Groupe de Galois

Évariste Galois 1811-1832

Enmathématiques,et plus spécifiquement enalgèbredans le cadre de lathéorie de Galois,legroupe de Galoisd'uneextensiondecorpsLsur un corpsKest legroupedesautomorphismesde corps deLlaissantKinvariant point par point.Le groupe de Galois est souvent noté Gal(L/K).

Si l'extension possède debonnespropriétés, c’est-à-dire si elle estséparableetnormale,on parle alors d'extension de Galoiset les hypothèses duthéorème fondamental de la théorie de Galoissont réunies. Il existe alors une bijection entre les sous-corps deLet les sous-groupes du groupe de Galois Gal(L/K).

La correspondance permet une compréhension profonde de la structure de l'extension. Un exemple important est lethéorème d'Abel,il donne unecondition nécessaire et suffisantede résolution par radicaux d'uneéquation algébrique.

Histoire

Genèse

Niels Abel (1802-1829)

Si l'histoire de la théorie des équations algébriques remonte à la nuit des temps, en revanche l'introduction du concept de groupe date duXVIII^esiècle.Joseph-Louis Lagrangemet en évidence la relation entre les propriétés despermutationsdes racines et la possibilité de résolution d'uneéquation cubiqueouquartique.Paolo Ruffiniest le premier à comprendre que l'équation générale et particulièrement l'équation quintiquen'admet pas de solution.Sa démonstration reste lacunaire. Les démonstrations deNiels Henrik Abel,dans deux articles écrits en 1824et 1826 passent, après des années d'incompréhension, à la postérité. Cependant la notion de groupe abstrait n'apparaît pas encore et le théorème reste incomplet.

Évariste Galois

Évariste Galoisrésout définitivement la problématique en proposant une condition nécessaire et suffisante juste pour la résolubilité de l'équation par radicaux. Son approche subit la même incompréhension que ses prédécesseurs. Ses premiers écrits, présentés à l'Académie des sciencesdès 1829, sont définitivement perdus. Un articlede l'auteur écrit en 1830 est découvert parJoseph Liouvillequi le présente à lacommunauté scientifiqueen 1843 en ces termes: «…J'espère intéresser l'Académie en lui annonçant que dans les papiers d'Évariste Galois j'ai trouvé une solution aussi exacte que profonde de ce beau problème: Étant donné uneéquationirréductibledécider si elle est ou non résoluble par radicaux.»

L'apport de Galois est majeur, G. Verriestle décrit dans les termes suivants: «le trait de génie de Galois c'est d'avoir découvert que le nœud du problème réside non pas dans la recherche directe des grandeurs à adjoindre, mais dans l'étude de la nature du groupe de l'équation. Ce groupe […] exprime le degré d'indiscernabilité des racines […]). Ce n'est donc plus le degré d'une équation qui mesure la difficulté de la résoudre mais c'est la nature de son groupe. »

Galois modifie profondément son axe d'analyse par rapport à ses prédécesseurs. Pour la première fois dans l'histoire des mathématiques, il met en évidence une structure abstraite, qu'il appellegroupe de l'équation.C'est une étude sur la théorie des groupes abstraits qui lui permet de montrer qu'il existe des cas non résolubles. Il met ainsi en évidence que legroupe alternéd'indice cinq ne possède pas les propriétés nécessaires pour êtrerésoluble.Il écrit ainsi «Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un groupe indécomposable quand ce nombre n'est pas premier est 5.4.3.»

Cette démarche, consistant à définir et analyser des structures abstraites et non plus des équations, est des plus fécondes. Elle préfigure ce qu'est devenue l'algèbre. Pour cette raison, Galois est souvent considéré comme un père de l'algèbre moderne.

L'évolution de la théorie

Deux mathématiciens comprennent immédiatement la portée du travail de Galois, Liouville etAugustin Louis Cauchyqui publie dès 1845 un article démontrantle théorème sur les groupes finis portant son nom.PuisArthur Cayleydonne une première définition abstraite de la structure de groupe,indépendante de la notion de permutation.Camille Jordandiffuse largement les idées de Galois. Son livrerend accessible la théorie à un public beaucoup plus vaste en 1870.

