F-espace
Enanalyse fonctionnelle,unF-espaceest unespace vectorielXsur lecorpsdes nombresréelsoucomplexes,muni d'unedistancetelle que
- La multiplication par un scalaire estcontinuepar rapport à ladistance produitdedet de la distance standard surou
- L'addition dansXest continue pourd.
- La distance est invariante par translation; c'est-à-dire, pour tous vecteursx, y, adeX,on a:
- L'espace métrique (X,d) estcomplet.
Xest donc un cas particulier d'espace vectoriel topologique,pour latopologie induitepard.
La fonction associant à tout vecteurxsa distance à l'origine d(x,0) est appeléeF-norme.Contrairement à unenormeusuelle, une F-norme n'est pas nécessairementhomogène.
De par la propriété d'invariance par translation de la F-norme, on peut inversement, étant donnée une F-norme, définir une distancedcompatible avec cette F-norme. Un espace-F est donc équivalent à un espace vectoriel réel ou complexe muni d'une F-norme complète.
Terminologie
[modifier|modifier le code]Dans la définition qui précède, on peut omettre de spécifier une distancedparticulière et n'exiger seulement de l'espace d'êtremétrisablepar une distance vérifiant les propriétés précédentes.
Lesespaces de Fréchet,qui sont une structure proche, sont parfois confondus avec les espaces F, mais le terme d'espace de Fréchet est particulièrement réservé aux espaces qui sont de pluslocalement convexes.
Inversement, la définition des espaces F est parfois limitée aux espaces localement convexes, suivant l'exemple deBourbaki[1].
Exemples
[modifier|modifier le code]Toutespace de Banachet toutespace de Fréchetest un F-espace. En particulier, un espace de Banach est un F-espace dont la F-norme respecte l'homogénéité absolue:[2]
Lesespaces Lpsont des espaces F pour toutp≥ 0. À partir dep≥ 1, ils sont de plus localement convexes.
Exemple 1
[modifier|modifier le code]est un F-espace qui n'admet aucunesemi-normecontinue ni aucune fonction linéaire continue. Sonespace dualest trivial.
Exemple 2
[modifier|modifier le code]Soitêtre l'espace desséries de Taylorà valeurs complexessur le disque-unitételles quePuis pourlessont des espaces F sous lanorme p:
L'espaceest en fait unealgèbre quasi-Banach.De plus, pour toutavecla fonctionest une fonction linéaire bornée sur
Conditions suffisantes
[modifier|modifier le code]Soitdune distance quelconque sur un espace vectorielXtelle queXmuni de latopologie induiteτ soit un espace vectoriel topologique.
Si (X,d) est un espace métrique complet, alors (X,τ) est un espace vectoriel topologique complet[3],[4].
Propriétés associées
[modifier|modifier le code]D'après lethéorème de l'application ouverte,siτ1etτ2sont des topologies surXfaisant à la fois de (X,τ1) et (X,τ2) des espaces vectoriels topologiquescomplètement métrisables,et que l'une des topologies estplus fine ou plus grossièreque l'autre alors elles doivent être égales (c'est-à-dire siτ1⊆τ2ouτ2⊆τ1alorsτ2=τ1)[5].
- Une application linéairepresque continue(en)dans un F-espace dont le graphe est fermé est continue.
- Une application linéairepresque ouverte(en)à valeurs dans un F-espace dont le graphe est fermé est nécessairement uneapplication ouverte.
- Une application linéaire continue presque ouverte sur un F-espace est nécessairement une application ouverte.
- Une application linéaire continue presque ouverte d'un F-espace dont l'image est dedeuxième catégoriedans le co-domaine est nécessairement une application ouvertesurjective[6].
Voir aussi
[modifier|modifier le code]- Espace de Banach:espace vectorielnorméet complet.
- Espace tonnelé:type d'espace vectoriel topologie
- Espace complet
- DF-espace:une catégorie d'espace localement convexes
- Espace de Fréchetun EVT localement convexe dont la métrique est complète
- Espace de Hilbert:espace vectoriel complet muni d'une norme associée à un produit scalaire.
- K-espace
- LB-espace
- LF-espace
- Espace nucléaire:une extension d'un espace Euclidien de dimension finie différente d'un espace de Hilbert
Références
[modifier|modifier le code]- JeanDieudonnéet LaurentSchwartz,«La dualité dans les espaces F et LF»,Annales de l’institut Fourier,vol.1,,p.61–101(ISSN0373-0956,DOI10.5802/aif.8,lire en ligne,consulté le)
- NelsonDunfordet Jacob T.Schwartz,Linear operators. 1: General theory,Wiley Interscience,(ISBN978-0-471-60848-6et978-0-470-22605-6),p.59
- H. H.Schaeferet M. P.Wolff,Topological Vector Spaces,vol.3, Springer New York,coll.« Graduate Texts in Mathematics »,(ISBN978-1-4612-7155-0et978-1-4612-1468-7,DOI10.1007/978-1-4612-1468-7,lire en ligne),p.35
- (en)V. L.Klee,«Invariant metrics in groups (solution of a problem of Banach)»,Proceedings of the American Mathematical Society,vol.3,no3,,p.484–487(ISSN0002-9939et1088-6826,DOI10.1090/S0002-9939-1952-0047250-4,lire en ligne,consulté le)
- FrancoisTreves,Topological vector spaces, distributions and kernels,Dover Publications,coll.« Dover books on mathematics »,(ISBN978-0-486-45352-1),p.166-173
- TaqdirHusainet Srinivasapur M.Khaleelulla,Barrelledness in topological and ordered vector spaces,Springer,coll.« Lecture notes in mathematics »,(ISBN978-3-540-09096-0et978-0-387-09096-2),p.14 - 15