Groupe des unités
Ne doit pas être confondu avecGroupe unitaire.
Enmathématiques,et plus particulièrement enalgèbre,un élémentud'unanneau unitaire(A,+,×)est appeléunitéde cet anneau, ouinversibledans cet anneau, quand il existevdansAvérifiant:
- uv=vu= 1A(où1Aest l'élément neutre deApour la seconde loi).
L'élément neutre1Aet son opposé−1Asont toujours des unités deA. Les unités d'un anneau forment ungroupepour la multiplication de l'anneau, appelégroupe des unitésougroupe des inversiblesde cet anneau, souvent notéU(A) ouA×,à ne pas confondre avec l'ensembleA* des éléments non nuls deA[1],[2].
Legroupedes unités est largement utilisé dans toute lathéorie des anneaux.Dans le cas particulier de l'anneau des entiers algébriquesd'uncorps de nombres,ce groupe a une structure bien connue, grâce authéorème des unités de Dirichlet.
Motivation
[modifier|modifier le code]Dans unanneau commutatifunifèreA,un multiple d'un élémentaest un produit deapar un élémentb.L'ensemble des multiples dea,notéaA,est l'idéal principalengendré para.Le comportement deavis-à-vis de la loiproduitdépend des propriétés de l'idéal qu'il engendre. Des exemples sont donnés par les notions d'élément irréductibleou d'élément premier.
Sibest un élément deA,alors pour toutuinversible dansA,les élémentsa=ubetbengendrent le même idéal principal. Les propriétés dedivisibiliténe permettent pas de distingueraetb:ils sont dits associés. Par exemple, dans l'anneauQ[X] des polynômes à coefficients rationnels, les polynômesX2+ 1 et 2X2+ 2 sont associés. Ces deux polynômes, qui sont tous deux irréductibles surQ,divisentX4– 1. L'unicité de la décomposition en facteurs premiers ne peut être assurée que si l'onassocieles deux polynômes pour ne les considérer que comme un unique représentant.
Lespgcdetppcmse définissent aussi à partir des idéaux principaux et modulo multiplication par un inversible. Par exemple, dans un anneau commutatifA,« le » ppcm deaet debest bien défini si l'intersection des idéaux engendrés paraetbest un idéal principal; et tout élément qui l'engendre est un ppcm deaet deb.
Dans la mesure du possible, on utilise un unique représentant d'une classe d'élémentsassociés.Par exemple, pour les polynômes, on ajoutera la conditionunitairepour définir un polynôme irréductible (c’est-à-dire que le coefficient de son monôme dominant est égal à un). Pour l'anneauZdesentiers relatifs,un nombre ditpremierdoit être positif, on ne considère jamais le représentant négatif, même s'il existe toujours.
Définitions et propriétés
[modifier|modifier le code]Groupe des unités
[modifier|modifier le code]Le groupeU(A) desinversiblesd'unanneau unifèreA— ou groupe des unités, ou encore, siAest un corps, groupe multiplicatif — est legroupe des éléments symétrisables du monoïde(A,×).
Il est doncfonctorielpar rapport àA,c'est-à-dire que par restriction, toutmorphisme entre deux anneauxinduit unmorphisme de groupesentre leurs groupes d'inversibles.
En particulier, siCest unsous-anneauunifère deA,alors son groupe des unitésU(C) est unsous-groupedeU(A).
Divisibilité
[modifier|modifier le code](Si l'anneau est non commutatif, il y a une construction similaire en intervertissant partout droite et gauche; s'il est commutatif, les deux constructions coïncident).
Dans un anneau unifère,xest ditassocié àys'il existe un inversibleutel quex=uy.C'est clairement unerelation d'équivalence.(Ses classes sont d'ailleurs les orbites de l'actiondu groupe des unitésU(A) surApar multiplication à gauche.)
Il existe unerelation binaireappeléedivisedéfinie par:
- xdivisey(à droite) s'il existe un élémentade l'anneau tel quey=ax.
C'est unpréordre(c'est-à-dire unerelation réflexiveettransitive) avec lequel la relation d'association estcompatible:
- sixdiviseyalors tout élément associé àxdivise tout élément associé ày.
En effet, l'association est plus fine que larelation d'équivalence déduite du préordre:
- sixetysont associés alorsxdiviseyetydivisex.
Pour unanneau intègre,laréciproqueest vraie, c'est-à-dire que ces deux relations d'équivalence coïncident.
Leurensemble quotientest alors le même donc le préordre « divise »induit une relation d'ordre sur les classesd'éléments associés.
L'ensemble des classes d'association, muni de cet ordre, estisomorpheà l'ensemble desidéaux principaux à gauchede l'anneau, ordonné parla relation « contient ».En effet,
adivisebsi et seulement siAacontientAb
(doncaetbsont associés si et seulement siAa = Ab).
Exemples
[modifier|modifier le code]Entier relatif
[modifier|modifier le code]Le groupe des unités de l'anneau des entiers relatifs est composé des deux éléments 1 et –1. L'anneau estprincipal,donc tout idéal non nul admet exactement deuxantécédentspar l'application qui à un élémentaassocieaZ.Les deux antécédents sontaet –a.
