Décomposition en éléments simples

Enmathématiques,ladécomposition en éléments simplesd'unefraction rationnelle(parfois appeléedécomposition en fractions partielles) est son expression comme somme d'unpolynômeet de fractions $J/H^{k}$ où $H$ est unpolynôme irréductibleet $J$ un polynôme de degré strictement inférieur à celui de $H$ .Cette décomposition est utilisée dans lecalcul intégralpour faciliter la recherche desprimitivesde lafonction rationnelleassociée. Elle est aussi utilisée pour calculer destransformées de Laplaceinverses.

Déterminer quels polynômes sont irréductibles dépend ducorpsdescalairesutilisé. Ainsi, si lesnombres complexessont utilisés, seuls les polynômes de premier degré seront irréductibles. Si l'on se limite auxnombres réels,les polynômes irréductibles seront de degré 1 ou 2. Si l'on se limite auxnombres rationnels,on pourra trouver des polynômes irréductibles dedegré arbitraire;il en va de même sur lescorps finis.

Énoncé

Sur un corps quelconque

Théorème d'existenceet d'unicité—Soit $K$ uncorps commutatif.Toute fraction rationnelle $F={\frac {P}{Q}}\in K(x)$ admet une unique décomposition en éléments simples, c'est-à-dire comme somme d'un polynôme $T$ — appelé lapartie entièrede $F$ — et de fractions $J/H^{k}$ avec $H$ irréductible, $k$ un entier supérieur ou égal à 1 et $\deg(J)<\deg(H)$ .De plus, si $Q$ admet ladécomposition en irréductibles $Q=H_{1}^{n_{1}}H_{2}^{n_{2}}\ldots H_{p}^{n_{p}},$ alors la décomposition de $F$ est de la forme $F={\frac {P}{Q}}=T+F_{1}+\ldots +F_{p}\quad {\rm {et}}\quad F_{i}={\frac {J_{i,1}}{H_{i}}}+{\frac {J_{i,2}}{H_{i}^{2}}}+\ldots +{\frac {J_{i,n_{i}}}{H_{i}^{n_{i}}}}\quad {\rm {avec}}\quad {\rm {deg}}(J_{i,k})<{\rm {deg}}(H_{i}),$ c'est-à-dire que les seuls $J/H^{k}$ avec $J$ non nul qui risquent d'apparaître sont pour $H$ égal à l'un des diviseurs irréductibles de $Q$ et $k$ inférieur ou égal à son ordre de multiplicité.

Une démonstration de ce théorème seraprésentée plus bas.À noter que pour le corps des réels ou des complexes, il existe d'autres types de démonstrations. Certaines s’appuient par exemple sur l'analyse (via les formules de Taylor) ou l'algèbre linéaire. On pourra par exemple consulterles liens externesproposés plus bas.

Remarquons que d'après l'unicité, si les facteurs irréductiblesHdeQsont encore irréductibles sur unsurcorpsLdeK,alors la décomposition deFsurLest la même que surK;typiquement: siFest à coefficients réels et de dénominateurscindé sur ℝ,alors ses décompositions sur ℝ et sur ℂ sont identiques.

Sur le corps des complexes

QuandK= ℂ, chaque polynôme irréductibleHest de degré 1 (théorème fondamental de l'algèbre) et les numérateursJdes éléments simplesJ/H^ksont donc constants. Le théorème général ci-dessus se réécrit donc dans ce cas:

Théorème—Toute fraction rationnelle $F={\frac {P}{Q}}\in \mathbb {C} (x)$ admet une unique décomposition en éléments simples, c'est-à-dire comme somme d'un polynômeTet de fractionsa/(x – z)^kavecaetzcomplexes etkentier supérieur ou égal à 1. SiQadmet la factorisation $Q=(x-z_{1})^{n_{1}}(x-z_{2})^{n_{2}}\ldots (x-z_{p})^{n_{p}},$ alors la décomposition deFest de la forme $F={\frac {P}{Q}}=T+F_{1}+\ldots +F_{p}\quad {\rm {et}}\quad F_{i}={\frac {a_{i,1}}{x-z_{i}}}+{\frac {a_{i,2}}{(x-z_{i})^{2}}}+\ldots +{\frac {a_{i,n_{i}}}{(x-z_{i})^{n_{i}}}},$ c'est-à-dire que les seulsa/(x – z)^kavecanon nul qui risquent d'apparaître sont pourzégal à un pôle deFetkinférieur ou égal à son ordre.

