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Théorème de Faltings

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(Redirigé depuisConjecture de Mordell)
Gerd Faltings.

Enthéorie des nombres,lethéorème de Faltings,précédemment connu sous le nom deconjecture de Mordelldonne des résultats sur le nombre de solutions d'uneéquation diophantienne.Il a étéconjecturépar le mathématicien anglaisLouis Mordellen 1922 et démontré parGerd Faltingsen 1983, soit environ soixante ans après que la conjecture fut posée.

Énoncé

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Soit l'équation définie de la manière suivante:

avecPunpolynômeàcoefficientsrationnels.Le problème est de trouver le nombreXde solutions de cette équation dans l'ensemble des rationnels.

Le nombre de solutions dépend dugenrede lacourbeCassociée à cette équation (on peut définir empiriquement le genre d'une courbe comme le nombre de fois où il est possible de couper cette courbe sans obtenir deux morceaux distincts):

  • si le genre vaut 0 (cas des courbesunicursales,par exemple une droite), alors:
    • soitX= 0,
    • soitX= ∞;
  • si le genre vaut 1, alors:
  • si le genre est supérieur ou égal à 2, Mordell avait conjecturé qu'il n'y avait qu'un nombre fini de points. Ceci fut effectivement démontré par Gerd Faltings en 1983.

Application

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Soit l'équation deFermat:

dont on cherche les solutions entières. Siest une solution avecnon nul, alorsest une solution à coordonnées rationnelles de l'équation

Elle correspond à une courbe de genre.Ainsi, poursupérieur ou égal à 4, elle est de genre supérieur ou égal à 2, et n'admet donc qu'un nombre fini de solutions rationnelles. On sait borner le nombre de solutions, mais pas encore leur taille. Cette approche pour démontrer ledernier théorème de Fermat,alternative à celle suivie parAndrew Wiles,n'a donc pas encore abouti; au demeurant, elle ne permettrait (en théorie) qu'une démonstrationconstructivepour chaque valeur dendonnée, mais non en général.

Démonstrations

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Faltings a publié sa démonstration en 1983[1],avec un erratum en 1984[2].Un exposé de la démonstration est donné parPierre Deligneauséminaire Bourbakien 1984[3].Faltings obtient lamédaille Fieldsen 1986.

Dans son travail, Faltings démontre aussi laconjecture de Tate(en)deJohn T. Tateet la conjecture d'Igor Chafarevitch,en appliquant un mécanisme de traduction decorps de fonctionsencorps de nombresintroduit parSouren Arakelov.Le fait que la conjecture de Mordell est une conséquence de la conjecture de Chafarevitch a été démontré parAlexeï Parchineen 1968 (communication aucongrès international des mathématiciensde Nice en 1970[4]).

Après Faltings, le théorème a été démontré d'une autre manière parPaul Vojta[5].La preuve de Vojta a été simplifiée par Faltings[6]lui-même et parEnrico Bombieri[7].Des présentations sont données dans le livre deBombierietGubler[8],et dans celui de Serge Lang[9].

Pour les corps de fonctions, la conjecture avait déjà été démontrée en 1963 parYuri Manin[10],avec une lacune de la preuve repérée et comblée parRobert F. Coleman[11],en 1965 parHans Grauerten 1965[12]et en 1968 parAlexeï Parchine[4].

Une nouvelle démonstration est donnée par Brian Lawrence etAkshay Venkateshen 2018. La preuve suit la démarche de Faltings, mais utilise l'analyse de la variation dereprésentations galoisiennesp-adiques[13].

Généralisations

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Par lethéorème de Mordell-Weil,le théorème de Faltings peut être reformulé comme un énoncé sur l'intersection d'une courbeCavec un sous-groupe de type fini Γ d'unevariété abélienneA.Une généralisation consiste à remplacerCpar une sous-variété arbitraire deAet Γ par un sous-groupe arbitraire deAde rang fini; ceci conduit à laconjecture de Mordell-Lang(en)qui a été démontrée par Faltings en 1991[14],[15].

Une autre généralisation en dimension supérieure est laconjecture de Bombieri-Lang(en)selon laquelle, siXest une variété « pseudo-canonique » (c'est-à-dire une variété générale) sur un corps de nombresk,alorsX(k) n'est pasdensedansXau sens de latopologie de Zariski.Des conjectures encore plus générales ont été énoncées parPaul Vojta.

Notes et références

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  1. ↑Faltings 1983.
  2. ↑Faltings 1984.
  3. ↑Deligne 1985.
  4. ↑aetbParshin 1968.
  5. ↑Vojta 1991.
  6. ↑Faltings 1991.
  7. ↑Bombieri 1990
  8. ↑Bombieri et Gubler 2006.
  9. ↑Lang 1997.
  10. ↑Manin 1963.
  11. ↑Coleman 1990.
  12. ↑Grauert 1965.
  13. ↑Lawrence et Venkatesh 2018.
  14. ↑Faltings 1991.
  15. ↑Faltings 1994.

Bibliographie

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Livres et exposés

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Articles

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