Catégorie des groupes

Enmathématiques,lacatégorie des groupesest une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées enalgèbredansl'étude des groupes.

Définition[modifier|modifier le code]

La catégorie des groupes[modifier|modifier le code]

Lacatégoriedesgroupes,notéeGrp,est définie de la manière suivante:

Ses objets sont les groupes;
Les morphismes sont lesmorphismes de groupes,munis de lacomposition usuelle de fonctions,l'identité étant l'application identité^[1].

La 2-catégorie des groupes[modifier|modifier le code]

Enthéorie des catégories supérieuresil est parfois pratique de voir les groupes comme desgroupoïdespossédant un unique objet, les flèches de cet unique objet vers lui-même étant dénotées par les éléments du groupe lui-même. On dispose alors d'une nouvelle définition: la2-catégoriedes groupesGrpest la sous-2-catégorie pleine de la catégorie des groupoïdes formée ainsi:

Les objets sont les groupoïdes à un objet;
Les 1-morphismes sont les foncteurs entre de tels objets. Ils correspondent exactement aux morphismes de groupes au sens usuel.
Les 2-morphismes sont lestransformations naturellesentre ces foncteurs. Ils sont définis par lesautomorphismes intérieurs.Sifetgsont deux foncteurs (morphismes de groupes) d'un groupe G vers un groupe H, il existeaélément de H tel que, pour toutxélément de G, $g(x)=af(x)a^{-1}$ .

La catégorie des groupes sur une catégorie[modifier|modifier le code]

SiKest une catégorie quelconque, on définit la catégorieGrp_Kdes groupes surKainsi:

Les objets sont lesobjets groupes (en)dansK,c'est-à-dire les objetsGtels que, pour tout objetX,il existe une structure de groupe sur $\mathrm {Hom} _{K}(X,G)$ telle que $X\mapsto \mathrm {Hom} _{K}(X,G)$ est un foncteur contravariant $K\to \mathrm {Grp}$ ;
Les morphismes sont les homomorphismes entre objets groupes.

Dans ce cadre, la catégorie desgroupes topologiquess'identifie à la catégorie des groupes surTop,la catégorie desgroupes de Lieà la catégorie des groupes sur la catégorie desvariétés lisseset la catégorie desfaisceaux de groupessur un espaceXs'identifie à la catégorie des groupes sur la catégorie des faisceaux d'ensembles surX.

Groupes, monoïdes et ensembles[modifier|modifier le code]

Tout groupe est en particulier unmonoïde,on dispose donc naturellement d'unfoncteur d'oubli:

M:\mathrm {Grp} \to \mathrm {Mon}

Ce foncteur apparaît dans untriplet d'adjonction $K\dashv M\dashv I$ où:

Kest le foncteur qui envoie un monoïde sur songroupe de Grothendieck;
Iest lefoncteur qui envoie un monoïde sur le sous-monoïde de ses éléments inversibles.

On peut encore « oublier » la structure de monoïde, pour ne plus voir finalement que les éléments d'un groupe comme formant unensemble.Cela correspond à un foncteur d'oubli

S:\mathrm {Mon} \to \mathrm {Set}

auquel est naturellement adjoint le foncteur libreF,c'est-à-dire le foncteur qui à un ensemble associe le monoïde librement engendré par ses éléments. On a

F\dashv S

En effectuant ces deux opérations d'oubli, on a donc un foncteur d'oubli

MS:\mathrm {Grp} \to \mathrm {Mon} \to \mathrm {Set}

dans lacatégorie des ensembles.qui est adjoint à droite du foncteur libre

KF:\mathrm {Set} \to \mathrm {Mon} \to \mathrm {Grp}

Propriétés[modifier|modifier le code]

Propriétés catégoriques[modifier|modifier le code]

Grpest unecatégorie concrète;
Grpest localement petite, mais ce n'est pas une petite catégorie;
Grpest complète et cocomplète;
Grpn'est pas unecatégorie additive,niabélienne;

Objets[modifier|modifier le code]

L'objet initial,finalet zéro deGrpest legroupe trivial1;
Lesobjets projectifsdeGrpsont lesgroupes libres;
L'objet injectif (en)deGrpest le groupe trivial;

Morphismes[modifier|modifier le code]

Lesmonomorphismessont les morphismes de groupes injectifs;
Lesépimorphismessont les morphismes de groupe surjectifs;
Lesisomorphismessont les morphismes de groupe bijectifs;

Limites[modifier|modifier le code]

LeproduitdansGrpest leproduit directde groupes;
Le coproduit dansGrpest leproduit librede groupes;
LenoyaudansGrpcorrespond aunoyauau sens algébrique.

Références[modifier|modifier le code]

(en)SaundersMac Lane,Categories for the Working Mathematician[détail de l’édition]
Michel DemazureetAlexander Grothendieck,Schémas en groupes I,Springer,coll.« Lect. Notes in Math. »,1970,p.151-153

↑On trouvera une construction plus détaillée de la catégorie des groupes dansSaunders Mac Lane,Algèbre,Jacques Gabay,p.129

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[1] On trouvera une construction plus détaillée de la catégorie des groupes dansSaunders Mac Lane,Algèbre,Jacques Gabay,p.129

[1]

v·m Théorie des catégories Abstract nonsense
Catégories	abélienne préabélienne pseudo-abélienne (en) additive préadditive (en) cartésienne complète concrète dérivée discrète duale exacte fermée fibrée (en) monoïdale monoïdale tressée *-autonome simpliciale triangulée
Catégories usuelles	Cat Rel Set Ord Mon Grp Ab Ring k-Mod Top k-Vect (en) hTop (en) Met (en) Sch
Objets	Groupe (en) Groupoïde Monoïde initial/final injectif (en) exponentiel projectif Sous-objet (en)
Morphismes	Automorphisme Épimorphisme Endomorphisme Isomorphisme Monomorphisme morphisme nul Section
Foncteurs	Catégorie de foncteurs Distributeur Équivalence de catégories Isomorphisme de catégories Foncteur adjoint dérivé exact Ext Hom représentable d'oubli plein et fidèle Préfaisceau Transformation naturelle
Adjonctions	Adjonction ⊗-Hom Catégorie de Kleisli Monade
Limites	Égaliseur Extension de Kan Fin Limite inductive Limite projective Noyau Produit Produit fibré Réunion disjointe Somme Somme amalgamée
Opérations	Enveloppe de Karoubi Nerf Squelette Symétrisation
Outils	Diagramme Diagramme commutatif Équivalence de Morita Lemme des cinq Lemme du serpent Lemme de Yoneda Propriété universelle
Extensions etcatégories supérieures	Catégorie enrichie 2-catégorie n-catégorie (en) Quasi-catégorie Site Topos