(On dit quezest un pôle d'ordrende la fractionFsizest une racine d'ordrende son dénominateurQ,dans une écritureF=P/Qsous forme « irréductible » c'est-à-dire simplifiée au maximum: avecPetQpremiers entre eux.)

Sur le corps des réels

Les polynômes irréductiblesHà coefficients réels sont du premier ou du second degré. Les numérateursJdes éléments simples seront donc respectivement constants ou linéaires. Traditionnellement, dans ce cas, ces fractionsJ/H^ksont appelées respectivementéléments simples de première espèceetéléments simples de seconde espèce.

PourK= ℝ, le théorème général ci-dessus se réécrit donc:

Théorème—Toute fraction rationnelle $F={\frac {P}{Q}}\in \mathbb {R} (x)$ admet une unique décomposition en éléments simples. SiQadmet la factorisation

$Q=(x-z_{1})^{n_{1}}(x-z_{2})^{n_{2}}\ldots (x-z_{p})^{n_{p}}(x^{2}-\beta _{1}x+\gamma _{1})^{m_{1}}(x^{2}-\beta _{2}x+\gamma _{2})^{m_{2}}\ldots (x^{2}-\beta _{q}x+\gamma _{q})^{m_{q}}$

où les polynômes $x^{2}-\beta _{j}x+\gamma _{j}$ n'ont pas de racine réelle (Δ< 0) alors la décomposition deFest de la forme

$F=T+F_{1}+\ldots +F_{p}+G_{1}+\ldots +G_{q}\quad {\rm {et}}\quad {\begin{cases}T&\in \mathbb {R} [x]\\F_{i}&={\frac {a_{i,1}}{x-z_{i}}}+{\frac {a_{i,2}}{(x-z_{i})^{2}}}+\ldots +{\frac {a_{i,n_{i}}}{(x-z_{i})^{n_{i}}}}\\G_{j}&={\frac {b_{j,1}x+c_{j,1}}{x^{2}-\beta _{j}x+\gamma _{j}}}+{\frac {b_{j,2}x+c_{j,2}}{(x^{2}-\beta _{j}x+\gamma _{j})^{2}}}+\ldots +{\frac {b_{j,m_{j}}x+c_{j,m_{j}}}{(x^{2}-\beta _{j}x+\gamma _{j})^{m_{j}}}}\end{cases}}$

où les $a_{i,k}$ , $b_{j,l}$ et $c_{j,l}$ sont des nombres réels.

Utilisations

La décomposition en éléments simples d'unefraction rationnellea pour motivation essentielle le calcul desprimitivesde lafonction rationnellecorrespondante sur unintervallede ℝ ne contenant aucun pôle.

En effet, on ne sait pas en général intégrer directement une fonction rationnelle quelconque sur un intervalle donné. En revanche, il existe des méthodes pour intégrer les éléments simples. Par exemple, pour intégrer la fraction rationnelle ${\frac {1}{x^{2}-1}}={\frac {1}{(x+1)(x-1)}}$ ,il suffit de la décomposer sous la forme ${\frac {1/2}{x-1}}-{\frac {1/2}{x+1}}$ ,et en intégrant directement la somme on obtient $(1/2)\ln |x-1|-(1/2)\ln |x+1|+C~$ .

Un autre exemple classique^{[réf.souhaitée]}est la sommation desériestelles que $S=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}-n}}$ :après décomposition en éléments simples, on constate l'apparition d'unesomme télescopique,permettant de conclure que $S=1/4$ .

Techniques générales

La partie « existence » dela preuveduthéorème général fournit un algorithme,mais d'autres procédés sont parfois plus efficaces. Certaines techniques sont applicables lorsqueQest scindé, ce qui est toujours le cas dans le corps des complexes.