Pour éviter l'ambiguïté, on ne parle donc que du représentant positif. Ainsi un nombre premier (comme l'anneau est principal, la notion d'irréductibilité et celle de primalité sont confondues et on ne parle en général que de nombre premier) dansZest par convention toujours positif, un pgcd ou un ppmc sont aussi par définition toujours positifs. Ce choix permet d'obtenir sans ambiguïté une décomposition en facteurs premiers unique à une permutation près; à la différence du cas desentiers positifs,la décomposition contient en plus un facteur choisi dans le groupe des unités, soit 1 soit –1.
Polynôme
[modifier|modifier le code]Dans le cas où les coefficients du polynôme sont dans un corpsK,alors le groupe des unités de l'anneau de tels polynômes est égal àK*, aucune convention analogue au cas précédent ne lève l'ambiguïté.
Comme précédemment, l'anneau est principal, les notions de polynômeélément premieretélément irréductiblesont encore confondues. La tradition impose d'utiliser le terme d'irréductible. Un polynôme est dit irréductible si, et seulement si, toute décomposition en deux facteurs contient une unité et s'il n'est pas constant.
Cependant toute classe d'équivalence de la relation d'association contient un uniquepolynôme unitaire,c’est-à-dire un polynôme dont le coefficient dominant est égal à 1. Ainsi, on appelle en général ppmc et pgcd le polynôme unitaire générateur de l'idéal, ainsi l'unicité est encore présente. De même, le théorème de la décomposition en facteurs premiers est en général exprimé en termes de polynôme unitaire irréductible et l'unicité à l'ordre des éléments près est rétablie. Cette décomposition contient un facteur supplémentaire élément deK*.
Dans le cas où les coefficients du polynôme sont choisis dansZ,alors le groupe des unités est égal à {1, –1}. Il est d'usage de prendre une convention analogue au cas des entiers relatifs. Ainsi le polynôme irréductible d'une décomposition en facteur premier, un ppmc ou un pgcd est choisi avec un coefficient dominant positif. Cette convention n'est pas générale.
Dans le cas où le polynôme est à coefficients dans un anneau quelconque, alors aucune convention ne normalise un représentant canonique d'une classe d'association.
Entier de Gauss
[modifier|modifier le code]Lesentiers de Gaussforment unanneau euclidien,donc principal. On parle indifféremment denombre premier de Gaussou d'entier irréductible. Le groupe des unités contient quatre éléments: 1, –1,iet–i.Aucune convention particulière n'est prise.
Ainsi, un entier de Gauss est dit irréductible si, et seulement si, toute division en deux facteurs contient une unité et qu'il n'est pas élément du groupe des unités. 3, –3, 3iet –3isont appelés nombres premiers de Gauss. Siaetbsont deux entiers de Gauss, alors il existe quatre représentants pour les pgcd et les ppmc.
L'unicité de la décomposition en facteurs premiers s'exprimeaux facteurs du groupe des unités près.
Entier algébrique
[modifier|modifier le code]Dans le cas général, les entiers algébriques ne disposent que d'une structure d'anneau de Dedekind,l'anneau n'est ni euclidien ni principal ni mêmefactoriel.L'ambiguïté est donc de peu de conséquences et tout représentant (quand il existe) d'un idéal est réputé posséder les propriétés de l'idéal. Ainsi un entier algébrique est irréductible si, et seulement si, son idéal l'est, indépendamment de son représentant dans la classe d'association.
Lethéorème des unités de Dirichletmontre l'existence de plusieurs éléments inversibles dans la plupart des anneaux d'entiers algébriques.L'égalité (√5+ 2)(√5− 2) = 1 est un exemple.
Dans le cas d'unanneau local,ce groupe est facile à décrire: c'est très exactement le complémentaire de l'uniqueidéal maximal.Lathéorie des nombressur un anneau local s'en trouve simplifiée, par rapport à sa version globale.
Anneau des classes de congruence sur les entiers
[modifier|modifier le code]Le groupe (Z/nZ)×des unités de l'anneauZ/nZa pour éléments les générateurs du groupe additif de l'anneau. Son cardinal est donné par l'indicatrice d'Euler,sonexposantest donné par l'indicatrice de Carmichael.
Pour unnombre premierp,l'anneauZ/pZest lecorps finipremierde cardinalp,dont le groupe des unités, (Z/pZ)*, d'ordrep– 1, estcyclique.
Références
[modifier|modifier le code]- Jean-Pierre Escofier,Toute l'algèbre de la Licence: Cours et exercices corrigés,Dunod,,4eéd.(lire en ligne),p.459ajoute que cependant, siAest un corps,A×=A*.
- Jean-Pierre Marco, Laurent Lazzariniet al.,Mathématiques L1: Cours complet avec fiches de révision, 1000 tests et exercices corrigés,Pearson,(lire en ligne),p.177.
