilisée dans les écoles françaises)

D'autres techniques utilisant ce même principe ont été développées comme lamultiplication par glissementutilisée auIX^esiècleparAl-Khawarizmiou lamultiplication par jalousiesutilisée auMoyen ÂgeenEurope.Cette dernière a donné lieu à la fabrication de bâtons automatisant le calcul: lesbâtons de Napier.

8 × 7 = 56 car il y a 5 doigts dressés (5 dizaines) et 2 et3 doigtspliés (2 ×3 unités)

Ces techniques nécessitent pour la plupart la connaissance destables de multiplication.Elles furent utilisées très tôt. On en trouve trace par exemple àNippurenMésopotamie2 000 ansav. J.-C.sur des tablettes réservées à l'entraînement des apprentis scribes.

La mémorisation des tables pour des nombres compris entre 6 et 9 se révèle parfois difficile.Georges Ifrahsignale un moyen simple de multiplier avec les doigts des nombres compris entre 6 et 9.Sur chaque main, on dresse autant de doigts que d'unités dépassant 5 pour chacun des nombres concernés. Ainsi pour multiplier 8 par 7 on dresse3 doigtsde la main gauche et deux doigts de la main droite. La somme des doigts dressés donne le nombre de dizaines et le produit des doigts repliés donne le nombre d'unités à ajouter. Ainsi, dans l'exemple, il y a5 doigtsdressés donc5 dizaines.Il y a2 doigtspliés dans une main et3 doigtspliés dans l'autre ce qui donne2 × 3 = 6 unités soit 7 × 8 = 56.

L'explication mathématique fait appel encore une fois à la distributivité: si on appelle x et y le nombre de doigts repliés, les nombres de doigts dressés sont a = 5 – x et b = 5 – y et l'on effectue la multiplication de 10 – x par10 – y:

(10 – x)(10 – y) = 10(10 – x) – (10 – x) y = 10(10 – x ) – 10y + xy = 10 (10 – x – y) + xy = 10(a + b) + xy.

Une technique analogue existe pour multiplier entre eux des nombres compris entre 11 et 15. On ne se sert alors que des doigts dressés. Le nombre de doigts dressés donne le nombre de dizaines à ajouter à 100, et le produit des doigts dressés donne le nombre d'unités à ajouter.

Notations

Dans les tablettesbabyloniennes,il existe un idéogramme pour représenter la multiplication A – DU.

Dans leséléments d'Euclide,la multiplication est vue comme le calcul d'uneaire.Ainsi, pour représenter le produit de deux nombres, on parle d'unrectangleABCD, dans lequel les côtés AB et AD représentent les deux nombres. Le produit des deux nombres est alors appelé lerectangle BD(sous-entendu l'aire du rectangle decôtés ABet AD).

Diophante,lui, n'utilise pas de symbole spécial pour la multiplication, plaçant les nombres côte à côte. On retrouve cette même absence de signe dans lesmathématiques indiennes,les nombres sont souvent placés côte à côte, parfois séparés par un point ou parfois suivis de l'abréviation bha (pour bhavita, le produit).

En Europe, avant que le langage symbolique ne soit définitivement admis, les opérations s'exprimaient en phrases écrites en latin. Ainsi 3 fois 5 s'écrivait-il 3 in 5.

AuXVI^esiècle,on voit apparaître le symbole M utilisé parStifeletStevin.Lacroix de St André× est utilisée pour désigner une multiplication parOughtreden 1631 (Clavis mathematicae). Mais on trouve à cette époque d'autres notations, par exemple une virgule précédée d'un rectangle chezHérigone,« 5 × 3 » s'écrivant « ☐ 5, 3: ».Johann Rahnlui utilise le symbole * en 1659. Le point est utilisé parGottfried Wilhelm Leibnizqui trouve la croix trop proche de la lettre x.À la fin duXVII^esiècle,il n'existe toujours pas de signe établi pour la multiplication, Dans une lettre à Hermann, Leibniz précise que la multiplication n'a pas besoin de s'exprimer seulement par des croix mais que l'on peut utiliser aussi des virgules, des points ou des espaces.

Ce n'est qu'au cours duXVIII^esiècleque se généralise l'usage du point pour la multiplication dans le langage symbolique.

Multiplications de plusieurs facteurs entre eux

Puisque la multiplication est associative, il est inutile de définir une priorité sur les multiplications à effectuer. Il reste cependant à définir comment écrire le produit d'un nombre indéterminé de facteurs.

$\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}$

signifie que l'on a multipliénfois le facteurapar lui-même. le résultat est notéaⁿet se lit «aà lapuissancen».

$1\times 2\times \cdots \times n$

signifie que l'on a fait le produit de tous les entiers de 1 àn,le résultat est notén!et se lit «factoriellen».

Si$(x_{i})$est une suite de nombres,$x_{1}\times x_{2}\times \cdots \times x_{n}$ signifie que l'on a fait le produit de cesnfacteurs entre eux. Ce produit est aussi noté

$\prod _{k=1}^{n}x_{k}.$

Si l'expression a un sens, la limite du produit précédent quandntend vers l'infini est appeléeproduit infiniet se note

$\prod _{k=1}^{+\infty }x_{k}.$

Voir aussi

• Multiplication dans lescomplexes
• Produit matriciel
• Multiplication d'un vecteur par un réel dans lecalcul vectoriel en géométrie euclidienne
• Croix de multiplication