Convention de sommation d'Einstein

Enmathématiqueset plus spécialement dans les applications de l'algèbre linéaireenphysique,laconvention de sommation d'Einsteinounotation d'Einsteinest un raccourci de notation utile pour la manipulation des équations concernant des coordonnées.

Selon cette convention, quand l'indice d'une variable apparaît deux fois dans un terme, on sous-entend la sommation sur toutes les valeurs que peut prendre cet indice. Cet indice est ditmuet. On le fait figurer une fois en position supérieure (grandeur ou indicecontravariant), une fois en position inférieure (grandeur ou indicecovariant).

Un indice non muet est ditindice réelet ne peut apparaître qu'une seule fois dans le terme en question. Généralement, ces indices sont 1, 2 et 3 pour les calculs dans l'espace euclidienou 0, 1, 2 et 3 ou 1, 2, 3 et 4 pour les calculs dans unespace de Minkowski,mais ils peuvent avoir d'autres valeurs ou même, dans certaines applications, représenter unensemble infini.En trois dimensions,

$y=c_{i}x^{i}\,$

signifie donc

$y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}.$

Enrelativité générale,l'alphabet latinet l'alphabet grecsont respectivement utilisés pour distinguer si la somme porte sur 1, 2 et 3 ou 0, 1, 2, et 3. Par exemple les indicesi,j,…sont utilisés pour 1, 2, 3 etμ,ν,pour 0, 1, 2, 3.

Lorsque les indices se rapportent à destenseurs,comme en relativité générale, les indices muets doivent apparaître une fois en haut et une fois en bas; dans d'autres applications une telle distinction n'existe pas.

Une notation apparentée est lanotation en indice abstrait.

Définitions

Traditionnellement, on s'intéresse à unespace vectorielVdedimensionfinienet unebasesurVdont les vecteurs sont notés$\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots,\mathbf {e} _{n}$. Dans ce cas, un vecteur$\mathbf {v}$dansVpossède une représentation dans cette base qui s'exprime à l'aide de coordonnées notées$v^{1},v^{2},\dots,v^{n}$,ceci conformément à la relation suivante, dite règle de base:

$\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}v^{i}\mathbf {e} _{i}$

Avec la convention de sommation d'Einstein, elle s'écrit simplement

$\mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}$

Dans cette expression, on sous-entend que le terme de droite est additionné pour toutes les valeurs deiallant de 1 àn,car l'indiceiapparaît deux fois.

L'indiceiest ditmuetcar le résultat n'en dépend pas. Par exemple, pour exprimer la même chose on pourrait aussi écrire:

$\mathbf {v} =v^{k}\mathbf {e} _{k}$

Dans les contextes dans lesquels l'indice doit apparaître une fois en bas et une fois en haut, les vecteurs de base s'écrivent$\mathbf {e} _{i}$mais les coordonnées s'écrivent$v^{i}$.La règle de base s'écrit alors:

$\mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}$.

L'intérêt de la notation d'Einstein est qu'elle s'applique à d'autres espaces vectoriels construits à partir deVen utilisant leproduit tensorielet ladualité. Par exemple,$V\otimes V$,le produit tensoriel deVpar lui-même, a une base constituée detenseursde la forme$\mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$. Tout tenseurTdans$V\otimes V$peut s'écrire:

$T=T^{ij}\mathbf {e} _{ij}$.

V*, le dual deV,a une base$\mathbf {e} ^{1\ast },\mathbf {e} ^{2\ast },\dots,\mathbf {e} ^{n\ast }$, ditebase dualede la base$\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots,\mathbf {e} _{n}$,définie par la règle:

$\mathbf {e} ^{i\ast }(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}$

où$\delta _{j}^{i}$est lesymbole de Kronecker:$\delta _{j}^{i}$vaut 1 sii=jet 0 sinon.

