Coquaternion

Enmathématiqueset enalgèbre abstraite,uncoquaternionest une idée mise en avant parJames Cockleen1849.Comme lesquaternionsdeHamiltoninventés en1843,ils forment unespace vectorielréel à quatredimensionsmuni d'une opération multiplicative. À la différence de l'algèbre des quaternions, les coquaternions peuvent avoir desdiviseurs de zéro,des élémentsidempotentsounilpotents.

L'ensemble$\{1,i,j,k\}\,$forme unebase.Les produits de coquaternion de ces éléments sont

$ij=k=-ji,~~jk=-i=-kj,~~ki=j=-ik\,$

$i^{2}=-1,~~j^{2}=+1,~~k^{2}=+1\,$.

Avec ces produits l'ensemble$\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}\,$estisomorpheaugroupe diédrald'un carré.

Uncoquaternion

$q~=w+xi+yj+zk\,$

possède unconjugué

$q^{*}~=w-xi-yj-zk$et unmodulemultiplicatif, qui se comporte en partie comme unenorme (arithmétique):

$qq^{*}~=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}\,$.

Lorsque le module est non nul, alorsqpossède uninverse.

$U=\{q:qq^{*}\neq 0\}$

est l'ensemble desunités.L'ensemblePde tous les coquaternions forme unanneau(P,+, •) dont legroupe des unitésest (U,•).

Soit

$q=w+xi+yj+zk,~~u=w+xi,~~v=y+zi$

oùuetvsont desnombres complexesordinaires. Alors la matrice complexe

${\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}$,

où$u^{*}=w-xi\,$et$v^{*}=y-zi\,$(conjuguéscomplexes deuetv), représententqdans l'anneau des matrices dans le sens que la multiplication des coquaternions se comporte de la même manière que lamultiplication matricielle. Par exemple, ledéterminantde cette matrice$uu^{*}-vv^{*}=qq^{*}\,$;l'apparition de ce signe moins où se trouve un plus dans ℍ conduit au nom alternatifquaternion fendupour un coquaternion, par analogie avec lescomplexes fendus. Historiquement, les coquaternions ont précédé l'algèbre des matrices deCayley;les coquaternions (dans le prolongement des quaternions et destessarines) évoquent unealgèbre linéaireplus large.

Représentation géométrique

Soit

$r(\theta )=j\cos \theta +k\sin \theta \,$(ici$\theta \,$est aussi fondamental que l'azimut)

$p(a,r)=i\sinh a+r\cosh a\,$

$v(a,r)=i\cosh a+r\sinh a\,$

$E={r\in P:r=r(\theta ),0\leq \theta <2\pi }\,$

$J={p(a,r)\in P:a\in R,r\in E}\,$caténoïde

$I={v(a,r)\in P:a\in R,r\in E}\,$hyperboloïdeà deux nappes

Maintenant, il est facile de vérifier que

${q\in P:q^{2}=+1}=J\cup {1,-1}\,$

et que

${q\in P:q^{2}=-1}=I\,$.

Ces égalités d'ensembles signifient que lorsque$p\in J\,$alors le plan

${x+yp:x,y\in R}=D_{p}\,$

est unsous-anneaudeP,c’est-à-dire isomorphe au plan desnombres complexes fenduslorsquevest dansIalors

${x+yv:x,y\in R}=C_{v}\,$

est un sous-anneau planaire dePqui est isomorphe auplan complexeordinaireC.

Pour chaque$r\in E\,$,$(r+i)^{2}=0=(r-i)^{2}\,$c’est-à-dire que$r+i\,$et$r-i\,$sont nilpotents. Le plan$N={x+y(r+i):x,y\in R}\,$est un sous-anneau dePqui est isomorphe auxnombres duaux.Puisque chaque coquaternion doit relier dans$D_{p}\,$,un$C_{v}\,$,ou un planN,ces plans profilentP.Par exemple, lasphère unité

${\mathcal {SU}}(1,1)={q\in {\mathcal {P}}:qq^{*}=1}\,$

est formée des «cercles unités» dans les plans qui constituentP.Dans$D_{p}\,$,c'est unehyperbole,dansNle cercle unité est une paire de droites parallèles, tandis que dans$C_{v}\,$,c'est vraiment un cercle (bien qu'elle apparaisse elliptique en raison de la compression par v).

Orthogonalité plane

Lorsque le coquaternion$q=w+xi+yj+zk\,$,alors lapartie réelledeqestw.
Définition: pour les coquaternions différents de zéroqett,nous écrivons$q\bot t\,$lorsque la partie réelle du produit$qt^{*}\,$est zéro.

• Pour chaque$v\in I\,$,si$q,t\in C_{v}\,$,alors$q\bot t\,$signifie que lesdemi-droitesde 0 àqettsontperpendiculaires.
• Pour chaque$p\in J\,$,si$q,t\in D_{p}\,$,alors$q\bot t\,$signifie que ces deux points sonthyperboliquement orthogonaux(en).
• Pour chaque$r\in E\,$et chaque$a\in R\,$,$p=p(a,r)\,$et$v=v(a,r)\,$satisfont$p\bot v\,$.
• Siuest une unité dans l'anneau des coquaternions, alors$q\bot t\,$implique$qu\bot tu\,$.

