Graphe planaire

Dans lathéorie des graphes,ungraphe planaireest ungraphequi a la particularité de pouvoir se représenter sur unplansans qu'aucune arête (ou arc pour un graphe orienté) n'en croise une autre. Autrement dit, ces graphes sont précisément ceux que l'on peutplongerdans le plan, ou encore les graphes dont lenombre de croisementsest nul.

Les méthodes associées à ces graphes permettent de résoudre des problèmes comme l'énigme des trois maisonset d'autres plus difficiles comme lethéorème des quatre couleurs.

Exemples et contre-exemples

1) 2) 3) 4)

1. Ce graphe est clairement planaire, car il n'existe pas d'intersection entre deux arêtes.
2. C'est ungraphe completà quatre sommets (K4). Il est planaire: si on déplace le sommet4dans le triangle1 2 3,on constate qu'il n'y a plus d'intersection d'arêtes.
3. C'est un graphe complet à 5 sommets (K5). Il n'est pas planaire.
4. C'est ungraphe biparti completK_3,3à 6 sommets, 3 d'entre eux se connectant aux trois autres. Il n'est pas planaire.

En fait,K₅etK_3,3sont les plus petits graphes non planaires, ce qui découle de la caractérisation ci-dessous.

Caractérisation de Kuratowski et de Wagner

Le graphe des pays du monde reliés par un arête s'ils sont limitrophes n'est pas planaire car il possède une expansion deK₅parmi ses sous-groupes partiels.

LemathématicienpolonaisKazimierz Kuratowskia établi en 1930 la caractérisation suivante des graphes planaires:

Un graphe fini est planaire si et seulement s'il ne contient pas desous-graphepartiel qui est uneexpansiondeK₅(le graphe complet à 5 sommets) ouK_3,3(le graphe complet biparti à 3+3 sommets).

L'expansion(ousubdivision) d'un graphe est le résultat de l'ajout d'un ou plusieurs sommets sur une ou plusieurs arêtes (par exemple, transformation de l'arête •——• en •—•—•).

Quelques années plus tard le mathématicienallemandKlaus Wagneren donna une caractérisation semblable:

Un graphe fini est planaire si et seulement s'il ne compte pasK₅ouK_3,3parmi sesmineurs.

Unmineurd'un graphe est le résultat de lacontraction d'arêtes(fusionnant les extrémités), la suppression d'arêtes (sans fusionner les extrémités), et la suppression de sommets (et des arêtes adjacentes).

La différence entre ces deux caractérisations est minuscule, mais Wagner fit la conjectureque ce dernier admettrait une généralisation que celle de Kuratowski n'admettait pas. Il supposait qu'il y aurait, pour chaque classe de graphes finis close par mineur, unensemble finidemineurs interditsqui la caractériserait. Une classe est diteclose par mineursi elle comprend tous les mineurs de chaque graphe qu'elle comprend; un graphe planaire, par exemple, est toujours planaire après la contraction ou suppression d'arêtes et de sommets, et pour cette classe les deux seuls mineurs interdits sontK₅etK_3,3.Mais aussi notamment il existerait un nombre fini de mineurs interdits pour la classe des graphes qui peuvent se plonger sur untore,ou sur une surface quelconque, et pour la classe de graphes qui peuvent se plonger dans l'espace à trois dimensions sans nœud, entre autres. Cetteconjecturefut enfin prouvée en 2004 par Robertson et Seymour, mais de façon non-constructive: par exemple, on ne connaît toujours pas tous les mineurs interdits pour le plongement de graphe sur un tore. Pour plus d'informations, voir l'articlethéorème de Robertson-Seymour.

Propriétés

Le degré de la face non bornée de ce graphe planaire est égal à 6.

L'arête bleue est une boucle, les arêtes rouges sont multiples.

Dans toute la suite du paragraphe, nous utiliserons les notations suivantes:

• $G$désigne un graphe planaire,
• $n$son nombre de nœuds,
• $a$son nombre d'arêtes (ou de liens),
• $f$son nombre de faces.

Une face est unecomposante connexedu complémentaire du graphe dans le plan. Le degré d'une face$F$est la longueur de son cycle frontière, on considère uncheminle plus court possible d'origine confondue avec son extrémité, le nombre d'arêtes (avec leur multiplicité) est le degré de la face$F$.Il est noté${\text{deg}}(F)$.On obtient une première formule presque évidente:

$(1)\quad \sum _{F}{\text{deg}}(F)=2a.$

En effet, chaque arête élément d'un cycle borde deux faces, une arête partagée par aucun cycle est parcourue deux fois par le chemin frontière de la composante non bornée du complémentaire du graphe.

