Base duale

Enalgèbre linéaire,labase dualeest unebasede l'espace dualE* d'unespace vectorielEdedimensionfinie, construite à partir d'une base deE.Il est rappelé queE* est l'espace desformes linéairessurE.Laréduction des formes quadratiquesest un exemple dans lequel les bases duales peuvent intervenir. Elles interviennent aussi pour transporter des structures géométriques d'un espace vectoriel réel ou complexe sur son espace dual, ce qui intervient notamment engéométrie différentielle.

Définition

SoitEunespace vectoriel de dimension finiensur un corpsK.SoitB=(e₁,…,e_n)unebasedeE,c'est-à-dire que tout vecteurvdeEs'écrit de manière unique comme unecombinaison linéairedes vecteurse_i:

$v=\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{*}(v)e_{i}\,,$

où$e_{i}^{*}(v)$est unscalaire(un élément du corpsK). L'application$v\mapsto e_{i}^{*}(v)$est uneforme linéairesurE.L'application$e_{i}^{*}$peut aussi être définie comme l'unique forme linéaire surEvérifiant, pour tout entierjentre 1 etn,$e_{i}^{*}(e_{j})=\delta _{ij}$où$\delta _{ij}$est lesymbole de Kronecker(qui vaut 1 ou 0 suivant queietjsont égaux ou non).

La famille(e₁*,…,e_n*)forme une base de l'espace dualE*,appelée la base duale deBet notéeB*.

De plus, toute forme linéaireusurEs'écrit:

$u=\sum _{i=1}^{n}u(e_{i})e_{i}^{*}.$(1)

Cette construction suffit à montrer qu'un espace vectoriel de dimension finie et son dual ont la même dimension.

Base duale de la base duale

Il existe uneinjectioncanoniqueιdeEdans sonbidualE** (le dual du dual deE), donnée par l'évaluation des formes linéaires en les vecteurs: $\iota (v)(\lambda )=\lambda (v).$ CommeE,E* etE** ont même dimension finie, cetteapplication linéaireinjective est unisomorphisme.Une autre manière de prouver sasurjectivitéest la suivante. Soit(e₁**,…,e_n**)la base duale de(e₁*,…,e_n*).L'équation (1) se traduit par:

$\iota (e_{i})=e_{i}^{**}$.

On parle aussi d'injectionnaturelle,à la suite de l'article fondateur de lathéorie des catégoriesdeSamuel EilenbergetSaunders MacLane:les auteurs partent en effet du constat qu'il existe certes un isomorphisme entre un espace vectoriel et son espace dual, mais que cet isomorphisme ne peut être formulé indépendamment de la base particulière que l'on choisit; tandis qu'il existe, d'un espace vectoriel dans son bidual, une injection linéaire « naturelle », dans le sens où elle est indépendante de la base adoptée.

Changement de bases

SoientBetCdeux bases deEetB* etC* leurs bases duales. SiPest lamatrice de passagedeBàC,alorscelle deB* àC* est^tP⁻¹.

En effet, en notantC=(f₁,…,f_n)etC* =(f₁*,…,f_n*),l'équation (1) donne

$e_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}e_{j}^{*}(f_{i})f_{i}^{*}=\sum _{i=1}^{n}P_{j,i}f_{i}^{*},$

ce qui signifie que la matrice de passage deC* àB* est latransposéedeP.Celle deB* àC* est l'inverse.

Applications

Réduction de Gauss

SoitQuneforme quadratiquesur un espace vectoriel réelE.Alors il existe une base(e₁,…,e_n)deE,telle que $Q=l_{1}^{2}+\dots +l_{p}^{2}-l_{p+1}^{2}-\dots -l_{p+q}^{2}$ où(l₁,…,l_n)est la base duale de(e₁,…,e_n).

L'espace vectoriel défini par lesp + qéquationsl_i= 0 pouri ≤ p + qest le noyau deQ.Les entierspetqne dépendent pas du choix de la basee,et le couple (p,q) s'appelle la signature deQ.

Envoyeurs de Ménard

SoitB= (x₁,…,x_n)une base d'un espace vectorielEde dimensionnet soit(x₁*,…,x_n*)sa base duale. On définit la famille d'endomorphismes$(e_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$appelés envoyeurs de Ménard^{[réf. nécessaire]}par:

$e_{ij}:{\begin{array}{lcl}E&\rightarrow &E\\x&\mapsto &x_{j}^{*}(x)x_{i}\end{array}}$

Cette famille forme une base de l'espaceL(E) des applications linéaires deEdansE,et lamatrice dee_{i j}dans la baseBest l'unité matricielle(en)E_i,jqui présente un 1 à l'intersection de lai-ième ligne avec laj-ième colonne et des 0 partout ailleurs.

Plus généralement (cf.Produit tensoriel de deux applications linéaires), à partir d'une base du dual d'un espace vectorielEde dimension finie et d'une base d'un espaceFde dimension quelconque, on construit de même une base de l'espace des applications linéaires deEdansF.