Formules de Binet

Enphysique,enmécanique classique,lesformules de Binetsont des expressions de lavitesseet de l'accélérationd'un corps soumis à uneforce centraletelle que lagravitationou unchamp électrostatique.Elles ont été introduites parLaurent Binet^{[réf. nécessaire]}.

Elles permettent d'exprimer, encoordonnées polaires,la position d'un mobile en fonction de l'inverse du rayon vecteur et de ses dérivées par rapport à l'angle formé par celui-ci. En effet, l'expression en fonction du temps est beaucoup plus difficile à établir. En particulier, les formules de Binet permettent de démontrer que, dans un champ de force centrale en${\frac {K}{r^{2}}}$,les trajectoires sont desconiques.

Formules de Binet

On considère tout d'abord le cas attractif. En posant$\ \ u:={\frac {1}{r}}\ \$,en notant$\ \ {\dot {x}}:={\frac {dx}{dt}}\ \$,$\ \ x':={\frac {dx}{d\theta }}\ \$,et en exprimant$C=r^{2}{\dot {\theta }}={\frac {L_{O}}{m}}\;$laconstante des aires,d'après laseconde loi de Kepler,on peut montrer que:

${\vec {v}}=-Cu'\;{\vec {e_{r}}}+Cu\;{\vec {e_{\theta }}}$;

${\vec {a}}=-C^{2}u^{2}\left(u''+u\right)\;{\vec {e_{r}}}$.

L'accélération est donc radiale comme la force à laquelle est soumise le corps. Dans le cas répulsif, les composantes selon e_rseraient positives, le corps étudié s'éloignerait du centre de force.

Démonstration

On a${\vec {v}}={\dot {(r{\vec {e_{r}}})}}={\dot {r}}{\vec {e_{r}}}+r{\dot {\vec {e_{r}}}}={\dot {\left({\frac {1}{u}}\right)}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{u}}{\dot {\theta }}{\vec {e_{\theta }}}=-{\frac {\dot {u}}{u^{2}}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {\dot {\theta }}{u}}{\vec {e_{\theta }}}$

Or${\dot {u}}={\frac {du}{dt}}={\frac {du}{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}=u'{\dot {\theta }}$et$C={\frac {L_{O}}{m}}=r^{2}{\dot {\theta }}={\frac {\dot {\theta }}{u^{2}}}$

Donc${\vec {v}}=-{\frac {u'}{u^{2}}}{\dot {\theta }}{\vec {e_{r}}}+Cu{\vec {e_{\theta }}}=-Cu'\;{\vec {e_{r}}}+Cu\;{\vec {e_{\theta }}}\;$

De même on dérive${\vec {v}}$pour obtenir${\vec {a}}$.

${\vec {a}}=C\left(-{\dot {u'\;{\vec {e_{r}}}}}+{\dot {u{\vec {e_{\theta }}}}}\right)=C\left(-{\dot {u'}}{\vec {e_{r}}}-u'{\dot {\theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\dot {u}}{\vec {e_{\theta }}}-u{\dot {\theta }}{\vec {e_{r}}}\right)=C\left(-{\dot {\theta }}u''{\vec {e_{r}}}-u{\dot {\theta }}{\vec {e_{r}}}\right)$ $=-C^{2}u^{2}\left(u''+u\right)\;{\vec {e_{r}}}$

Trajectoires coniques

On considère ici le cas attractif, le cas répulsif donnant exactement le même résultat. En utilisant la seconde loi de Newton, on a:

$m{\vec {a}}={\frac {-K}{r^{2}}}\;{\vec {e_{r}}}=-u^{2}K\;{\vec {e_{r}}}$.

En insérant l'expression de l'accélération et en remplaçant${\frac {1}{r}}$par$u$,puis enfin en projetant selon${\vec {e_{r}}}$,on a:

$mC^{2}\left(u''+u\right)=K$,soit encore:

$u''+u={\frac {K}{mC^{2}}}$.

Cetteéquation différentielles'intègre facilement: c'est unoscillateur harmonique.On obtient:

$u(\theta )=A\cos(\theta +\phi )+B$,avec$B={\frac {K}{mC^{2}}}$

En revenant à l'expression der,on a:

$r(\theta )={\frac {1}{B+A\cos(\theta +\phi )}}$.

En exprimant le paramètre$p={\frac {mC^{2}}{K}}$et l'excentricité$e=pA$on obtient:

$r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos(\theta +\phi )}}$.

C'est bien l'expression d'uneconiqueen coordonnées polaires, dont la nature exacte -parabole,hyperboleouellipse- dépend des conditions initiales.

Voir aussi

• Équation de Kepler
• Force centrale
• Mouvement à force centrale