Formule d'Euler et conséquences

Laformule d'Eulerpour un graphe planaire connexe est:

$n-a+f=2.$

Une méthode simple pour la démontrer est de l'établir pour un graphe sans cycle (à une face), puis par récurrence d'ajouter les arêtes qui engendrent des cycles. Cette formule permet de démontrer que tout graphe simple planaire connexe, ayant au moins trois sommets, vérifie la majoration suivante.

$(2)\quad a\leq 3n-6.$

Ungraphe simpleest un graphe sans boucle (une boucle est une arête qui possède une origine et une extrémité confondues) et sans arête multiple (des arêtes multiples sont des arêtes ayant même origine et même extrémité). Cette formule se démontre simplement: toute face est de degré au moins égal à 3, car le graphe comporte au moins trois nœuds et est simple. On en déduit, par la formule (1), que 3fest inférieur ou égal à 2a.La formule d'Euler permet de conclure.

Cette formule implique que les graphes planaires sont desgraphes creux.De plus, leurarboricitéest bornée par 3.

Cette majoration est à l'origine d'une démonstration du fait queK₅n'est pas planaire. En effet,K₅dispose de 10 arêtes, et 5 nœuds, ce résultat est incompatible avec la majoration (2). Si, avec les hypothèses de la majoration (2), le graphe estsans triangle,on dispose alors de la majoration:

$(3)\quad a\leq 2n-4.$

Le raisonnement est le même, mais cette fois-ci le degré d'une face est au moins égal à 4. On en déduit queK_3,3n'est pas planaire.Les détails sont donnés dans l'article «Énigme des trois maisons».

Démonstration de la formule d'Euler

Un premier lemme est utile:

• Tout graphe planaire connexe peut s'obtenir en adjoignant des arêtes à un arbre connexe ayant les mêmes nœuds:

Un arbre est un graphe ne contenant qu'une unique face. On procède par récurrence surf,le nombre de faces du graphe.

Supposons que le graphe ne possède qu'une unique face, le graphe est un arbre et la proposition est trivialement vérifiée. Supposons que la proposition est vraie pourfet montrons-la pour un grapheGàf+ 1 faces. Lethéorème de Jordanmontre que s'il existe plusieurs faces, il existe unecourbe de Jordanformée par des arêtes. Si l'on retranche une des arêtesAde la courbe au grapheG,les parties droite et gauche du complémentaire du graphe, qui formaient précédemment deux faces, n'en font plus qu'une et ce qui reste de la courbe de Jordan garantit queGest toujours connexe. Le graphe amputé deAvérifie les hypothèses de récurrence et s'obtient en adjoignant des arêtes à un arbre connexe. Ajouter la dernière arêteAfournit le graphe initial.

• Formule d'Euler:

Démontrons la proposition tout d'abord pour un arbre, par récurrence sur le nombrende ses nœuds. Si l'arbre ne contient qu'un unique nœud, il possède une face et aucune arête, la formule est vérifiée. On suppose que la formule est vraie pourn,montrons-la pour un arbreGcontenantn+ 1 nœuds. Comme l'arbre ne contient qu'une unique face, il contient au moins un nœudNconnecté à une unique arête (sinon le théorème de Jordan garantirait l'existence d'au moins deux faces.). L'arbreGprivé de ce nœud et de l'arête adjacente est un arbre connexe contenantnnœuds, il vérifie l'hypothèse de récurrence. Ajouter le nœudNet l'arête associée correspond à ajouter un nœud et une arête, la formule d'Euler reste vraie pourG,ce qui termine cette première étape.

Démontrons maintenant la proposition pour un graphe connexe, par récurrence sur le nombrefde ses faces. Sifest égal à 1, la formule est vérifiée d'après la récurrence précédente. Supposons-la vraie pour tout graphe ayantffaces et montrons-la pour un grapheGayantf+ 1 faces. La récurrence du lemme montre qu'il est possible de retrancher une arête àGde manière que le nouveau graphe soit encore connexe et ait exactementffaces. La formule d'Euler est alors vérifiée par hypothèse de récurrence. Rajouter l'arête manquante ne modifie pas le nombre de nœuds, et incrémente de un le nombre d'arêtes et de faces. La formule d'Euler est encore vérifiée, ce qui termine la démonstration.

