F-espace

Enanalyse fonctionnelle,unF-espaceest unespace vectorielXsur lecorpsdes nombresréelsoucomplexes,muni d'unedistance$d:X\times X\to \mathbb {R}$telle que

1. La multiplication par un scalaire estcontinuepar rapport à ladistance produitdedet de la distance standard sur$\mathbb {R}$ou$\mathbb {C}.$
2. L'addition dansXest continue pourd.
3. La distance est invariante par translation; c'est-à-dire, pour tous vecteursx, y, adeX,on a:$d(x+a,y+a)=d(x,y)$
4. L'espace métrique (X,d) estcomplet.

Xest donc un cas particulier d'espace vectoriel topologique,pour latopologie induitepard.

La fonction associant à tout vecteurxsa distance à l'origine d(x,0) est appeléeF-norme.Contrairement à unenormeusuelle, une F-norme n'est pas nécessairementhomogène.

De par la propriété d'invariance par translation de la F-norme, on peut inversement, étant donnée une F-norme, définir une distancedcompatible avec cette F-norme. Un espace-F est donc équivalent à un espace vectoriel réel ou complexe muni d'une F-norme complète.

Terminologie

Dans la définition qui précède, on peut omettre de spécifier une distancedparticulière et n'exiger seulement de l'espace d'êtremétrisablepar une distance vérifiant les propriétés précédentes.

Lesespaces de Fréchet,qui sont une structure proche, sont parfois confondus avec les espaces F, mais le terme d'espace de Fréchet est particulièrement réservé aux espaces qui sont de pluslocalement convexes.

Inversement, la définition des espaces F est parfois limitée aux espaces localement convexes, suivant l'exemple deBourbaki.

Exemples

Toutespace de Banachet toutespace de Fréchetest un F-espace. En particulier, un espace de Banach est un F-espace dont la F-norme respecte l'homogénéité absolue:$d(ax,0)=|a|d(x,0).$

Lesespaces L^psont des espaces F pour toutp≥ 0. À partir dep≥ 1, ils sont de plus localement convexes.

Exemple 1

$L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]$est un F-espace qui n'admet aucunesemi-normecontinue ni aucune fonction linéaire continue. Sonespace dualest trivial.

Exemple 2

Soit$W_{p}(\mathbb {D} )$être l'espace desséries de Taylorà valeurs complexes$$f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}$$sur le disque-unité$\mathbb {D}$telles que$$\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}<\infty$$Puis pour$0<p<1,$les$W_{p}(\mathbb {D} )$sont des espaces F sous lanorme p:$$\|f\|_{p}=\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}\qquad (0<p<1).$$

L'espace$W_{p}$est en fait unealgèbre quasi-Banach.De plus, pour tout$\zeta$avec$|\zeta |\leq 1$la fonction$f\mapsto f(\zeta )$est une fonction linéaire bornée sur$W_{p}(\mathbb {D} ).$

Conditions suffisantes

Soitdune distance quelconque sur un espace vectorielXtelle queXmuni de latopologie induiteτ soit un espace vectoriel topologique.

Si (X,d) est un espace métrique complet, alors (X,τ) est un espace vectoriel topologique complet.

Propriétés associées

D'après lethéorème de l'application ouverte,siτ₁etτ₂sont des topologies surXfaisant à la fois de (X,τ₁) et (X,τ₂) des espaces vectoriels topologiquescomplètement métrisables,et que l'une des topologies estplus fine ou plus grossièreque l'autre alors elles doivent être égales (c'est-à-dire siτ₁⊆τ₂ouτ₂⊆τ₁alorsτ₂=τ₁).

• Une application linéairepresque continue(en)dans un F-espace dont le graphe est fermé est continue.
• Une application linéairepresque ouverte(en)à valeurs dans un F-espace dont le graphe est fermé est nécessairement uneapplication ouverte.
• Une application linéaire continue presque ouverte sur un F-espace est nécessairement une application ouverte.
• Une application linéaire continue presque ouverte d'un F-espace dont l'image est dedeuxième catégoriedans le co-domaine est nécessairement une application ouvertesurjective.

Voir aussi

• Espace de Banach:espace vectorielnorméet complet.
• Espace tonnelé:type d'espace vectoriel topologie
• Espace complet
• DF-espace:une catégorie d'espace localement convexes
• Espace de Fréchetun EVT localement convexe dont la métrique est complète
• Espace de Hilbert:espace vectoriel complet muni d'une norme associée à un produit scalaire.
• K-espace
• LB-espace
• LF-espace
• Espace nucléaire:une extension d'un espace Euclidien de dimension finie différente d'un espace de Hilbert