Cosinus

Fonction cosinus

Représentation graphique sur un intervalle de deux périodes de la fonction cosinus.

Notation	$\cos$
Réciproque	$\arccos$(sur$[0;\pi ]$)
Dérivée	$-\sin$
Primitives	$\sin +{\text{ cte}}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	$\mathbb {R}$
Ensemble image	$[-1;1]$
Parité	paire
Périodicité	$2\pi$

Valeurs particulières

Valeur en zéro	1
Maxima	1
Minima	-1

Particularités

Zéros	${\frac {\pi }{2}}+k\pi$avec$k\in \mathbb {Z}$
Points critiques	$k\pi$avec$k\in \mathbb {Z}$
Points d'inflexion	${\frac {\pi }{2}}+k\pi$avec$k\in \mathbb {Z}$
Points fixes	Nombre de Dottie

Enmathématiques,lecosinusd'unanglenon droit d'untriangle rectangleest le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse.On peut définir plus généralement le cosinus de l'angle entre deux vecteurs d'unespace euclidien.

Lafonction cosinusest unefonction mathématiquepairede variable réelle. Elle est habituellement citée en deuxième parmi lesfonctions trigonométriques,la première étant lafonction sinus.Elle se déduit de cette dernière par la relation:$\cos x=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$(le cosinus est le sinus ducomplémentaire).

Les fonctions trigonométriques sont habituellement définies à partir ducercle unité,mais des définitions plus modernes les caractérisent par desséries entièresou comme solutions d'équations différentiellesparticulières, permettant leur extension à des valeurs arbitraires et auxnombres complexes.

La fonction cosinus est utilisée couramment pourmodéliserdesphénomènes périodiquescomme lesondes sonoresoulumineusesou encore les variations de température au cours de l'année.

Définitions

Cosinus d'un angle géométrique

Cosinus  = Côté adjacent (noté a) / Hypoténuse (notéh).

Pour définir le cosinus d'unangle${\widehat {A}}$,noté$\cos {\widehat {A}}$,considérons untriangle rectanglearbitraire qui contient l'angle${\widehat {A}}$.

Les côtés du triangle rectangle sont appelés:

• l’hypoténuse:c'est le côté opposé à l'angle droitet le côté le plus long du triangle;
• lecôté opposé:c'est le côté opposé à l'angle${\widehat {A}}$qui nous intéresse;
• lecôté adjacent:c'est le côté qui est une jambe de l'angle${\widehat {A}}$,qui n'est pas l'hypoténuse.

On notera:

$h$:la longueur de l'hypoténuse;

$a$:la longueur du côté adjacent.

Alors:

$\cos {\widehat {A}}={\frac {a}{h}}$.

Ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle choisi, puisque tous les triangles rectangles sontsemblables.

Cosinus de l'angle entre deux vecteurs d'un espace euclidien

Étant donné deux vecteurs non nuls${\vec {u}},{\vec {v}}$d'un espace euclidien, on définit le cosinus de l'angle${\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}}$par la formule: $$\cos {\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}}={\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{\lVert {\vec {u}}\rVert \lVert {\vec {v}}\rVert }}$$ où${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$est leproduit scalairede${\vec {u}}{\text{ et }}{\vec {v}}$et$\lVert {\vec {u}}\rVert ={\sqrt {{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}$la norme de${\vec {u}}$.

On retrouve des propriétés similaires au cosinus défini par la trigonométrie grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Fonction cosinus

Cercle trigonométrique avec indication du cosinus et du sinus.

À partir du cercle unité

Leplan euclidienétant rapporté à unsystème de coordonnées cartésiennes$(Oxy)$,on désigne parcercle unitéoucercle trigonométriquele cercle de rayon 1 centré à l'origine$O$.

Étant donné un réel$\omega$,Lademi-droited'origine$O$$(Ou)$faisant unangle orientéde mesure$\omega$avec$(Ox)$coupe le cercle en un point$M$;par définition,$\cos \omega$est l'abscissede$M$.

Animation montrant le graphique de$y=\cos x$(où$x$est l'angle en radians) sur le cercle unité.

À partir des séries entières

La fonction cosinus peut être définie à partir de lasérie entière,qui converge pour tout réel$x$:

$\cos x=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}$.

Autrement dit, le cosinus de$x$est défini comme lapartie réellede lasérie exponentielle de$\mathrm {i} x$:

$\cos x={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} x}+\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}$.

Cette définition, jointe à celle analogue dusinus(commepartie imaginaire), est équivalente à laformule d'Euler.

Comme solution d'une équation différentielle

La série entière précédente est l'unique solution de l'équation différentiellesuivante qui constitue donc une définition équivalente de la fonction cosinus:

${\begin{cases}\forall x\in \mathbb {R},y''(x)=-y(x)\\y(0)=1\\y'(0)=0\end{cases}}$.

Propriétés

Périodicité

La fonction cosinus estpériodique,de période$2\pi$:

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \cos(x+2\pi )=\cos x$.

Cette propriété découle directement de la définition à partir du cercle unité (voirsupra).

Plus précisément, deuxnombres réelsont le même cosinus si et seulement si leur somme ou leur différence appartient à$2\pi \mathbb {Z}$.

