Fonction de Mertens

Enthéorie des nombres,lafonction de Mertensest

$M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)$

oùμest lafonction de Möbius.

Moins formellement,M(n)est le nombre d'entiers sans facteur carréinférieurs ou égaux ànet dont le nombre defacteurs premiersestpair,moins le nombre d'entiers sans facteur carré inférieurs ou égaux ànet dont le nombre de facteurs premiers est impair.

Croissance

Puisque la fonction de Möbius ne prend que les valeurs –1, 0 et +1, il est évident qu'il n'existe pas dextel que |M(x)| >x.Laconjecture de Mertens(1897) va même plus loin, énonçant qu'il n'existerait pas dexoù lavaleur absoluede la fonction de Mertens excède laracine carréedex.

Andrew OdlyzkoetHerman te Rieleont montré en 1985 que cette conjecture était fausse.Leur preuve ne produisait pas uncontre-exempleexplicite, mais on sait aujourd'hui que le plus petit contre-exemple est plus grandque 10¹⁴et plus petitque exp(1,59.10⁴⁰).

Néanmoins, l'hypothèse de Riemannest équivalente à une conjecture plus faible sur la croissance deM(x), explicitement: pour tout ε >0,M(x) = O(x^{1⁄₂+ ε}), où O désigne lanotation de Landau.Puisque les pics deMcroissent au moins aussi rapidement que la racine carrée dex,ceci place une limite plutôt serrée sur le taux de croissance.

Représentations intégrales

En utilisant leproduit eulérien,on trouve que

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-s}$

oùζest lafonction zêta de Riemannet le produit pris sur lesnombres premiers.Alors, en utilisant cettesérie de Dirichletavec laformule de Perron,on obtient:

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\mathrm {d} s{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}=M(x)$

oùCest unecourbe ferméeencerclant toutes les racines deζ.

Inversement, on a latransformée de Mellin

${\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}~\mathrm {d} x$

qui reste valable pour Re(s) > 1.

Une bonne évaluation, au moins asymptotiquement, serait d'obtenir, par l'algorithme du gradient,une inégalité:

$\oint _{C}\mathrm {d} sF(s)e^{st}\sim M(e^{t}).$

Calcul

La fonction de Mertens a été calculée pour un intervalle de plus en plus grand den.

Personne	Année	Limite
Mertens	1897	104
von Sterneck	1897	1,5 × 105
von Sterneck	1901	5 × 105
von Sterneck	1912	5 × 106
Neubauer	1963	108
Cohen et Dress	1979	7,8 × 109
Dress	1993	1012
Lioen et van de Lune	1994	1013
Kotnik et van de Lune	2003	1014
Hurst	2016	1016

Notes et références

(en)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé«Mertens function»(voir la liste des auteurs).

Liens externes

• (en)Les valeurs de la fonction de Mertens pour les 50 premiersnsont données par suiteA002321de l'OEIS
• (en)Eric W. Weisstein,«Mertens Conjecture», surMathWorld