Partie entière

On peut toujours trouver directement la partie entièreTdeP/Q,pardivision euclidiennedePparQ.On sait en effet qu'il existe toujours un couple unique de polynômesTetRtels queP = T × Q + Ravec deg(R) < deg(Q). La fraction rationnelle $F={\frac {P}{Q}}={\frac {TQ+R}{Q}}$ peut s'écrire alors $F=T+{\frac {R}{Q}}$ et ${\frac {R}{Q}}$ est la somme des éléments simplesJ/H^kde la décomposition deF.

Le polynômeTest nul (etR = P) si le degré dePétait déjà strictement inférieur à celui deQ(dans ce cas, la division euclidienne est simplementP= 0 ×Q + P) et sinon,

{\rm {deg}}(T)={\rm {deg}}(P)-{\rm {deg}}(Q).

Pôle simple

Soitzun pôle simple deF = P/Q,c'est-à-dire uneracine simpledeQ.Le polynômeQ(x) s'écrit donc (x – z)B(x) avecB(z) ≠ 0. Une méthode efficace pour déterminer directement le coefficientade l'élément simplea/(x – z)associé est la méthode ditede multiplication et de remplacement:en isolant cet élément à déterminer,Fs'écrit en effeta priori(d'après le théorème):

${P(x) \over (x-z)B(x)}={\frac {a}{x-z}}+{R(x) \over B(x)}$

d'où, en multipliant ces deux fractions rationnelles parx – z:

${P(x) \over B(x)}=a+{(x-z)R(x) \over B(x)}$

puis, enévaluantau pointz:

$a={P(z) \over B(z)}={P(z) \over Q'(z)},$

oùQ'est lepolynôme dérivédeQ(la dernière expression dispense de calculerB).

Dans le cas — le plus simple — oùQest scindé et à racines simples, cette technique (jointe à la précédente pour le calcul de la partie entière) fournit la décomposition complète deF(une méthode plus globale pour ce cas — conduisant à la même expression pour les coefficients — est détaillée au§ « Cas d'un dénominateur avec pôles d'ordre un »ci-dessous). En voici deux exemples, valables sur tout corps decaractéristiquedifférente de 2 et 3 (comme ℚ ou tout surcorps, ou comme lecorps finiF₅).

Exemple avec deux pôles simples: ${\frac {x^{4}}{x^{2}-1}}=x^{2}+1+{\frac {1/2}{x-1}}-{\frac {1/2}{x+1}}.$

Détail des calculs

Dans ce premier exemple (contrairement à tous les suivants), la partie entière est non nulle (on peut prévoir son degré: 4 – 2 = 2). On l'isole par division euclidienne de $x 4$ par $x 2 - 1$ :

${\frac {x^{4}}{x^{2}-1}}=x^{2}+1+{\frac {1}{x^{2}-1}}$

et il reste à décomposer

$G={\frac {1}{x^{2}-1}}.$

$Q = (x - 1)(x + 1)$ donc cette fraction admet deux pôles simples: 1 et –1.

On en déduit queGpeut s'écrire sous la forme:

$G={\frac {1}{(x-1)(x+1)}}={\frac {a}{x-1}}+{\frac {b}{x+1}}.$

La méthode générale ci-dessus donne $a = 1/2$ et $b = -1/2$ .

On peut aussi déduire l'une des deux valeurs de l'autre en profitant de laparité: $G (x) = G (- x)$ donc

${\frac {a}{x-1}}+{\frac {b}{x+1}}={\frac {a}{-x-1}}+{\frac {b}{-x+1}}={\frac {-b}{x-1}}+{\frac {-a}{x+1}}$

si bien que (par unicité de la décomposition) $b = -a$ .

Exemple avec quatre pôles simples: ${x+3 \over x^{4}-5x^{2}+4}={-2/3 \over x-1}+{1/3 \over x+1}+{5/12 \over x-2}+{-1/12 \over x+2}.$

Coefficient d'indice maximum associé à un pôle multiple

Soitzune racine d'ordrendu dénominateur deF=P/Q.Le polynômeQ(x) s'écrit donc (x – z)ⁿB(x) avecB(z) ≠ 0.