Une autre approcheconsiste à partir de lasérie entière de l’exponentielle,et à montrer que cette fonction est périodique de période$\mathrm {i} T$pour un certain$T>0$.

Parité

La fonction cosinus estpaire:

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \cos(-x)=\cos x$.

Cette propriété se déduit en remarquant que la définition à partir du cercle unité est symétrique par rapport à l'axe des abscisses, et apparaît dans le développement en série entière, qui ne contient que des termes de degrés pairs.

Réciproque

La fonction cosinus est périodique donc noninjective.Aussi, on considère sarestrictionà$[0;\pi ]$qui, elle, est bienbijectivede$[0;\pi ]$vers$[-1;1]$,et l'on définit alors lafonction réciproquearc cosinus:

${\begin{matrix}\mathrm {arccos}:&[-1,1]&\to &[0,\pi ]\\&x&\mapsto &\arccos x\end{matrix}}$

qui vérifie donc

$\forall x\in [0,\pi ]\quad \arccos(\cos x)=x$;

$\forall x\in [-1,1]\quad \cos(\arccos x)=x$.

Dérivée

Ladérivéede la fonction cosinus est l'opposée de la fonction sinus:

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \cos 'x=-\sin x$.

Primitive

Uneprimitivede$\cos$est$\sin$:

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \sin 'x=\cos x$,à laquelle on peut ajouter une constante$C$.

L'ensemble des primitives de la fonction cosinus est donc l'ensemble des fonctions$F$telles que:$F(x)=\sin x+C$,$C\in \mathbb {R}$.

Limites

Pour tout réel$x$,la fonction cosinus estcontinueau point$x$,donc sa limite en ce point est$\cos x$.

Du fait de sa périodicité, elle n'a pas de limite en$\pm \infty$.

Valeurs remarquables

Quelques angles communs ($\theta$) sur lecercle unité.Les angles sont indiqués endegréset enradians,ainsi que leur intersection avec le cercle unité ($\cos \theta$,$\sin \theta$).

Les valeurs figurant dans le tableau ci-dessous correspondent à des angles pour lesquels une expression à l'aide de racines carrées est possible, et plus précisément pour lesquels lethéorème de Wantzels'applique; pour plus de détails, voir l'articlePolynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques.

$x$(angle)			$\cos x$
Degrés	Radians	Grades	Exacte	Décimale
0	0	0	1	1
180	$\pi$	200	-1	-1
15	${\frac {\pi }{12}}$	162⁄3	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	0,965925826289068
165	${\frac {11\pi }{12}}$	183 1/3	$-{\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	-0,965925826289068
30	${\frac {\pi }{6}}$	331⁄3	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	0,866025403784439
150	${\frac {5\pi }{6}}$	1662⁄3	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	-0,866025403784439
45	${\frac {\pi }{4}}$	50	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	0,707106781186548
135	${\frac {3\pi }{4}}$	150	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	-0,707106781186548
60	${\frac {\pi }{3}}$	662⁄3	${\frac {1}{2}}$	0,5
120	${\frac {2\pi }{3}}$	1331⁄3	$-{\frac {1}{2}}$	-0,5
75	${\frac {5\pi }{12}}$	831⁄3	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	0,258819045102521
105	${\frac {7\pi }{12}}$	1162⁄3	$-{\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	-0,258819045102521
90	${\frac {\pi }{2}}$	100	0	0
36	${\frac {\pi }{5}}$	40	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$	0,8090169944
54	${\frac {3\pi }{10}}$	60	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	0,5877852523
126	${\frac {7\pi }{10}}$	140	$-{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	-0,5877852523

La solution de l'équation$\cos x=x$estipso factounnombre remarquable,appelénombre de Dottie.

Relation avec les nombres complexes

Le cosinus est utilisé pour déterminer lapartie réelled'unnombre complexe$z$donné encoordonnées polaires,par son module$r$et son argument$\varphi$:

$\Re (z)=\Re \left(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\right)=r\cos \varphi$.

Cosinus avec un argument complexe

La fonction cosinus peut s'étendre sur ledomaine complexe,où elle est unefonction entière:

$\forall z\in \mathbb {C} \quad \cos z=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{2}}$.

On a alors:$\cos z=\cos \Re (z)\cosh \Im (z)-\mathrm {i} \sin \Re (z)\sinh \Im (z)$.

Démonstration

Pour$z=x+\mathrm {i} y,x,y$réels,

$\cos z={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x-y}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x+y}\right]={\frac {1}{2}}\mathrm {e} ^{-y}\left[\cos x+\mathrm {i} \sin x\right]+{\frac {1}{2}}\mathrm {e} ^{y}\left[\cos x-\mathrm {i} \sin x\right]=\cos x\cosh y-\mathrm {i} \sin x\sinh y$.

En particulier, pour$y\in \mathbb {R}$,on a$\cos(\mathrm {i} y)=\cosh y$,ce qui montre que la fonction cosinuscroît exponentiellementsur l'axe imaginaire.

Liens externes

• (en)Eric W. Weisstein,«Cosine», surMathWorld

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes:

  • Britannica
  • Den Store Danske Encyklopædi
  • Enciclopedia De Agostini
  • Treccani