Preuve:$(qu)(tu)^{*}=(uu^{*})qt^{*}\,$découle de$(tu)^{*}=u^{*}t^{*}\,$,un fait basé sur l'anti-commutativitédes vecteurs.

Géométrie de la contre-sphère

Prenons$m=x+yi+zr\,$où$r~=j\cos \theta +k\sin \theta \,$.Fixons theta ($\theta \,$) et supposons

$mm^{*}=-1=x_{2}+y_{2}-z_{2}\,$.

Puisque les points sur la contre-sphèredoivent se trouver sur un contre-cercle dans un certain plan $D_{p}\subset P\,$,mpeut être écrit, pour un certain$p\in J\,$

$m~=p\exp {(bp)}=\sinh b+p\cosh b=\sinh b+i\sinh a~\cosh b+r\cosh a~\cosh b\,$.

Soit$\varphi \,$l'angle entre les hyperboles derjusqu'àpetm.Cet angle peut être vu, dans le plantangentà la contre-sphère àr,par projection:

$\tan \varphi ={\frac {x}{y}}={\frac {\sinh b}{\sinh a~\cosh b}}={\frac {\tanh b}{\sinh a}}$.

Commebpeut devenir grand, tanhbest proche de un. Alors$\tan \varphi ={\frac {1}{\sinh a}}\,$.Cet aspect de l'angle de parallélisme(en)dans un méridienθtend à faire voir la variété de la contre-sphère comme unespace métriqueS¹× H²où H²est leplan hyperbolique.

Application à la cinématique

En utilisant les bases données ci-dessus, on peut montrer que l'application

$q\rightarrow u^{-1}~qu\,$

est une rotation ordinaire ou hyperbolique suivant que

$u=\exp(av)\,$,$v\in I\,$ou$u=\exp(ap)\,$,$p\in J\,$.

Ces applications sont des projections dans ladroite projective(en)des coquaternions. La collection de ces applications produit une certaine relation avec legroupe de Lorentzpuisqu'il est aussi composé des rotations ordinaires et hyperboliques. Parmi les particularités de cette approche par rapport à la cinématique relativiste, on trouve le profilanisotrope,comparé auxquaternions hyperboliques.

Le frein à l'usage des coquaternions pour les modèles cinématiques peut s'expliquer par lasignaturede l'espace-temps(2, 2) qui est présumé avoir comme signature (1, 3) ou (3, 1). Néanmoins, une cinématique relativiste plus claire apparait lorsqu'un point de la contre-sphère est utilisé pour représenter unréférentiel galiléen.Si$tt^{*}=-1\,$, alors, il existe un$p\in J\,$tel que$t\in D_{p}\,$,et un$a\in R\,$tel que$t=p\exp(ap)\,$.Alors, si$u=\exp(ap)\,$et$s=ir\,$,l'ensemble${t,u,v,s}\,$est une base orthogonale issue det,l'orthogonalité se poursuit à travers les applications des rotations ordinaires ou hyperboliques.

Histoire

Les coquaternions ont été d'abord identifiés et nommés dans leLondon-Edinburgh-DublinPhilosophical Magazine,series 3, volume35,p.434,5 en1849par James Cockle sous le titre "On Systems of Algebra involving more than one Imaginary" (Des systèmes d'algèbre impliquant plus qu'un imaginaire). Lors de la rencontre à Paris en1900duCongrès international des mathématiciens,Alexander Macfarlaneappela l'algèbre, lesystème de quaternions exsphéricauxcomme il en a décrit l'aspect. MacFarlane examina un élément différentiel de la sous-variété {$q\in P\,$:$qq^{*}=-1$} (la contre-sphère).

La sphère elle-même a été traitée en allemand par Hans Beck en1910(Transactions of the American Mathematical Society,vol. 28; par exemple le groupe diédral apparaît à la page 419). En1942et1947sont parues deux mentions brèves sur la structure des coquaternions dans lesAnnals of Mathematics:

• A.A. Albert, « Quadratic Forms permitting Composition », vol. 43,p.161-177
• V. Bargmann, « Representations of the Lorentz Group », vol. 48,p.568-640

Références

(en)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé«Split-quaternion»(voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Dorje C.BrodyetEva-MariaGraefe,«On complexified mechanics and coquaternions»,Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical,vol.44,n^o1,‎2011(DOI10.1088/1751-8113/44/7/072001).
• StefanIvanovet SimeonZamkovoy,«Parahermitian and paraquaternionic manifolds»,Differential Geometry and its Applications,n^o23,‎2005,p.205-234(MR2158044,arXivmath.DG/0310415).
• ThomasMohaupt,New developments in special geometry,2006(arXivhep-th/0602171).
• M.Özdemir,«The roots of a split quaternion»,Applied Mathematics Letters,vol.22,‎2009,p.258-63(lire en ligne).
• M.Özdemiret A.A.Ergin,«Rotations with timelike quaternions in Minkowski 3-space»,Journal of Geometry and Physics,n^o56,‎2006,p.322-36(lire en ligne).
• AnatoliyPogoruyet Ramon MRodrigues-Dagnino,«Some algebraic and analytical properties of coquaternion algebra»,Advances in Applied Clifford Algebras,‎2008(lire en ligne).