La méthode précédente pourn= 1 se généralise (on multiplie par (x – z)ⁿpuis on évalue enz) et permet de calculer, non pas directementlesnéléments simplesa_k/(x – z)^kassociés àz,mais celui d'indicen.On trouve ainsi:

$a_{n}={P(z) \over B(z)}={n!P(z) \over Q^{(n)}(z)}.$

Élimination d'un élément simple d'indice maximum

SiF = P/(HⁿB) avecHirréductible et ne divisant pasBet si l'élément simpleJ/Hⁿa déjà été calculé, en le retranchant deF,on se ramène à une fraction plus simple à décomposer, car de dénominateurH^{n– 1}B(après simplification parH).

Exemple: ${10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^{2}+2x+4}.$

Détail des calculs

On suppose queKn'est pas decaractéristique2 ni 3 (par exempleK= ℝ ou ℂ). Alors, 2 est racine simple de $Q(x)=x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)$ et l'élément simple associéest $7/(x - 2)$ .On le retranche deF,on réduit au même dénominateur, et on simplifie par $x - 2$ (le fait que cette simplification soit possible atteste que le coefficient 7 est correct): ${10x^{2}+12x+20 \over (x-2)(x^{2}+2x+4)}-{7 \over x-2}={10x^{2}+12x+20-7(x^{2}+2x+4) \over (x-2)(x^{2}+2x+4)}={3x^{2}-2x-8 \over (x-2)(x^{2}+2x+4)}={3x+4 \over x^{2}+2x+4}.$ Cette nouvelle fraction n'est pas un élément simple si son dénominateur est scindé surK(par exemple siK= ℂ ouℤ/7ℤ), mais elle est plus facile à décomposer: 2 n'est plus pôle.

Répétition d'un facteur irréductible

Dans le cas où le dénominateur possède un facteur irréductibleHélevé à une puissancensupérieure à 1, une méthode pour déterminer les éléments simplesJ/H^kassociés est,après avoir isolé leur somme R/Hⁿ,de la décomposer par des divisions euclidiennes successives parH(cf. preuve du lemme 2ci-dessous).

Exemple sur ℝ: ${25 \over (x+2)(x^{2}+1)^{2}}={\frac {1}{x+2}}+{\frac {-x+2}{x^{2}+1}}+{\frac {-5x+10}{(x^{2}+1)^{2}}}.$

Détail des calculs

Avec le facteur irréductible du second degré $x 2 + 1$ au dénominateur, la décomposition en fractions partielles sera de la forme

$F={25 \over (x+2)(x^{2}+1)^{2}}={a \over x+2}+{bx+c \over x^{2}+1}+{dx+e \over (x^{2}+1)^{2}}.$ Lecoefficient associé au pôle simpleest $a = 1$ .On peutéliminerl'élément simple correspondant: ${bx+c \over x^{2}+1}+{dx+e \over (x^{2}+1)^{2}}=F-{\frac {a}{x+2}}={25 \over (x+2)(x^{2}+1)^{2}}-{\frac {1}{x+2}}=\ldots ={\frac {-x^{3}+2x^{2}-6x+12}{(x^{2}+1)^{2}}}.$ Une division euclidienne par $x 2 + 1$ du numérateur obtenu permet de conclure: ${\frac {-x^{3}+2x^{2}-6x+12}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {(x^{2}+1)(-x+2)-5x+10}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-x+2}{x^{2}+1}}+{\frac {-5x+10}{(x^{2}+1)^{2}}}.$

Éléments simples associés à un pôle multiple

On peut calculer l'élément simple d'indice maximum associé à un tel pôlepuis l'éliminer,et les calculer ainsi tous, de proche en proche. Mais la technique suivante est plus globale.