La théorie est petit à petit profondément modifiée par des mathématiciens commeRichard Dedekindqui fut le premier à parler de «théorie de Galois»,Otto Hölderqui démontrason théorèmedésormais célèbre en 1889 ouEmil Artinqui donne la définition moderne d'un groupe de Galois.Le groupe de Galois est maintenant un groupe d'automorphismeset non ungroupe de permutations.

Motivation

Motivation originale

Initialement, le groupe de Galois est apparu comme un outil pour comprendre leséquations algébriques.L'approche naïve consistant à opérer des changements de variables ou des transformations sur unpolynômene permet pas de trouver algébriquement les racines.

Pour comprendre dans quel cas une telle démarche fonctionne, une bonne approche consiste à étudier les permutations des racines qui laissent invariantes toutes les expressions algébriques de ces racines. Une telle structure forme un groupe, isomorphe au groupe de Galois.

La théorie de Galois permet alors de déterminer exactement dans quel cas il est possible d'exprimer les racines en fonctions d'expressions algébriques descoefficientsde l'équation et de radicaux. Un radical est un nombre dont une puissance n-ième est un nombre du corps initial. La structure du groupe de Galois permet cette exacte détermination.

Une telle démarche, consistant à étudier non plus les transformations, mais la structure même de la plus petiteextensioncontenant toutes les racines, appeléecorps de décomposition,s'avère puissante. Elle est la base de l'algèbre moderne. Cette approche consiste à étudier de manière générale la structure d'un ensemble particulier, ici le corps de décomposition. Cet ensemble apparaît comme disposant d'une double structure, à la fois de corps et aussi d'espace vectorielsur le corps des coefficients. Le groupe de Galois est la structure algébrique la plus simple permettant une compréhension profonde.

Les extensions finies

Cette approche générale est féconde pour l'analyse de touteextension finiesur n'importe quel corps de base. Cette analyse s'avère plus simple si l'extension possède debonnespropriétés. Deux hypothèses sont utiles, l'extension doit êtreséparableetnormale.On parle alors d'extension galoisienne.Il est néanmoins nécessaire de généraliser les concepts. Un groupe devient alors une structure abstraite qui s'éloigne de la notion de permutation. Le groupe de Galois n'est plus défini à l'aide des racines d'un polynôme car l'extension est maintenant définie de manière générale et non plus à partir d'une équation algébrique. Le groupe de Galois apparaît alors comme le groupe des automorphismes de l'extension laissant invariant le corps de base.

Le théorème fondamental de la théorie de Galois établit, dans le cas où l'extension finie est galoisienne, une correspondance entre ses corps intermédiaires et les sous-groupes de son groupe de Galois. Cette correspondance permet la compréhension fine de l'extension.

Le cas général

Le caractère fini de l'extension n'est pas nécessaire pour la définition du groupe de Galois. Dans le cas général, le groupe de Galois reste un outil fondamental. Cependant, la théorie devient suffisamment complexe pour être décomposée.

Le cas où le groupe de Galois est commutatif est maintenant parfaitement connu. Lathéorie des corps de classescorrespond à la classification desextensions abéliennes.Cette théorie est considérée comme l'un des grands succès des mathématiques duXX^esiècle.

Le cas non commutatif est encore largement une question ouverte en mathématique. Le groupe de Galois reste un outil fondamental, comme le montrent par exemple les travaux deLaurent Lafforguesur leprogramme de Langlands,qui lui valurent unemédaille Fieldsen 2002.

Définition

SoientKun corps,Luneextension algébriquedeKetPun polynôme à coefficients dansK.

