EspaceLp

Enmathématiques,unespaceL^pest unespace vectorielde classes desfonctionsdont lapuissance d'exposantpestintégrable au sens de Lebesgue,oùpest unnombre réelstrictement positif. Le passage à la limite de l'exposant aboutit à la construction desespacesL^∞defonctions bornées.Les espacesL^psont appelésespaces de Lebesgue.

Identifiant les fonctions qui ne diffèrent que sur unensemble négligeable,chaque espaceL^pest unespace de Banachlorsque l'exposant est supérieur ou égal à 1. Lorsque0 <p< 1,l'intégrale définit unequasi-normequi en fait unespace complet.Il existe en outre unedualitéentre les espaces d'exposantspetqconjugués, c'est-à-dire tels que¹⁄_p+¹⁄_q= 1.

Les espacesL^pgénéralisent lesespacesL²des fonctions decarré intégrable,mais aussi lesespacesℓ^pdesuitesde puissancep-ièmesommable.

Diverses constructions étendent encore cette définition à l'aide dedistributionsou en se contentant d'une intégrabilité locale.

Tous ces espaces constituent un outil fondamental de l'analyse fonctionnelleen permettant la résolution d'équations par approximation avec des solutions non nécessairementdérivablesni mêmecontinues.

Définition

Exposant fini

Lanormepsur l'espace vectoriel de dimension finieRⁿs'étend aux fonctions continues sur un segment[a,b]par

$\|f\|_{p}=\left(\int _{a}^{b}|f(t)|^{p}\,\mathrm {d} t\right)^{1/p}$

et plus généralement auxfonctions mesurablessur unespace mesuré(X,A,μ)et à valeurs réelles oucomplexeset de puissancepintégrable par:

$\|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}.$

Sur un domaineXd'unespace euclidien,la mesure est en généralcelle de Lebesgue.

Or une fonction positive est d'intégrale nulle si et seulement si elle s'annule presque partout, c'est-à-dire sur lecomplémentaired'unensemble négligeable.L'espaceL^p(X,A,μ)est alors défini commequotientde l'espace des fonctions mesurablespintégrables, souvent noté:ℒ^p(X,A,μ),par lesous-espace vectorieldes fonctions presque partout nulles. Ce quotient identifie donc les fonctions qui sont dans la même classe pour larelation d'équivalence« f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ».

Dans le cadre de lathéorie de Riemann,l'espaceL^p(R)peut aussi se définir par un procédé decomplétion.

Exposant infini

L'espaceℒ^∞(X,A,μ)est défini comme l'espace vectoriel des fonctions μ-essentiellement bornées (c'est-à-dire les fonctions bornées sur le complémentaire d'un ensemble négligeable), muni de lasemi-norme«borne supérieureessentielle ».

Ensuite, l'espace vectoriel norméL^∞(X,A,μ)est, comme précédemment, le quotient deℒ^∞(X,A,μ)par le sous-espace des fonctions nulles presque partout.

Exemples

SiXest l'ensembleNdesentiers naturels,muni de latribu discrète,et queμest lamesure de comptage,l'espaceL^p(X,A,μ)n'est autre que l'espace ℓ^p(N)des suites réelles dont la puissance d'exposantpest sommable.

AvecX=Rmuni de la tribu desborélienset de la mesure de Lebesgue:

• lafonctionx↦ 1/xrestreinte à[1, +∞[est dansL²,mais pas dansL¹;
• lafonction indicatricedeQ,définie surR,qui vaut 1 en chaquenombre rationnelet 0 partout ailleurs, est dansL^∞et coïncide, dans cet espace, avec lafonction constantede valeur nulle, du fait que l'ensemble des rationnels est négligeable.

Propriétés

Norme et complétude

L'expression entre doubles barres donnée ci-dessus est bien positive et ne s'annule que pour la classe de lafonction nulledansL^p(X,A,μ).En outre, elle estpositivement homogène,c'est-à-dire que pour tout scalaireλ,

$\|\lambda f\|_{p}=|\lambda |~\|f\|_{p}$.

Cependant, elle ne satisfait l'inégalité triangulaireque pourpsupérieur ou égal à 1. Les espacesL^ppour1 ≤p≤ ∞sont desespaces de Banach,c'est-à-dire complets pour la norme ainsi définie: c'est lethéorème de Riesz-Fischer,qui démontre au passage que toutesuite de CauchydansL^ppossède unesous-suitequi converge presque partout.

Pour0 <p< 1,║ ║ est seulement unequasi-normeetL^pest seulement unF-espace,c'est-à-dire unespace vectoriel topologiquemétrisablecomplet, pour unedistanceinvariantepar translations: d_p(f,g) = ║f – g║_p^p,mais il n'est paslocalement convexedonc pasnormable.