Ici nous avons utilisé un indice supérieur pour la base duale, les indices des coordonnées doivent alors apparaître en bas. Dans ce cas, si$\mathbf {L}$est un élément deV*, alors:

$\mathbf {L} =L_{i}\mathbf {e} ^{i}$

Si au contraire, tous les indices doivent être placés en bas, alors une lettre différente doit être utilisée pour désigner la base duale. Par exemple:

$\mathbf {d} _{i}=\mathbf {e} ^{i}$

L'utilité de la notation d'Einstein apparaît surtout dans les formules et les équations qui ne font pas mention de la base choisie. Par exemple, avec$\mathbf {L}$et$\mathbf {v}$défini comme plus haut:

$\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} =L_{i}v^{i}$.

Ceci est vrai pour toutes les bases.

Les sections suivantes contiennent d'autres exemples de telles équations.

Algèbre vectorielle élémentaire et algèbre matricielle

SoitVun espace vectoriel dans$\mathbb {R} ^{n}$,alors il existe une base standard pourVdans laquelle$\mathbf {e} _{i}$est (0,…,0,1,0,…,0), avec le 1 à la positioni. Dans ce cas, lesmatricesn×npeuvent être vues comme des éléments de$V^{*}\otimes V$. On peut aussi considérer les vecteurs dansVcomme desvecteurs colonnesou comme des matricesn× 1 et les éléments deV* comme des vecteurs rangées ou des matrices 1 ×n.

Dans les exemples qui suivent, tous les indices apparaîtront en position haute. C'est parce queVa un produit interne et que la base choisie est orthonormale, comme cela est expliqué dans la section suivante.

SiHest une matrice etvest un vecteur colonne, alorsHvest un autre vecteur colonne. Pour définirw=Hv,on peut écrire:

$w^{i}=H_{j}^{i}v^{j}\,$

L'indice muetjapparaît deux fois dans le terme de droite, tandis queiapparaît une seule fois dans chaque terme.

En utilisant ladistributivité,$H(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=H\mathbf {u} +H\mathbf {v}$peut s'écrire:

$H_{j}^{i}(u^{j}+v^{j})=H_{j}^{i}u^{j}+H_{j}^{i}v^{j}\,$

Cet exemple montre lapreuvede la loi de distributivité, car l'équation des indices ne fait que directement référence aux nombres réels$H_{j}^{i}$,$u^{j}$et$v^{j}$et sa validité découle directement de celle de la distributivité de ces nombres.

Latransposéed'un vecteur colonne est unvecteur ligneavec les mêmes composantes et la transposée d'une matrice est une autre matrice dont les composantes sont données en inversant les indices. Supposons que nous sommes intéressés par$w$,le produit de$^{t}v$par$^{t}H$. Alors:

$w_{i}=v_{j}H_{i}^{j}\,$

Donc pour exprimer que la transposée d'un produit inverse l'ordre de la multiplication, nous pouvons écrire:

$H_{j}^{i}v^{j}=v_{j}H_{i}^{j}\,$

À nouveau, ceci découle directement de lacommutativitédesnombres réels.

Leproduit scalairede deux vecteursuetvpeut s'écrire:

$u\cdot v=u_{i}v^{i}\,$

Sin= 3, nous pouvons aussi écrire leproduit vectorielen utilisant lesymbole de Levi-Civita. Par exemple, siwestu× 'v,alors:

$w^{i}=\epsilon _{jk}^{i}u^{j}v^{k}\,$

Ici le symbole de Levi-Civita$\epsilon _{ijk}$est le tenseur totalement anti-symétrique tel que$\epsilon _{123}=1$.Concrètement:

• $\epsilon _{ijk}=1$si (i,j,k) est unepermutationpaire de (1,2,3);
• $\epsilon _{ijk}=-1$si (i,j,k) est une permutation impaire de (1,2,3);
• $\epsilon _{ijk}=0$si (i,j,k) n'est pas une permutation de (1,2,3) (s'il y a deux fois le même indice).

