Arc tangente

Fonction arc tangente

Représentation graphique de la fonction arc tangente.

Notation	$\arctan(x)$
Réciproque	$\tan(x)$sur$\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$
Dérivée	${\frac {1}{1+x^{2}}}$
Primitives	$x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	$\mathbb {R}$
Ensemble image	$\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$
Parité	impaire

Valeurs particulières

Valeur en zéro	0
Limite en +∞	${\frac {\pi }{2}}$
Limite en −∞	$-{\frac {\pi }{2}}$

Particularités

Asymptotes	$y={\frac {\pi }{2}}$en$+\infty$ $y=-{\frac {\pi }{2}}$en$-\infty$

Enmathématiques,l’arc tangented'unnombre réelest la valeur d'unangle orientédont latangentevaut ce nombre.

Lafonctionqui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente enradiansest laréciproquede larestrictionde lafonction trigonométriquetangente à l'intervalle$\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$.La notation estarctanouArctan(on trouve aussi Atan, arctg en notation française; atan ou tan⁻¹,en notation anglo-saxonne, cette dernière pouvant être confondue avec la notation de l'inverse (1/tan)).

Pour tout réelx:

$y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$.

Dans unrepère cartésienorthonormédu plan, lacourbe représentativede la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle$\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$par uneréflexiond'axe la droite d'équationy = x.

Parité

La fonction arctan estimpaire,c'est-à-dire que (pour tout réelx) $\arctan(-x)=-\arctan x$.

Dérivée

Commedérivée d'une fonction réciproque,arctanest dérivable et vérifie: $\arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$.

Développement en série de Taylor

Le développement ensérie de Taylorde la fonction arc tangenteest:

$\forall x\in [-1,1]\quad \arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots$.

Cettesérie entièreconvergeversarctanquand|x| ≤ 1etx≠ ±i.La fonction arc tangente est cependant définie sur tout ℝ (et même —cf.§ « Fonction réciproque »— sur un domaine duplan complexecontenant à la fois ℝ et le disque unité fermé privé des deux points±i).

Voir aussiFonction hypergéométrique#Cas particuliers.

Démonstration

La série entière

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}$

est nulle en 0, sonrayon de convergencevaut 1, et sa dérivée (sur ledisque unité ouvert) est égale à lasérie géométrique

$\sum _{k=0}^{\infty }(-x^{2})^{k}={\frac {1}{1+x^{2}}}=\arctan '(x)$.

Elle coïncide donc sur ce disque avec la fonctionarctan.De plus, d'après la démonstration dutest de Dirichlet(parsommation par parties), cette série entière converge uniformément sur le disque unité fermé privé d'unvoisinagearbitrairement petit de±i.En±i,elle diverge comme lasérie harmonique.

La fonctionarctanpeut être utilisée pour calculer desapproximations deπ;la formule la plus simple, appeléeformule de Leibniz,est le casx= 1du développement en série ci-dessus:

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots$.

Équation fonctionnelle

On peut déduirearctan(1/x)dearctanxet inversement, par leséquations fonctionnellessuivantes:

$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x={\frac {\pi }{2}}$;

$\forall x\in \mathbb {R} _{-}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x=-{\frac {\pi }{2}}$.

Démonstrations

Démontrons la première équation (la seconde s'en déduit parimparité,ou se démontre de même).

• Une première méthode est de vérifier que ladérivéeest nulle.

On a en effet:

$\arctan 'x={\frac {1}{1+x^{2}}}$

et

$\left(\arctan {\frac {1}{x}}\right)'={\frac {-1}{x^{2}}}~{\frac {1}{1+{\frac {1}{x^{2}}}}}={\frac {-1}{1+x^{2}}}$

donc

$\left(\arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x\right)'=0$.

On en déduit quearctan(1/x) + arctanxest constante sur]0, +∞[,et l'on trouve facilement la valeur de cette constante en calculant par exemple la valeur prise enx= 1.

