Foncteur Tor

Enmathématiques,lefoncteur Torest lefoncteur dérivéassocié aufoncteurproduit tensoriel.Il trouve son origine enalgèbre homologique,où il apparaît notamment dans l'étude dessuites spectraleset dans la formulation duthéorème de Künneth.

Motivation

Les foncteurs dérivés tentent de mesurer le défaut d'exactitude d'un foncteur.SoitRunanneau,considérons lacatégorieRModdesR-modulesetModRdesR-modules à droite.

Soit unesuite exacte courtedeR-modules à gauche:

$0\to X{\stackrel {\alpha }{\to }}Y{\stackrel {\beta }{\to }}Z\to 0$.

L'application duproduit tensorielà gauche par unR-module à droiteAestexacte à droite,on obtient la suite exacte courte degroupes abéliens:

$A\otimes _{R}X{\stackrel {{\mathsf {id}}_{A}\otimes \alpha }{\longrightarrow }}A\otimes _{R}Y{\stackrel {{\mathsf {id}}_{A}\otimes \beta }{\longrightarrow }}A\otimes _{R}Z\to 0$.

L'application${\mathsf {id}}_{A}\otimes \alpha$n'est en général pas injective, et en conséquence on ne peut pas prolonger la suite exacte à gauche.

Définition

Si on noteTle foncteur de la catégorieModRdesR-modules à droite dans la catégorieAbdes groupes abéliens qui correspond au produit tensoriel. Ce foncteur est exact à droite mais pas à gauche, on définit les foncteursTorà partir desfoncteurs dérivés à gauche$L_{n}T$par:

$\mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=L_{n}T(A)$.

C'est donc unbifoncteurdeModR×RModdansAb.

Propriétés

Le foncteurTorest additif, c'est-à-dire que l'on a:

$\mathrm {Tor} ^{R}(A\oplus A',B)\simeq \mathrm {Tor} ^{R}(A,B)\oplus \mathrm {Tor} ^{R}(A',B)$;

$\mathrm {Tor} ^{R}(A,B\oplus B')\simeq \mathrm {Tor} ^{R}(A,B)\oplus \mathrm {Tor} ^{R}(A,B')$.

Il commute même avec dessommes directesarbitraires.

Dans le cas où l'anneauRestcommutatif,sirn'est pas undiviseur de zéro,on a:

$\mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/(r),B)=\{b\in B\,|\,rb=0\},$

ce qui explique l'origine du nom « Tor »: il s'agit, dans ce cas, dusous-groupe detorsion.En particulier,

$\mathrm {Tor} (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z},\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} /\mathrm {pgcd} (m,n)\mathbb {Z}$

où intervient leplus grand commun diviseurdes entiersmetn.En vertu duthéorème de structure des groupes abéliens de type fini,et de la propriété d'additivité, cela permet d'étudier le foncteurTorpour n'importe quel groupe abélien de type fini.

Si l'anneauRestprincipal,Tor^R_n= 0 pour toutn≥ 2 car toutR-module admet unerésolution(en)librede longueur 1.

Torsion nulle

Unmoduleestplatsi et seulement si son premier foncteurTorest trivial (et alors, tous les foncteursTorle sont). On peut notamment définirTorà partir d'une résolution plate au lieu de projective.

SiAest ungroupe abélien,alors les propositions suivantes sont équivalentes:

• Aest sanstorsion,c'est-à-dire qu'il ne possède aucun élément d'ordre fini excepté 0;
• Tor(A,B) = 0 pour tout groupe abélienB;
• Une suite exacte courte demeure exacte après tensorisation parA;
• Si$\alpha:X\to Y$est un homomorphisme de groupes injectif,${\mathsf {id}}_{A}\otimes \alpha$est injectif.