• On appellegroupe de Galois de l'extensionLsurKle groupe des automorphismes deLlaissantKinvariant. Le groupe de Galois est souvent noté Gal (L/K).
• On appellegroupe de Galois du polynômeP sur Kle groupe de Galois d'uncorps de décompositiondePsurK:il est uniqueà isomorphisme près,ce dernier l'étant déjà. Le groupe de Galois est alors souvent notéG_K(P).

Exemples

D'autres exemples sont donnés dans les articles «Théorème d'Abel (algèbre)» et «Théorie de Galois inverse». Signalons aussi l'existence d'un polynôme de degré 7 ayant pour groupe de Galois ungroupe simple d'ordre 168.

Degré 2

Considérons un exemple suffisamment simple pour que l'approche historique soit utilisable dans ce cas. SoitPle polynôme à coefficients rationnels défini par:

$P(X)=X^{2}-2X-1.$

Ses deux racines sont:

$x_{1}=1+{\sqrt {2}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}=1-{\sqrt {2}}.$

Considérons alors l'ensembleEdes polynômes à deux variables dont le couple (x₁,x₂) est racine. Les trois exemples de polynômes suivants vérifient cette propriété:

$Q_{1}(X,Y)=X^{2}-2X-1,\quad Q_{2}(X,Y)=X+Y-2\quad {\text{et}}\quad Q_{3}(X,Y)=X.Y+1.$

On remarque alors que (x₂,x₁) est aussi une racine d'un polynôme de cette nature. Ceci démontre que les deux permutations des racines, qui au couple (x₁,x₂) associent, l'une (x₁,x₂) et l'autre, (x₂,x₁), laissentEstable (plus généralement: le groupe de Galois d'unpolynôme irréductibleagit transitivementsur l'ensemble des racines de ce polynôme).

Le groupe des deux permutations est isomorphe au groupe de Galois. Initialement c'est ainsi qu'il était défini. Il est ici isomorphe à ℤ/2ℤ.

Degré 5

Nappe qui àz,associe le module de P(z)

Selon lecomplément apporté par Galois au théorème d'Abel,si le groupe de Galois d'un polynôme irréductiblePsur uncorps parfaitK,comme le corps ℚ desrationnels,n'est pasrésoluble,alors les racines du polynôme ne s'expriment pas à l'aide de radicaux à partir d'éléments deK.Les exemples les plus simples sont des polynômes de degré 5 dont le groupe de Galois sur ℚ est legroupe symétriqueS₅,qui n'est pas résoluble.

Le polynômeP(X) =X⁵– 3X– 1 en est un exemple. Une façon de le vérifier— on en verra une plus expéditive à la section suivante — est de démontrer que sur ses cinq racines complexes, exactement trois sont réelles et une seule est de module strictement inférieur à 1. Ce polynôme est illustré sur la figure de droite; plus précisément, cette figure illustre la nappe qui à un nombre complexezassocie le module deP(z) pour les points de coordonnée imaginaire positive. Les trois racines réelles valent approximativement –1,21, –0,33 et 1,39 et deux complexes conjuguées, 0,08 ± 1,33i.L'existence d'un unique couple de racines complexes conjuguées montre l'existence d'une transposition dans le groupe. Le fait qu'il n'existe qu'une unique racine dans le disque unité, illustré en vert sur la figure, est l'un des arguments possiblespour montrer que le polynôme est irréductible sur ℚ. On en déduit que le groupe contient un élément d'ordre5. L'existence de ces deux éléments (d'ordres 2 et 5) établit que le groupe de Galois est isomorphe àS₅.