Par exemple, pour une fraction rationnelle de la forme

$F(x)={P(x) \over (x-z)^{3}B(x)}$

où $z$ est un pôle d'ordre 3 (i.e. $B (z) \neq 0$ ), la détermination des coefficients des trois éléments simples associés à ce pôle s'opère en effectuant le changement de variable $y = x - z$ .La fraction s'écrit alors

${P_{0}(y) \over y^{3}B_{0}(y)}.$

Unedivision suivant les puissances croissantesde $P 0$ par $B 0$ fournit trois coefficients $a, b, c$ et un polynôme $R 0$ tels que

$P_{0}(y)=B_{0}(y)(a+by+cy^{2})+y^{3}R_{0}(y)$

ou encore:

${P_{0}(y) \over y^{3}B_{0}(y)}={\frac {a}{y^{3}}}+{\frac {b}{y^{2}}}+{\frac {c}{y}}+{\frac {R_{0}(y)}{B_{0}(y)}}.$

En revenant à la variable de départ, on obtient donc les éléments simples associés à $z$ ,et une fraction — restant à décomposer — dontzn'est plus un pôle:

$F(x)={\frac {a}{(x-z)^{3}}}+{\frac {b}{(x-z)^{2}}}+{\frac {c}{x-z}}+{\frac {R(x)}{B(x)}}.$

Identification des coefficients

Pour déterminer, parmi lescoefficientsdeTet desJdans lesJ/H^k,lesncoefficients non encore (éventuellement) déterminés par d'autres procédés, une méthode toujours réalisable consiste à réduire au même dénominateur le membre de droite de la décomposition et à identifier les coefficients dans les numérateurs. On aboutit à unsystème d'équations linéaires— à résoudre — àninconnues. Ce système, denéquations ou plus, possède une unique solution si (et seulement si) les coefficients déjà déterminés étaient corrects. Une variante pour obtenir un tel système est d'évaluer les deux membres pournvaleurs dex,différentes des pôles deF.

Cette méthode n'est efficace que sinest petit.

Exemple (comme au§ « Élimination d'un élément simple d'indice maximum »mais dans un autre contexte): ${10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^{2}+2x+4}.$

Détail des calculs

On fait ici l'hypothèse plus forte que –3 n'est pas un carré dansK(par exempleK= ℝ ouℤ/5ℤ). Rappelons que $x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)$ et que le coefficient associé au pôle simple 2 vaut 7. Le polynôme $x 2 + 2 x + 4 = (x + 1) 2 + 3$ est irréductible, par hypothèse surK.La décomposition deFen éléments simples est donc de la forme ${10x^{2}+12x+20 \over (x-2)(x^{2}+2x+4)}={7 \over x-2}+{ax+b \over x^{2}+2x+4},$ et il reste à déterminer les scalaires $a$ et $b$ .

En réduisant au même dénominateur et en identifiant, on aboutit au système (échelonnéet redondant): $10=7+a,\quad 12=14-2a+b,\quad 20=28-2b$ dont la solution est: $a = 3$ et $b = 4$ .
En remplaçant $x$ dans l'équation par 0 et 1, lesystème linéaire de 2 équations à 2 inconnuesobtenu est: ${\frac {20}{-8}}={\frac {7}{-2}}+{\frac {b}{4}}{\text{ et }}{42 \over -7}=-7+{a+b \over 7},$ et l'on retrouve: $b = 4$ et $a = 3$ .

Utilisation de la parité

Comme dans le premier exempleci-dessus,l'éventuelle parité ou imparité deFpermet de réduire le nombre de coefficients à déterminer. Par exemple sizest un pôle d'ordrenet siFest paire ou impaire, alors –zest aussi un pôle d'ordren,et par unicité de la décomposition, les éléments simples qui lui sont associés, ${\frac {b_{1}}{x+z}}+{\frac {b_{2}}{(x+z)^{2}}}+\ldots +{\frac {b_{n}}{(x+z)^{n}}},$ se déduisent de ceux associés àz, ${\frac {a_{1}}{x-z}}+{\frac {a_{2}}{(x-z)^{2}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{(x-z)^{n}}},$ par $b_{k}=(-1)^{k}a_{k}{\text{ si }}F{\text{ est paire et }}b_{k}=(-1)^{k-1}a_{k}{\text{ si }}F{\text{ est impaire.}}$

Techniques spécifiques

Passage par les complexes

Article détaillé:Développement en éléments simples en analyse complexe.

