Courbe quintique

Enmathématiquesunecourbe quintiqueest unecourbealgébriqueplanededegré5. Elle peut être définie par unpolynômede la forme:

$Ax^{5}+By^{5}+Cx^{4}y+Dxy^{4}+Ex^{3}y^{2}+Fx^{2}y^{3}+Gx^{4}+Hy^{4}+Ix^{3}y+Jxy^{3}+Kx^{2}y^{2}+Lx^{3}+My^{3}+Nx^{2}y+Oxy^{2}+Px^{2}+Qy^{2}+Rxy+Sx+Ty+U=0$

dont les coefficients sont dans un corps commutatif donné. L'équation a 21 coefficients, mais la courbe ne change pas si on les multiplie tous par une constante non nulle. On peut donc fixerUà1et se contenter de 20 coefficients. Il y a donc une infinité de quintiques, et chacune d'elles est identifiée par son passage par 20 points génériques.

Une courbe quintique à 28 bitangentes

Caractéristiques

Une courbe quintique (n= 5) définie sur le corps des réels et irréductible peut avoir au maximum:

• (n– 1)(n– 2)/2 + 1 = 7composantes connexes,d'après lethéorème de Harnack.

Par ailleurs, lesformules de Plückermontrent qu'elle peut avoir au plus:

• (n– 1)(n– 2)/2 = 6 points doubles;
• n(n– 2)(n– 3)(n+ 3)/2 = 120 bitangentes, c'est-à-dire de droites qui sont des tangentes à la courbe en 2 points;
• 3n(n– 2) = 45points d'inflexion.

Applications

Les courbes quintiques apparaissent dans l'étude des problèmes de courbes à réaction constante: quelle doit-être la forme de la courbe suivie par un point dans un champ de gravitation de sorte que la réaction du point sur la courbe soit constante?

Exemples de courbes quintiques définies sur le corps des réels

• Courbe de Burnside

  $x^{5}-y^{2}-x=0$

• Courbe kératoïde

  $x^{5}+x^{2}y-y^{2}=0$

• Courbe en étrier(it)

  $y^{2}(y-1)(y-2)(y+5)-(x^{2}-1)^{2}=0$

• Courbe en quilles

  $25x^{5}+45y^{5}+68x^{4}-155y^{4}-12x^{3}+175y^{3}-35x^{2}-65y^{2}+x+4=0$

• Courbe de l'Hospital

  $(x^{2}+y^{2})^{2}(y-2)+y(4x^{4}+x^{2}+y^{2})=0$

• Courbe de Mutasci

  $x^{4}(x-1)+y^{4}(y-1)-xy=0$

• Courbe sinusoïdale

  $x^{5}+y^{5}-x=0$

• Maracas de Chioppa

  $4y^{5}+24x^{4}y+35x^{2}y^{3}-21x^{4}-45x^{2}y^{2}-40y^{3}-46x^{2}y-13y^{2}+57y+36=0$

• Butterfly Catastrophe

  $36864y^{5}+84375x^{4}-24576a^{2}y^{4}+144000ax^{2}y^{2}+4096a^{4}y^{3}-86400a^{3}x^{2}y+13824a^{5}x^{2}=0$

• Courbe à bulbe

  $y^{5}+5(x^{4}-y^{4}-1)=0$

• Feuille de Patarino

  $x^{2}(13y^{3}-5x^{2}+33y^{2}+36y+14)+y(2x^{4}+5y^{4}+15y^{3}+12y^{2}-10y-16)-5=0$

• Courbe en tulipe

  $x^{2}(9x^{2}-8y^{3}+4y^{2}+8)+y(9x^{4}+3y^{4}-7y^{3}+4y^{2}+5y-8)-5=0$

• Courbe en gouttes

  $5y^{5}-x^{4}-2y^{3}+2x^{2}-1=0$

• Courbe à point triple

  $x^{5}+y^{5}+xy(x-y)=0$

• Impulsion unique

  $y^{5}+100x^{4}y+20x^{2}y^{3}-100x+10y-1000=0$

• Double impulsion

  $y^{5}+100x^{4}y+20x^{2}y^{3}+100x=0$

• Courbe à trois nœuds coulants

  $(x^{2}-y^{2})(y^{2}-1)(2y-3)-y(x^{2}+y^{2}-2y)^{2}=0$

• Courbe avec deuxpoints de rebroussementet deux croisements

  $x^{2}(x^{2}-2)+2y^{2}(y^{3}+y^{2}-1)+2x^{2}y(x^{2}-y^{2}-1)+1=0$

• Courbe à 36 bitangentes

  $20y(x^{2}+y^{2}-1)(5x^{2}+y^{2}-2)+1=0$

• Courbe avec 10 inflexions

  $x(xy^{3}-14xy+1)+y(y^{4}+10x^{4}-6y^{2}+4)=0$

• Courbe à six composantes connexes

  $(7y^{3}-6x^{2}y-8x^{2}+7y^{2}+4)(10x^{2}+6y^{2}+4y-9)-1=0$

• Courbe à six croisements

  $4x^{2}(3x^{3}+2x^{2}-13x+8)-36y^{2}(y^{3}-2y^{2}-4y+8)+3x^{2}y^{2}(11x-10y+39)-2xy(2x^{3}-18y^{3}+29x^{2}+57y^{2}+59x+3y-90)=0$

Illustrations

• 
  Courbe de Burnside
• 
  Courbe kératoïde
• 
  Courbe en étrier(it)
• 
  Courbe en quilles
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  Courbe de l'Hospital
• 
  Courbe de Mutasci
• 
  Courbe sinusoïdale
• 
  Maracas de Chioppa
• 
  Butterfly Catastrophe
• 
  Courbe à bulbe
• 
  Feuille de Patarino
• 
  Courbe en tulipe
• 
  Courbe en gouttes
• 
  Courbe à point triple
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  Impulsion unique
• 
  Double impulsion
• 
  Courbe avec deuxpoints de rebroussementet deux croisements
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  Courbe à 36 bitangentes
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  Courbe avec 10 inflexions
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  Courbe à six composantes connexes
• 
  Courbe à six croisements

Notes et références

(it)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en italien intitulé«Curva quintica»(voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Équation quintique
• Courbe quartique
• Courbe algébrique réelle plane

Liens externes

• «Quintique», surmathcurve.com(site de courbes et surfaces maintenu par Robert Ferreol)
• (en)Eric W. Weisstein,«Quintic Curve», surMathWorld(brève définition des courbes quintiques)
• (it)«Grafico quintica», surascifoni.com(exécutablepour tracer des courbes quintiques)