Détails de l'exempleX⁵– 3X– 1

• Le polynômePest irréductible dans ℚ[X]:
  En effet, s'il ne l'était pas, parfactorialitéde ℤ[X], il serait le produit de deuxpolynômes unitairesà coefficients dans ℤ, de degrés respectifs 1 et 4 ou 2 et 3. Les termes constants de ces deux polynômes auraient pour produit –1 donc seraient égaux à 1 ou –1 et opposés l'un de l'autre. Les deux méthodes ci-dessous montrent qu'une telle factorisation est impossible.
  • Calcul direct
    Le cas où l'un des deux facteurs est de degré 1, donc égal àX– 1 ouX+ 1, est exclu d'emblée, car 1 et –1 ne sont pas racines deP.Dans l'autre cas (degrés 2 et 3), il existerait deux entiersaetb,avecbégal à ±1, tels que$X^{5}-3X-1=(X^{3}+aX^{2}+(a^{2}+b)X+b)(X^{2}-aX-b).$Le calcul du terme de degré 2 montre quea(a²+ 2b) =bdoncb= –1 eta= 1, ce qui est incompatible avec le calcul du terme de degré 1,b(a²+a + b)= 3.
  • Détour par l'analyse complexe
    Un autre argument montrant quePne peut admettre une telle factorisation est que l'un des deux facteurs a nécessairement toutes ses racines de module strictement supérieur à 1 (si bien que son terme constant ne peut être égal à ±1). En effet, parmi les 5 racines complexes deP,l'une est de module strictement inférieur à 1 et les quatre autres de module strictement supérieur à 1, ce qui peut se démontrer comme suit. Sizparcourt le cercle unité des nombres complexes, la variableP(z) parcourt un tour autour de l'unité. En effet:$P(z)=-3z\left(1-{\frac {z^{5}-1}{3z}}\right).$Lethéorème des résidusmontre l'existence et l'unicité d'une racine dans le disque unité.
• Le polynômePadmet exactement trois racines réelles:
  Lethéorème des valeurs intermédiairesainsi que le calcul des valeurs du polynôme en –2, –1, 0 et 2 montre l'existence d'au moins trois racines réelles.
  La dérivée du polynôme, égale à 5X⁴– 3, possède exactement deux racines, ce qui montre l'existence d'au plus trois racines réelles.
• Le groupe de Galois dePest isomorphe àS₅:
  SoitGle groupe de Galois du corps de décompositionKdu polynôme. Ce groupeGopèresur les racines du polynôme, doncGs'identifie à un sous-groupe deS₅car les racines du polynôme engendrentK,considéré comme uneextensionde ℚ.
  Laconjugaison complexeest un automorphisme deKlaissant invariants les rationnels et les trois racines réelles, et permutant les deux racines imaginaires. On en déduit queGcontient une transposition.
  Montrons queGcontient un élément d'ordre 5. Soit α une racine deP,le cardinal de l'orbite de α est un diviseur de l'ordre du groupe(cf. «Action de groupe (mathématiques)»). Comme le polynômePest irréductible, l'orbite de α est l'ensemble des 5 racines (cf. «Corps de décomposition»). Ceci montre que l'ordre deGest un multiple de 5.Un théorème de Cauchymontre alors queGcontient un élément d'ordre 5.
  OrS₅estengendrépar tout couple composé d'une transposition et d'un élément d'ordre 5. Le groupe de Galois est en conséquence isomorphe àS₅.

Réduction modulop

Pour unpolynôme unitairePà coefficientsentierset unnombre premierp,le groupe de Galois (sur lecorps finiF_p) du polynômePdéduit dePpar réductionmodulopfournit des informations sur celui (surℚ) deP:

SoientGle groupe de Galois dePetD(resp.D_p) l'anneau engendrépar les racines deP(resp.P), dans uncorps de décomposition.SiPest séparable, alors:

• théorème:
  • il existe desmorphismesdeDdansD_p;
  • un tel morphisme envoiebijectivementles racines dePsur celles deP;
  • si φ et ψ sont deux tels morphismes, il existe un élément σ deGtel que ψ = φσ;
• corollaires:

1. le groupe de Galois dePs'identifie (de façon noncanonique) à unsous-groupedeG;
2. (théorème deDedekind):Gcontient une permutation dont lescycles,dans ladécomposition en cycles disjoints,ont pour longueurs les degrés des facteurs irréductibles deP.

Démonstration

Par hypothèse, lediscriminantdePest non nul, c'est-à-dire que celui dePn'est pasdivisibleparp.Sinest le degré deP,ces deux polynômes ont doncnracines simplesdans tout corps de décomposition.

