Espace tensoriel

SoitEunmodulesur unanneau commutatifunitaireA.On appelletenseurpfoiscontravariantetqfoiscovariantsurEtout élément duproduit tensoriel$\bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}$,où$E^{*}$est lemodule dualdeE.

SoituunautomorphismeduA-moduleE,${}^{t}u$est le morphisme contragrédient de$E^{*}$,c'est-à-dire l'automorphisme défini par${}^{t}u(\varphi )=\varphi \circ u$.On peut définir une action du groupe linéaireGL(E) sur$\bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}$par:

${\begin{matrix}u\cdot x=&\underbrace {(u\otimes \cdots \otimes u} &\otimes &\underbrace {{}^{t}u\otimes \cdots \otimes {}^{t}u)} (x)\\&p&&q\end{matrix}}$

On appelleespace tensorielsurEtout sous-moduleHde$\bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}$stable par la loi externe$(u,x)\mapsto u\cdot x$.