Bivecteur

Enalgèbre,le terme debivecteurdésigne untenseurantisymétrique d'ordre 2, c'est-à-dire une quantitéXpouvant s'écrire

${\mathbf {X} }=X_{ab}{\mathbf {\omega } }^{a}\wedge {\mathbf {\omega } }^{b}$,

où les quantitésω^asont desformes linéaireset le signe$\wedge$désigne leproduit extérieur.

Un bivecteur peut être vu comme uneapplication linéaireagissant sur lesvecteurset les transformant en formes linéaires. Les coefficientsX_abpeuvent être vus comme formant unematriceantisymétrique.

Les bivecteurs sont abondamment utilisés enrelativité générale,où plusieurs tenseurs peuvent être reliés à des bivecteurs. En particulier, letenseur électromagnétiqueest un bivecteur, et letenseur de Weylpeut être vu comme une application agissant sur les bivecteurs. Ce fait est d'ailleurs à l'origine d'une classification des différents espaces en fonction des caractéristiques que présente leur tenseur de Weyl dans ce contexte: il s'agit de laclassification de Petrov.

Définitions variées

Bivecteur simple

Un bivecteurXest dit simple s'il peut s'exprimer sous la forme du produit extérieur de deux formes linéairesuetv,c'est-à-dire si l'on a

${\mathbf {X} }={\mathbf {u} }\wedge {\mathbf {v} }$,

ou bien, en termes de composantes,

$X_{ab}={\frac {1}{2}}\left(u_{a}v_{b}-v_{a}u_{b}\right).$

Dans le cas d'une forme simple, la quantité$X_{ab}X^{ab}$est dite de genre temps, de genre espace ou de genre lumière selon sa valeur (respectivement positive, négative et nulle dans le cas où laconvention de signe de la métriqueest (-+++) et respectivement négative, positive et nulle dans le cas de la convention inverse (+---)).

Bivecteur dual

Dans un espace à quatre dimensions sur lequel est défini unemétrique riemannienne,on peut utiliser letenseur de Levi-Civitapour associer un bivecteur${\mathbf {X} }$à son bivecteur dual, noté${\tilde {\mathbf {X} }}$,selon la formule

${\tilde {X}}_{ab}={\frac {1}{2}}\epsilon _{abcd}X^{cd}$.

Le dual d'un bivecteur dual correspond au signe près au vecteur d'origine:

$\left({\tilde {X}}_{ab}\right){}{\tilde {}}=-X_{ab}$.

Deux bivecteursXetYsatisfont à l'aide de leurs bivecteurs duaux quelques propriétés comme

$X_{ab}{\tilde {Y}}^{ab}={\tilde {X}}_{ab}Y^{ab}$,

$X_{ac}Y_{b}{}^{c}-{\tilde {X}}_{bc}{\tilde {Y}}_{a}^{c}={\frac {1}{2}}g_{ab}X_{cd}Y^{cd}$

Bivecteur autodual

Un bivecteur complexe est dit autodual s'il satisfait à

${\tilde {\mathbf {X} }}=-i{\mathbf {X} }$.

Tout bivecteurXpeut se voir associer un bivecteur autodualX^*en le combinant avec son dual, selon la formule

${\mathbf {X} }^{*}={\mathbf {X} }+i{\tilde {\mathbf {X} }}$.

Vecteur tridimensionnel complexe associé à un bivecteur

La signification physique d'un bivecteur autodual apparaît en remarquant que les six composantes indépendantes d'un bivecteur réel peuvent être transformées en un vecteur tridimensionnel complexe. Il suffit pour cela de choisir un vecteur de genre temps,uet de définir la quantitéX_apar

$X_{a}=X_{ab}^{*}u^{b}$.

Un calcul simple permet immédiatement de reconstituer le bivecteur original, par

$X_{ab}^{*}=2u_{[a}X_{b]}+i\epsilon _{abcd}u^{c}X^{d}=2\left(u_{[a}X_{b]}\right)^{*}$.

Un exemple: le tenseur électromagnétique

Letenseur électromagnétiqueest un tenseur antisymétrique d'ordre 2. C'est donc un bivecteur. Le vecteurXcalculé par la méthode ci-dessus donne

$X^{j}=E^{j}-icB^{j}$.

Référence

• (en)D.Kramer,HansStephani,MalcolmMac Callumet E.Herlt,Exact solutions of Einstein’s field equations,Cambridge,Cambridge University Press,1980,428p.(ISBN0521230411),pages 47 à 49.