Preuve du théorème.

• Par définition du corps de décomposition, la donnée d'un morphisme deDdansD_péquivaut à celle d'unidéal maximaldeDcontenantpD,oril existe de tels idéaux.
• Pour un tel idéalM,le morphisme canonique deDdans lecorpsD/M(auquelD_pest isomorphe) envoie bijectivement les racinesr₁,…,r_ndePsur lesnracines deP.
• SoitN= [ℚ(r₁,…,r_n):ℚ] l'ordre deG.Comme lesr_ksont desentiers algébriques,leℤ-moduleDestde type finiet ℚD= ℚ(r₁,…,r_n). Par conséquent,Dest un ℤ-module librede rangNdonc toutefamilleK-libred'applicationsℤ-linéairesdeDdans un même corpsKest decardinalau plusN.D'après lethéorème d'indépendance de Dedekind,il existe donc au plusNmorphismes d'anneaux deDdansD_p.Comme ceux-ci sont fournis, pour l'un d'entre eux fixé φ, par les φσ (distincts) où σ parcourtG,ψ est égal à l'un de ces φσ.

Preuve des deux corollaires.

1. Un morphisme φ deDdansD_pétant fixé, l'application qui, à chaque élémentσdu groupe de Galois deP,associe l'élément σ deG(nécessairement unique) tel queσφ = φσ, est unmorphismeinjectif.
2. Le théorème de Dedekind s'en déduit,en utilisant que le groupe de Galois dePestcyclique(engendré par l'automorphisme de Frobenius).

Exemple.Ceci fournit une autre méthode pour montrer que le groupe de Galois sur ℚ du polynômeP(X) =X⁵– 3X– 1 (étudié dans la section précédente) est isomorphe àS₅(on retrouve ainsi quePest irréductible), en remarquant quePest congru à (X³+X²+ 1)(X²+X+ 1) modulo 2 et à (X– 1)(X⁴+X³+X²+X+ 1) modulo 3.

Détails de l'exempleX⁵– 3X– 1

DansF₂[X], les deux facteursX³+X²+ 1 etX²+X+ 1 sont irréductibles puisqu'ils sont de degrés 3 et 2 et n'ont pas de racine dansF₂.

DansF₃[X], les deux facteursX– 1 etX⁴+X³+X²+X+ 1 sont irréductibles aussi (pour le second, qui est lepolynôme cyclotomique Φ_5,F3,on peut utiliser que l'ordre multiplicatifde 3 modulo 5 est égal àφ(5)ou, moins savamment, raisonner par identification comme au début de la boîte déroulante précédente).

Ceci prouve que le groupe de Galois deP,sous-groupe deS₅,contient un 4-cycle et le produit d'un 2-cycle par un 3-cycle disjoint. Il est donc égal au groupe tout entier.

Applications

Si les groupes de Galois sont historiquement apparus à travers la théorie des équations algébriques, la puissance de ce concept a rapidement dépassé ce cadre.

Équations algébriques

Une équation algébrique est une équation qui s'écrit avec les quatre opérations +, -,. et /. Il est possible d'y ajouter les radicaux, c’est-à-dire des expressions correspondant à la racine n-ième d'un nombre. Toute équation de cette nature revient à une équation polynomiale. Si, dans les cas les plus fréquents, c’est-à-dire celui desréelsoucomplexes,la problématique de l'existence et du nombre de solutions est résolue, en revanche celui de la résolution explicite est restée longtemps une question ouverte. Certaines méthodes analytiques, comme celle de Newton par une suite convergente, ou celle d'Abel par desfonctions elliptiquesapportent des solutions à cette question. Il reste néanmoins à trouver une méthode purement algébrique pour une telle question.