Inclusions

• Si lamesure est finiealors, d'après l'inégalité de Hölderoucelle de Jensen,la famille des espacesL^pestdécroissante,avec desinjections continues:${\text{si }}\mu (X)<+\infty {\text{ alors }}0<p\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{p}\supset \mathrm {L} ^{q}{\text{ et }}\sup _{f\in \mathrm {L} ^{q},\|f\|_{q}\leq 1}\|f\|_{p}=\|\mu (X)^{\frac {-1}{q}}\|_{p}=\mu (X)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}.$Il existeune réciproque fortepour lesmesures σ-finies.
• Si les mesures des parties non négligeables sont minorées par un même réel strictement positif alors, la famille desL^pestcroissante,avec des injections continues:${\text{si }}\inf _{\mu (A)>0}\mu (A)=\varepsilon >0{\text{ alors }}0<p\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{p}\subset \mathrm {L} ^{q}{\text{ et }}\sup _{f\in \mathrm {L} ^{p},\|f\|_{p}\leq 1}\|f\|_{q}=\varepsilon ^{{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}}.$On a le même type de réciproque que ci-dessus: s'il existepetq,avec1 ≤p < q≤ +∞,tels queL^p⊂ L^q,alors les mesures des parties non négligeables sont minorées par un mêmeε > 0.
• Dans le cas où l'espaceXest unensemble finimuni de la mesure de comptage, les deux conditions ci-dessus sont satisfaites et tous les espacesL^psont identifiés à un mêmeespace vectoriel normé de dimension finie.
• À l'inverse, pour la mesure de Lebesgue, qui ne vérifie aucune des deux conditions ci-dessus, il existe des fonctionsn'appartenant qu'à un seulL^p.
• Dans tous les cas,$1\leq p\leq r\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{p}\cap \mathrm {L} ^{q}\subset \mathrm {L} ^{r}$et pour toutf∈ L^p∩L^q,sur l'intervalle[p,q],lelogarithmede la fonctionr↦║f║_rest unefonction convexede1/r.
• L'inégalité de Tchebychevpermet de prouver que pour toutr< ∞et toutf∈ L^r,on a:$\|f\|_{\infty }=\lim _{p\to +\infty }\|f\|_{p}.$

Dualité

Pour1 <p< +∞et pour toute mesure,L^pestréflexifet sondual topologiques'identifie à l'espaceL^q,oùqest défini de façon que¹⁄_p+¹⁄_q= 1.

Si la mesure est σ-finie, le dual deL¹estL^∞etle dual deL^∞contientstrictementL¹(sauf cas triviaux).

L¹([0, 1])n'est le dual d'aucun espace, tandis queℓ¹est le dual de nombreux espaces,dont celui des suites de limite nulle.

Démonstration de(L^p)' ≃ L^q,pour1 ≤p< +∞et¹⁄_p+¹⁄_q= 1 (en supposant, sip= 1,que la mesure est σ-finie)

L'inégalité de Hölderet soncas extrémalfournissent immédiatement un plongementisométriqueJdeL^qdans(L^p)'.Il reste à montrer que toute forme linéaire φ surL^pde norme 1 est de la formeJ(g) pour un certaingdeL^q.

• Si1 <p< +∞,on sait queL^pest unespace uniformément convexedonc il existe dansL^punvecteur unitaireftel que φ(f) = 1.Pour cef,soitgl'élément deL^qcalculé dans le cas extrémal de l'inégalité de Hölder; par construction, son image ψ parJvérifie: ψ(f) = 1 = ║ψ║. Or, toujours par convexité uniforme,L^peststrictement convexe donc lissedonc il existe une unique forme linéaire surL^pvérifiant ces conditions. On conclut que la forme linéaire φ de départ s'écrit: φ = ψ =J(g).

• Sip= 1:
  • Traitons d'abord le cas où la mesure μ sur l'espace mesuré (X,A) est finie. En posant dans ce cas, pour toutE∈A:ν(E) = φ(1_E), on obtient unemesure signéeν vérifiant, pour toutE∈A:|ν(E)| ≤ μ(E). Le « petit »théorème de Radon-Nikodym(pour μ finie) fournit alors une fonctiong∈L¹(μ) telle que ν =gμ donc telle que (parlimite uniformedefonctions étagées):$\forall f\in \mathrm {L} ^{\infty }(\mu ),~\varphi (f)=\int fg\mathrm {d} \mu.$De plus, d'après unepropriété générale de l'intégrale de Lebesgue,|g| ≤ 1 μ-presque partoutcar$\forall E\in A,~\left|\int _{E}g\mathrm {d} \mu \right|=|\nu (E)|\leq \mu (E).$La fonctiong∈L¹(μ) appartient donc même àL^∞(μ) et la formule précédente s'étend pardensité:$\forall f\in \mathrm {L} ^{1}(\mu ),~\varphi (f)=\int fg\mathrm {d} \mu.$Dans le cas où μ est finie, on a donc bien mis φ sous la formeJ(g).
  • Dans le cas général où μ est seulement σ-finie, on partitionneXen une suite deX_nde mesures finies et l'on construit de même sur chaqueX_nune fonctiong_n,nulle hors deX_n.Leur sommegvérifie ainsi:g∈L^∞(μ) et φ =J(g).

Densité et séparabilité

Pour toutp∈ [1, +∞],lesfonctions étagéesappartenant àL^pforment unsous-espacedensedeL^p.

Pourp< +∞,on en déduit que:

• si la mesure est σ-finie et si la tribu estengendréepar unensemble dénombrablede parties — en particulier si c'est latribu borélienned'unespace à base dénombrable— alorsL^pestséparable;
• siXest unespace séparélocalement compact,muni de sa tribu borélienne et d'unemesure quasi-régulière,lesfonctions continues à support compactforment un sous-espace dense deL^p;
• siXest unouvertde ℝⁿ(muni de la tribu et de la mesure de Lebesgue), le sous-espace desfonctions infiniment dérivables et à support compactest encore dense dansL^p.

Voir aussi

Articles connexes

• EspaceL¹_loc
• Espace L2
• Espace de Sobolev
• Espace de Bochner(en)
• Espace de Birnbaum-Orlicz
• Mesure de Radon
• Produit de convolution
• Théorème de représentation de Riesz (Riesz-Markov)
• Théorème de Riesz-Thorin
• Transformée de Fourier

Bibliographie

• Haïm Brezis,Analyse fonctionnelle: théorie et applications[détail des éditions]
• Jacques Faraut,Calcul intégral[détail des éditions]