Dessin de graphe

Laconjecture de Scheinerman,maintenant démontrée, énonce que tout graphe planaire est legraphe d'intersectionde segments dans le plan.

Intérêt et applications

Un graphe de mouvement brut à gauche; le même graphe réorganisé à droite.

Un exemple simple pour illustrer l'intérêt des graphes planaires est une énigme, ditedes trois maisonsinitialement posée sous forme mathématique par H. E. Dudeney en1917.Elle prend la forme suivante: « Un lotissement de trois maisons doit être équipé d'eau, de gaz et d'électricité. La règlementation interdit de croiser les canalisations pour des raisons de sécurité. Comment faut-il faire?»

Cependant, l'intérêt pour les graphes planaires est plus ancien, il remonte authéorème des quatre couleurs.Depuis, de nombreux problèmes difficiles du point de vue algorithmique (NP-complet) se sont avérés faciles dans cette classe particulière; toutefois pour la plupart de ces problèmes seule l'interdiction dumineurK5est nécessaire.

La propriété de planarité est à l'origine des questions plus générales de plongement de graphe sur des surfaces (graph embedding): peut-on plonger un graphe donné sur une surface donnée?

La propriété de planarité d'un graphe le rend plus abordable aucerveauhumain^{[réf. nécessaire]}comme en témoigne l'exemple du problème ducavalierauxéchecsci-dessous:

Sur un échiquier, on dispose un cavalier. Le but est de le faire passer par toutes les cases, une seule fois par case, en respectant le mouvement classique de la pièce aux échecs. Pour illustrer le problème, on utilise ici un plateau de quatre cases sur trois rangées. Le problème est représenté par un graphe de mouvement; les sommets du graphe correspondent aux cases de l’échiquier; les arcs figurent les mouvements possibles. Ainsi, à partir de lacase 1,il est possible de se rendre à lacase 8ou à lacase 6car celles-ci sont liées à la première sur le graphe.

Présenté de cette manière, le problème reste complexe. Toutefois, le graphe est planaire et on peut le représenter de façon plus intuitive. On peut facilement extraire de cette nouvelle représentation une solution (tracée en vert) partant de lacase 3et arrivant à lacase 10.

De façon plus terre à terre, il était plus facile de concevoir les tout premierscircuits imprimésà transistors quand le graphe du circuit était planaire: on évitait alors de devoir recourir au procédé bicouche ou à des «straps» fragiles pour s'échapper du plan du circuit imprimé.

Aspects algorithmiques

Reconnaissance

Le problème qui consiste, étant donné un graphe à savoir si c'est un graphe planaire est appelétest de planarité.Plusieurs algorithmes ont été proposés pour ce problème. Les meilleurs atteignent unecomplexité en temps linéaire,ce qui est optimal asymptotiquement. Le premier tel algorithme date de 1974, et est dû àRobert TarjanetJohn Hopcroft. Robert Cori a décrit l'historique et les principes de cet algorithme dans un article paru dans leBulletin de la société informatique de France.

Problèmes restreints à la classe

Certainsproblèmes algorithmiquessont plus faciles à résoudre si on se restreint aux graphes planaires, par exemple leproblème de l'isomorphisme de graphespeut être résolu en temps linéaire,ce qui a priori n'est pas du tout le cas pour l'ensemble des graphes. De même pour l'approximation,par exemple le problèmek-centrene peut pas être approché avec un meilleur ratio que 2 dans le cas général, sauf siP=NP,alors qu'il existe unschéma d'approximation en temps polynomialpour le cas planaire.

Ce n'est pas le cas de tous les problèmes, par exemple leproblème de couverture par sommetsresteNP-complet,c'est-à-dire difficile à résoudre a priori, même si l'on se restreint à des graphes planaires dedegréau plus 3.

Voir aussi

Articles connexes

• Graphe dual
• Théorème de Battle-Harary-Kodama
• Critère de planarité de Whitney
• Critère de planarité de Fraysseix-Rosenstiehl
• Critère de planarité de Mac Lane
• Critère de planarité de Colin de Verdière
• k-arbre
• Théorème du séparateur planaire

Liens externes

• Bibliothèque d'algorithmes et éditeur de graphes— bibliothèque d'algorithmes sur les graphes en GPL, parmi lesquels un test de planarité, une représentation planaire, une exhibition de sous-graphes de Kuratowski en temps linéaire
• BGraphe— pour jouer avec les graphes planaires