• Une deuxième méthode est de remarquer que pour toutx> 0,siθdésigne l'arctangente dexalors

${\frac {1}{x}}={\frac {1}{\tan \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\qquad {\text{et}}\qquad 0<{\frac {\pi }{2}}-\theta <{\frac {\pi }{2}},\quad {\text{d'où}}$

$\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\theta ={\frac {\pi }{2}}-\arctan x$.

• Une troisième méthode est de déduire cette formule de laformule remarquableci-dessous en faisant tendreyvers1/xpar valeurs inférieures.

Fonction réciproque

Par définition, la fonction arc tangente est lafonction réciproquede la restriction de la fonction tangente à l'intervalle$\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$: $\forall x\in \mathbb {R} \quad y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$.

Ainsi, pour tout réelx,tan(arctanx) =x.Mais l'équationarctan(tany) =yn'est vérifiée que pourycompris entre$-{\frac {\pi }{2}}$et${\frac {\pi }{2}}$.

Dans le plan complexe, la fonction tangente est bijective de]–π/2, π/2[+iℝ dans ℂ privé des deux demi-droites]–∞, –1]iet[1, +∞[ide l'axeimaginaire pur,d'après son lien avec la fonctiontangente hyperboliqueet les propriétés de cette dernière. La définition ci-dessus de arctan s'étend donc en: $\forall x\in \mathbb {C} \setminus {\big (}{\rm {i}}\left(]-\infty,-1]\cup [1,+\infty [\right){\big )}\quad y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[+{\rm {i}}~\mathbb {R}$.

Logarithme complexe

Par construction, la fonction arctangente est reliée à la fonctionargument tangente hyperboliqueet s'exprime donc, comme elle, par unlogarithme complexe:

$\forall x\in \mathbb {C} \setminus \left({\rm {i}}\left(]-\infty,-1]\cup [1,+\infty [\right)\right)\quad \arctan x={\frac {1}{\rm {i}}}\operatorname {artanh} ({\rm {i}}x)={\frac {1}{2{\rm {i}}}}\ln {\frac {1+{\rm {i}}x}{1-{\rm {i}}x}}={\frac {\ln(1+{\rm {i}}x)-\ln(1-{\rm {i}}x)}{2{\rm {i}}}}$.

Intégration

Primitive

Laprimitivede la fonction arc tangente qui s'annule en 0 s'obtient grâce à uneintégration par parties:

$\int _{0}^{x}\arctan t\;\mathrm {d} t=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)$.

Utilisation de la fonction arc tangente

La fonction arc tangente joue un rôle important dans l'intégrationdes expressions de la forme

${\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}$

Si lediscriminantD = b²– 4acest positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à unefraction partielle.Si le discriminant est strictement négatif, on peut faire la substitution par

$u={\frac {2ax+b}{\sqrt {|D|}}}$

qui donne pour l'expression à intégrer

${\frac {4a}{|D|}}~{\frac {1}{1+u^{2}}}.$

L'intégrale est alors

${\frac {2}{\sqrt {|D|}}}\arctan {\frac {2ax+b}{\sqrt {|D|}}}$.

Formule remarquable

Sixy≠ 1,alors:

$\arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+k\pi$

où

$k={\begin{cases}0&{\text{si }}xy<1,\\1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}>0,\\-1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}<0.\end{cases}}$

Autres utilisations

Quatre fonctions sigmoïdes (formes canoniques mises à l'échelle par rapport aux valeurs asymptotiques et à la pente à l'origine). La courbe en bleu représente la fonction arc tangente.

Laforme en Sde cette fonction fait qu'elle fait partie des fonctions ditessigmoïdes.Par rapport à lafonction logistique de Verhulstet la fonctionerf,elle est celle qui est la plus lisse, c'est-à-dire celle qui est la plus longue à rejoindre ses asymptotes.

Notes et références

(de)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé«Arkustangens und Arkuskotangens»(voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Atan2
• Fonction circulaire réciproque
• L'arc tangente de tout rationnel non nul est irrationnel.
• Définition de la fonction arc tangente sur les complexes

Lien externe

(en)Eric W. Weisstein,«Inverse Tangent», surMathWorld