Diviseur

Les diviseurs de 10 représentés à l'aide deréglettes Cuisenaire:1, 2, 5 et 10

Le motdiviseura deux significations enmathématiques:

• Unedivisionest effectuée à partir d’un “dividende”et d’un “diviseur”,et une fois l’opération terminée, leproduitdu “quotient”par lediviseuraugmenté du “reste”est égal au dividende.
• Enarithmétique,undiviseurd'unentier$n$est un entier$d$tel qu'il existe un autre entier$k$tel que$n=dk$.Par exemple$2$est un diviseur de$10$car$2\times 5=10$.La notion de diviseur est liée à celle demultiple,car si$d$divise$n$alors$n$est un multiple de$d$,et à la notion dedivisibilité.

Ces deux notions sont liées. Si$a$est un diviseur de$b$au sens arithmétique et${\textstyle b\neq 0}$,alors le reste de la division euclidienne de$a$par$b$est$0$et donc${\frac {a}{b}}$est un entier. On dit alors que$a$est divisible par$b$.

Cette notion se généralise auxanneaux commutatifs.Contrairement à$\mathbb {Z}$,dans un anneau nonintègre,$0$peut avoir desdiviseursnon nul.

Diviseurs d'un entier

Ensemble des diviseurs

Si$n=0$,tout entier divise$n$.En effet pour tout$k\in \mathbb {Z}$,l'ensemble desentiers relatifs,$0=k\times 0$,ainsi l'ensemble des diviseurs de$0$est$\mathbb {Z}$.

Si$n$est un entier non nul, alors$0$ne divise pas$n$.L'entier$n$a donc des diviseurs positifs et négatifs, mais pas de diviseur nul. De plus, si$d$est un diviseur de$n$alors$-d$est aussi un diviseur de$n$.Ainsi les diviseurs positifs et négatifs sont les mêmes au signe près. Ces observations expliquent pourquoi on ne s’intéresse souvent qu'aux diviseurs positifs d'un entier positif. Par la suite, on se placera dans cette situation.

Ainsi l'ensemble des diviseurs (positifs) de$10$est$\{1,2,5,10\}$et celui de$60$est$\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$.

L'entier$1$possède qu'un seul diviseur:$1$.

Relation de divisibilité

Diagramme de Hassedes diviseurs de 60: une arête entre deux sommets indique que l'élément le plus bas est un diviseur de l'élément le plus haut.

Si$d$est un diviseur de$n$,tout diviseur de$d$est aussi un diviseur de$n$.Cette propriété induit une sorte de hiérarchie parmi les diviseurs d'un entier qui peut être visualisée sous forme d'undiagramme de Hasse.

Le relation de de divisibilité est unerelation d'ordresur les entiers.

Tout entiernstrictement supérieur à 1 possède au moins deux diviseurs 1 etnqui sont appelés ses diviseurs triviaux. Un diviseur dendifférent denest undiviseur strictden(ou partie aliquote — le termediviseur propreest utilisé comme synonyme tantôt de diviseur strict, tantôt dediviseur non trivial).

Nombre premier

Un entiernqui possède exactement deux diviseurs est appelé un nombre premier. Un nombre premier diviseur denest appelé un diviseur premier den.

Lethéorème fondamental de l'arithmétiqueénonce que tout entier strictement supérieur à 1 s'écrit de manière unique sous forme d'un produit de puissances de nombres premiers qui sont ses diviseurs premiers. Cette décomposition enfacteurspremiers permet d'énumérer tous les diviseurs de l'entier. Si $n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}$ où lesp_isont des nombres premiers distincts et lesα_ides exposants entiers strictement positifs, alors,dest un diviseur densi et seulement s’il existe des entiersβ_icompris au sens large entre 0 etα_itels que $d=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\beta _{i}}.$

Ainsi la décomposition de 60 est $60=2^{2}\times 3^{1}\times 5^{1}$ et 10 est un diviseur de 60 car il peut s'écrire $10=2^{1}\times 3^{0}\times 5^{1}.$

Fonctions liées à l'ensemble des diviseurs

Il existe des fonctions d'un entierncréées à partir de l'ensemble de ses diviseurs. Les plus classiques sont les fonctions «nombre de diviseurs» et «somme des diviseurs».

La fonction « nombre de diviseurs » donne le nombred(n) des diviseurs den.Ainsid(10) = 4,d(36) = 9 etd(60) = 12. La décomposition en facteurs premiers denpermet de donner une valeur explicite à cette fonction. Si la décomposition denest $n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}$ alors $d(n)=\prod _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+1).$

Les fonctions « somme des diviseurs » et « somme des diviseurs stricts » interviennent dans l'étude desnombres parfaits,nombres abondants,nombres déficientsounombres amiables,ainsi que dans lessuites aliquotes.

Elles font partie de la famille desfonctions "somme des puissances des diviseurs".

Diviseur dans un anneau

La définition de diviseur se généralise à unanneau commutatif:siaetbsont deux éléments d'un anneauA,bdiviseasi et seulement s’il existe un élémentcde A tel quea=bc.

Une attention spéciale doit être portée sur la notion dediviseur de zéro.Selon la définition précédente, tout élément deAdivise 0_A(élément neutrede l'addition dans l'anneau A) cara× 0_A= 0_A.Cependant, dans un anneau nonintègre,il existe des éléments deA,non nuls,betctels quebc= 0_A.Ces éléments sont appelés des diviseurs de zéro dansA.

Articles connexes

• Table des facteurs premiers:une table des facteurs premiers des entiers de 1 à 1 000
• Table des diviseurs:une table des diviseurs (premiers et non premiers) des entiers 1 à 1 000
• Plus grand commun diviseur
• Arithmétique modulaire
• Anneau factoriel