Dans les cas de polynômes de degré inférieur à cinq, cette question se résout par des changements de variables bien choisies. Dans le cas général une telle approche n'est pas satisfaisante. En effet, il n'existe pas de solution dans le cas général. Le groupe de Galois permet de fournir une condition nécessaire et suffisante, ainsi qu'une méthode explicite de résolution. Cette question est traitée par lethéorème d'Abel.

Théorie des corps

L'approche d'une équation algébrique par son groupe de Galois met en évidence la structure du corpsKassocié à l'équation. L'étude des corps est donc totalement liée à celle des groupes de Galois.

Comme souvent en mathématiques, un outil puissant d'analyse de la structure deKconsiste en l'étude de l'ensemble des sous-corps. Il en existe toujours un plus petit, appelé le sous-corps premier deK:c'est le sous-corps engendré par l'unité de la multiplication. Dans le cas oùKest decaractéristiquenulle, son sous-corps premier est isomorphe au corps desrationnels.Dans le cas contraire, la caractéristique est égale à un nombre premierp,et le sous-corps premier deKest isomorphe au corpsℤ/pℤ.En théorie de Galois, il est peu question de sous-corps, mais essentiellement d'extensions.Le corpsKest en effet considéré comme une extension de son sous-corps premier, et tout sous-corps deKcomme une extension intermédiaire.

Lethéorème fondamental de la théorie de Galoisindique que pour toute extension galoisienne finie, il existe une bijection entre les sous-groupes du groupe de Galois et les extensions intermédiaires. C'est la raison pour laquelle les groupes de Galois sont un outil essentiel dans la théorie des corps.

Théorie algébrique des nombres

Enthéorie des nombres,il existe une classification, nombres entiers, rationnels, constructibles, algébriques et transcendants. Un nombre est dit algébrique s'il est solution d'une équation algébrique. En conséquence, il est naturel que le groupe de Galois soit dans ce contexte un outil essentiel.

Un exemple est donné par lesnombres constructibles.En termes de théorie de Galois, ces nombres apparaissent comme élément d'unetour d'extension quadratique.Le groupe de Galois associé à cette extension est abélien, ce qui permet de démontrer lethéorème de Gauss-Wantzelet de trouver tous les polygones réguliers constructibles. Cette approche permet de même de démontrer de vieilles conjectures comme l'impossibilité dans le cas général de réaliser latrisection de l'angleou laduplication du cube.

Par ailleurs, dans le cadre d'une extension galoisienne, laramificationadmet en un certain sens une interprétation galoisienne: lesgroupes de ramifications(en),dont legroupe de décompositionet legroupe d'inertie,sont des sous-groupes du groupe de Galois, qui correspondentviala correspondance de Galois à des sous-extensions ayant des propriétés de décomposition maximale, ou de ramification minimale.

Une question importante est celle de l'étude dugroupe de Galois absolud'un corps, en particulier du corps des rationnels, c'est-à-dire du groupe de Galois de saclôture séparable.

Géométrie algébrique

Enfin, en géométrie, une classe importante devariétésest constituée par lesvariétés algébriques.Ce sont les variétés définies comme une intersection d'un nombre fini de polynômes à plusieurs variables. L'analyse des corps associées à ces polynômes et donc des groupes de Galois est une voie essentielle pour la compréhension de ces géométries.

La correspondance de Galois qui à chaque sous-extension associe un sous-groupe de Galois, devient alors une correspondance entre les sous-groupes fermés dugroupe fondamentald'une variété algébrique et lesrevêtementsétales de la variété.

Voir aussi

Bibliographie

• Jean-Claude Carrega,Théorie des corps - La règle et le compas[détail de l’édition]
• SergeLang,Algèbre[détail des éditions]
• PierreSamuel,Théorie algébrique des nombres[détail de l’édition]

Liens externes

• (en)John J. O'ConnoretEdmund F. Robertson,«Index for the Chronology», surMacTutor,université de St Andrews.
• Une courte présentation des extensions algébriquespar Bernard Le Stum,université de Rennes 1,2001
• Un cours de DEA sur la théorie de Galoispar Alain Kraus,université de Paris VI,1998