Foncteur Hom

Enmathématiques,lefoncteur Homest unfoncteurassocié auxmorphismesde lacatégorie des ensembles.Il est central enthéorie des catégories,notamment du fait de son rôle dans lelemme de Yonedaet parce qu'il permet de définir lefoncteur Ext.

Définition

Soit${\mathcal {C}}$unecatégorie localement petite.Pour tout couple d'objetsAetBdans cette catégorie, un morphisme$f:A\to B$induit une fonction

$f\circ -:\mathrm {Hom} (X,A)\to \mathrm {Hom} (X,B)$

pour tout objetX.

On peut alors définir:

• le foncteurHomcovariant$\mathrm {Hom} (X,-):{\mathcal {C}}\to {\mathsf {Set}}$(correspondant auxfoncteurs représentables);
• le foncteurHomcontravariant$\mathrm {Hom} (-,X):{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}$;
• lebifoncteurHomcovariant$\mathrm {Hom} (-,-):{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathsf {Set}}.$

Lelemme de Yonedacaractérise la forme destransformations naturellesentre foncteursHom.

Certains catégories possèdent un bi-foncteur similaire àHom,mais ayant la catégorie elle-même pour codomaine:

$[-,-]:{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}.$

On parle dans ce cas de foncteurHominterne et on dit qu'il s'agit d'unecatégorie fermée.Lefoncteur d'oublipermet de retrouver le foncteurHom« externe » à partir du foncteurHominterne, ce qui correspond à l'opération decurryficationsur unecatégorie monoïdale fermée(en).

Exemple

Lacatégorie des groupes,Grp,est localement petite, autrement dit: pour tous groupes G et L, Hom(G,L) est un ensemble, l'ensemble des morphismes de groupes de G dans L. On va illustrer un foncteur "des groupes dans les ensembles". Soit G un groupefixé.Le foncteurHomcovariant Hom(G,-) est un foncteur de ce type; il associe à tout groupe L l'ensemble Hom(G,L) et à tout morphisme$\alpha:L\rightarrow L'$l'application$\varphi \rightarrow \alpha \circ \varphi$de Hom(G,L) dans Hom(G,L').

Référence

(en)SaundersMac Lane,Categories for the Working Mathematician[détail de l’édition]