Une méthode, pour trouver la décomposition d'une fraction réelleFsur ℝ, consiste à utiliser celle sur ℂ. En effet, par le même raisonnement qu'au§ « Utilisation de la parité »,sizest un pôle non réel d'ordrenalors sonconjuguézaussi, et les coefficients des éléments simples qui lui sont associés sont les conjugués de ceux associés àz;de plus, la somme de tous ces éléments simples,

${\frac {a_{1}}{x-z}}+{\frac {\overline {a_{1}}}{x-{\overline {z}}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{(x-z)^{n}}}+{\frac {\overline {a_{n}}}{(x-{\overline {z}})^{n}}},$

est une fraction rationnelle réelle, égale à la somme desnéléments simples réels de seconde espèce associés à (x – z)(x –z), facteur réel irréductible d'ordrendeQ.

Cette méthode est surtout utile sin= 1^[1]:la somme des deux éléments simples complexes associés à deux pôlessimplesconjugués donne l'élément simple réel correspondant.

Exemple: ${\frac {3}{x^{3}+1}}={\frac {1}{x+1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2{\rm {i}}\pi /3}}{x-{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi /3}}}+{\frac {{\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi /3}}{x-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\pi /3}}}={\frac {1}{x+1}}+{\frac {2-x}{x^{2}-x+1}}.$

Détail des calculs

${\frac {3}{x^{3}+1}}={\frac {3}{(x+1)(x-{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi /3})(x-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\pi /3})}}={\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{x-{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi /3}}}+{\frac {c}{x-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\pi /3}}}.$

On détermine les coefficients $a, b, c$ associés aux pôles simples, par la technique vue plus haut au§ « Pôle simple »ou celle du§ « Cas d'un dénominateur avec pôles d'ordre un »ci-dessous: $P (x)/ Q' (x) = 1/ x 2$ donc $a={\frac {1}{(-1)^{2}}}=1,\quad b={\frac {1}{({\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi /3})^{2}}}={\rm {e}}^{-2{\rm {i}}\pi /3},\quad c={\frac {1}{({\rm {e}}^{-{\rm {i}}\pi /3})^{2}}}={\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi /3}.$ (Le coefficient $c$ est bien le conjugué de $b$ .)

Puis on somme les deux éléments simples conjugués: ${\frac {{\rm {e}}^{-2{\rm {i}}\pi /3}}{x-{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi /3}}}+{\frac {{\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi /3}}{x-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\pi /3}}}={\frac {2-x}{x^{2}-x+1}}.$

Sin> 1, il suffit d'adjoindre à cette méthode celle du§ « Répétition d'un facteur irréductible ».

Cas d'un dénominateur avec pôles d'ordre un

Les exemples du§ « Pôle simple »peuvent être généralisés à la situation suivante, sur un corpsKarbitraire:

SoitQun polynôme unitaire de degréndont la décomposition en facteurs irréductibles est

$Q(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})$

où tous les $x_{i}$ sont des éléments deKdifférents deux à deux. En d'autres termes:Qest scindé surKet à racines simples. SiPest un polynôme quelconque de degré strictement inférieur àn,par la formule d'interpolation de Lagrange,il peut être écrit de manière unique comme une somme

$P(x)=\sum _{j=1}^{n}P(x_{j})L_{j}(x)$

où $\,L_{j}(x)$ est lej-ième polynôme de Lagrange associé à $x_{1},\ldots,x_{n}$ :

$L_{j}(x)=\prod _{1\leq k\leq n,\,k\neq j}{{x-x_{k}} \over {x_{j}-x_{k}}}.$

On en déduit la décomposition deP/Qen éléments simples:

${P(x) \over Q(x)}=\sum _{j=1}^{n}P(x_{j}){\frac {L_{j}(x)}{Q(x)}}=\sum _{j=1}^{n}{c_{j} \over {x-x_{j}}}\quad {\mathrm {o} {\grave {u}}}\quad c_{j}={P(x_{j}) \over {\prod _{k\leq n,\,k\neq j}(x_{j}-x_{k})}}={P(x_{j}) \over Q'(x_{j})}.$

Existence et unicité sur un corps quelconque

Lethéorème général d'existence et d'unicitérésulte (par itération) dulemmesuivant.