Exemple

Soit à démontrer l'identité vectorielle suivante:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}$

Avecabetcdes vecteurs quelconques. En notation d'Einstein, on a:

$\left(\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right)_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}a_{j}{\epsilon _{k}}^{lm}b_{l}c_{m}$

En réarrangeant les termes et en permutant les indices, on obtient l'expression équivalente suivante:

${{{\epsilon }^{k}}_{i}}^{j}{\epsilon _{k}}^{lm}a_{j}b_{l}c_{m}={\delta _{i}}^{l}{\delta ^{jm}}a_{j}b_{l}c_{m}-{\delta _{i}}^{m}{\delta ^{jl}}a_{j}b_{l}c_{m}$

En utilisant les propriétés dusymbole de Levi-Civita.On a alors en réorganisant et en simplifiant les termes:

$b_{i}a^{m}c_{m}-a_{j}b^{j}c_{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )b_{i}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )c_{i}$

On a donc finalement:

$\left(\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right)_{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )b_{i}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )c_{i}$

En explicitant l'indice i, on retrouve l'identité.

Cas sans produit interne

Dans les exemples ci-dessus, l'on peut remarquer que les formules sont toujours valides si les indices muets sont présents une fois comme indice supérieur et une fois comme indice inférieur, sauf dans l'exemple concernant la transposée. C'est parce que ces exemples utilisent implicitement le produit interne dans un espace euclidien (produit scalaire) alors que l'exemple avec le transposée ne le fait pas.

Dans certaines applications, il n'y a pas de produit interne surV. Dans ces cas, requérir que les indices muets doivent apparaître une fois en haut et une fois en bas peut aider à éviter des erreurs, un peu comme l'analyse dimensionnellepermet d'éviter les erreurs d'unités. Plus significativement, le produit interne peut être l'objet principal de l'étude et ne devrait pas être supprimé de la notation; c'est le cas, par exemple, des équations de larelativité générale. Dans ces cas, la différence entre la position d'un indice peut-être cruciale.

Quand on se réfère explicitement au produit interne, ces composantes sont souvent notées:$g_{ij}$(cfr.tenseur métrique). On notera que$g_{ij}=g_{ji}$. La formule pour le produit scalaire devient alors:

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =g_{ij}u^{i}v^{j}$

On peut aussiabaisser l'indiceen définissant:

$u_{i}=g_{ij}u^{j}\,$,

ce qui donne:

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{i}v^{i}$

Ici, nous avons implicitement utilisé le fait que$g_{ij}=g_{ji}$.

De façon similaire, nous pouvonsélever un indiceen utilisant le produit interne correspondant surV*. Le produit interne est alors défini par$g^{ij}$,qui en tant que matrice est l'inverse de$g_{ij}$. En élevant un indice puis en l'abaissant (ou le contraire), on retrouve ce que l'on avait au départ. En élevant leidans$g_{ij}$,alors on obtient$d_{j}^{i}$et en élevant lejdans$d_{j}^{i}$on obtient$g^{ij}$.

Si la base choisie pourVestorthonormale,alors$g_{ij}=g^{ij}$et$u_{i}=u^{i}$. Dans ce cas, on retrouve la formule pour le produit scalaire de la section précédente. Mais si la base n'est pas orthonormale, cela ne sera plus vrai. Ainsi, en étudiant le produit interne sans pouvoir savoir si la base est orthonormale, il faut se référer explicitement à$g_{ij}$. De plus, si le produit interne n'est pasdéfini-positif,comme c'est le cas en relativité générale,$g_{ij}=d_{ji}$ne sera pas vrai même si la base est orthonormale car on aura parfois -1 au lieu de 1 quandi=j.

Application

En informatique, la sommation d'Einstein permet d'effectuer certaines opérations matricielles de façon très efficace en réduisant le besoin en mémoire de stockage temporaire. Elle est notamment implantée dans la fonction "einsum" deNumPyqui permet par exemple d'implanter le calcul d'unematrice de Focken trois lignes de code plutôt que 4 boucles imbriquées.