Lemme—Toute fraction rationnelleP/(HⁿB), avecHirréductible et ne divisant pasB,s'écrit de façon unique sous la forme

{\frac {P}{H^{n}B}}={\frac {J_{n}}{H^{n}}}+{\frac {J_{n-1}}{H^{n-1}}}+\ldots +{\frac {J_{2}}{H^{2}}}+{\frac {J_{1}}{H}}+{\frac {S}{B}}\quad {\rm {avec}}\quad {\rm {deg}}(J_{k})<{\rm {deg}}(H).

Dans le cas particulierB= 1 (la dernière itération), le polynômeSobtenu dans ce lemme est la partie entièreTde la fraction.

Ce lemme se déduit immédiatement des lemmes 1 et 2 suivants, conséquences du fait que l'anneau des polynômes sur un corps esteuclidien,avec unicité de la division.

Lemme 1—Toute fraction rationnelleP/(AB) avecAetBpremiers entre eux s'écrit de façon unique sous la forme ${\frac {P}{AB}}={\frac {R}{A}}+{\frac {S}{B}}\quad {\rm {avec}}\quad {\rm {deg}}(R)<{\rm {deg}}(A).$

Lemme 2—Toute fraction rationnelle de la formeR/Hⁿ,avec deg(R) < deg(Hⁿ), s'écrit de façon unique ${\frac {R}{H^{n}}}={\frac {J_{n}}{H^{n}}}+{\frac {J_{n-1}}{H^{n-1}}}+\ldots +{\frac {J_{2}}{H^{2}}}+{\frac {J_{1}}{H}}\quad {\rm {avec}}\quad {\rm {deg}}(J_{k})<{\rm {deg}}(H).$

Preuve des lemmes 1 et 2

RésoudreP/(AB) =R/A + S/Brevient à résoudreP = BR + AS,c'est-à-dire à trouver un polynômeRtel queP – BRsoit divisible parA.L'identité de Bézoutfournit des polynômesUetVtels que 1 =AU + BVdonc fournit déjà une solution:R₀=VP.Les solutions sont alors tous lesRtels queAdivise (P – BR) – (P – BR₀) =B(R₀–R), autrement dit: lesRtels queR₀–Rsoit multiple deA,et il en existe un unique qui soit de degré strictement inférieur à celui deA:le reste de ladivision euclidiennedeR₀parA.
Il suffit d'itérer la remarque suivante, obtenue par division euclidienne deRparH(la méthode est analogue à celle utilisée pour écrire un nombre en basea):Toute fraction rationnelle de la formeR/Hⁿ,avecn> 0, s'écrit de façon uniqueJ/Hⁿ+L/H^{n– 1}avec deg(J) < deg(H).
De plus, si deg(R) < deg(Hⁿ) alors deg(L) < deg(H^{n– 1}).

Fractions d'entiers

Paragraphe détaillé:Réduction d'une fraction en éléments simplesdans l'article «Équation diophantienneax + by = c».

L'idée de la décomposition en éléments simples peut être étendue à d'autres anneaux euclidiens, comme celui desentiers (relatifs),où lesnombres premiersjouent le rôle des polynômes irréductiblesunitaires.Tout rationnel est somme d'un entier et de fractions dont les dénominateurs sont des puissances de nombres premiers. On a même unicité de la décomposition, si l'on impose que chaque dénominateurp^kn'apparaisse qu'une fois, et que le numérateur correspondant soit compris entre 0 etp– 1. Par exemple:

${\frac {1}{18}}=-1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3^{2}}}.$

La « partie entière » (dans ce contexte) de cette fraction est l'entier –1, tandis que sapartie entière au sens usuelest 0.

Note

↑Pourn> 1, la somme de deux éléments simples complexes conjugués est bien une fraction rationnelle à coefficients réels, mais n'est pas forcément un élément simple. Exemple: ${\frac {1}{(x-{\rm {i}})^{2}}}+{\frac {1}{(x+{\rm {i}})^{2}}}=2{\frac {x^{2}-1}{(x^{2}+1)^{2}}}$ .