Groupe topologique

Enmathématiques,ungroupe topologiqueest ungroupemuni d'unetopologiecompatible avec la structure de groupe, c'est-à-dire telle que laloi de composition internedu groupe et le passage à l'inversesont deux applicationscontinues.

L'étude des groupes topologiques mêle donc des raisonnements d'algèbreet de topologie. La structure de groupe topologique est une notion essentielle entopologie algébrique.

Définition et propriété caractéristique

Définition— Un groupe topologique est un groupe$(G,\star )$muni d'une topologie pour laquelle les applications

$G^{2}\to G,(x,y)\mapsto x\star y\quad {\rm {et}}\quad G\to G,x\mapsto x^{-1}$

sont continues (lecarré cartésienG²étant muni de latopologie produit).

Les deux axiomes de la définition peuvent être remplacés par un seul:

Théorème— Un groupe$(G,\star )$muni d'une topologie est un groupe topologiquesi et seulement sil'application

$G^{2}\to G,(x,y)\mapsto x\star y^{-1}$

est continue.

Unmorphisme de groupes topologiquesest unmorphisme de groupescontinu.

Mesure de Haar

Sur toutgroupe topologique localement compact,il existe une et une seulemesure de Borelquasi-régulièrenon nulle (à coefficient multiplicateur près)invariantepar les translations à gauche (x↦y∗x): lamesure de Haar.

Exemples de base

Théorème—Toutsous-groupede(ℝ, +)est soitdense,soit de la formeaℤ,pour un uniquea≥ 0.

LecercleS¹,qui peut être considéré comme le groupe multiplicatif desnombres complexesdemodule1 ou comme le groupe desrotationsde centre fixé dans unplan euclidien.Tout sous-groupe deS¹est soit fini soit dense.

Ungroupe discret(groupe muni de latopologie discrète).

Toutgroupe produit(muni de latopologie produit) d'une famille de groupes topologiques. Par exemple$(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\mathbb {N} }$(l'espace de Cantor,muni de sa structure naturelle de groupe produit).

Quelques propriétés générales

• Dans un groupe topologique, les translations$x\longmapsto a\star x\quad \mathrm {et} \quad x\longmapsto x\star a$sont des homéomorphismes.
• La topologie est déterminée par la donnée desvoisinagesde l'élément neutree.
• Un groupe topologiqueGestséparési et seulement si le singleton {e} estfermédansG.Également,Gest séparé si et seulement si l'intersection des voisinages deeest réduite à {e}.

Démonstration

• SiGest séparé alors c'esta fortioriunespace T1,c'est-à-dire que tout singleton est fermé dansGou, ce qui est équivalent, que l'intersection des voisinages de tout point est réduite à ce point. De plus, comme les translations sont des homéomorphismes, on peut remplacer, dans ces deux conditions, « pour tout point » par « pour le pointe».
• Réciproquement, si {e} est fermé alorsGestséparé puisque la diagonale deG×Gest fermée,comme image réciproque de {e} par l'application continue qui à tout (x,y) associex.y⁻¹.

• SiUest unouvertetAune partie quelconque alorsU∗Aest un ouvert (puisqu'il s'écrit$\cup _{a\in A}U\star a$) et de même,A∗Uest un ouvert.
• Toutgroupe quotientG/Hd'un groupe topologiqueGpar unsous-groupe normalHest encore un groupe topologique, lorsqueG/Hest muni de latopologie quotient.De plus,G/Hest séparé si et seulement siHest fermé.
• Un groupe topologique est naturellement muni de deuxstructures uniformes(à droite et à gauche) qui induisent sa topologie, et qui coïncident si le groupe est commutatif. Un groupe topologique séparé est par conséquentcomplètement régulier.Tout morphisme de groupes topologiques estuniformément continupour les structures uniformes à droite (resp. gauche) associées.
• Théorème deBirkhoff-Kakutani:tout groupe topologique séparéà bases dénombrables de voisinagesestmétrisablepar une distance invariante par translations à gauche.Plus généralement, tout groupe topologique (non nécessairement séparé) à bases dénombrables de voisinages estpseudométrisablepar unepseudométriqueinvariante par translations à gauche.

Groupes linéaires

Dorénavant, nous omettrons le signe∗.

Une classe importante de groupes topologiques est formée par les sous-groupes dugroupe linéaireGL(n,K),avecK= ℝ ou ℂ. On les munit de latopologie induiteparcelle deEnd(Kⁿ).

Ces exemples sont des exemples fondamentaux degroupes de Lieréels ou complexes. Ils ont en commun la propriété suivante: il existe un ouvert contenant l'élément neutre et ne contenant aucun sous-groupe non trivial.

Topologie p-adique

Si$(G,+)$est un groupe abélien et si$(G_{n})$est une suite de sous-groupes de$G$telle que:

$G=G_{0}\supset G_{1}\supset G_{2}\supset \ldots \supset G_{n}\supset \ldots$

alors la suite$(G_{n})$induit une topologie sur$G$dans laquelle les voisinages de$x$sont les parties de$G$contenant un des ensembles$x+G_{n}$.

Si de plus l'intersection des$G_{n}$est réduite à$\{0\}$où 0 est l'élément neutre de$G$,le groupe est séparé.

Un cas particulier de groupe topologique de cette forme est le groupe muni de latopologie p-adique:si$p$est un entier naturel, la suite$(G_{n})$est définie (ennotation additive) par$G_{n}=p^{n}G$.

Distance induite

On peut définir unedistancesur$(G,+)$muni de la topologie induite par$(G_{n})$si l'intersection des$G_{n}$est bien réduite à$\{0\}$:

$d(x,y)={\frac {1}{2^{k}}}$

où$k$est le premier entier tel que$x-y\notin G_{k}$et

$d(x,y)=0~$si pour tout entier$k$,$x-y$appartient à$G_{k}$.

Complété

Si$(G,+)$est un groupe abélien séparé muni de la topologie déterminée par la suite$(G_{n})$,on peut définir dans$G$dessuites de Cauchy.Une suite$(x_{n})$est de Cauchy si et seulement si, pour tout voisinage$V$de 0, il existe un entier$n$tel que

$\forall m\geq n,\ x_{m}-x_{n}\in V.$

Sur cet ensemble de suites de Cauchy noté$S_{C}(G)$on peut définir unerelation d'équivalence:

$(x_{n})R(y_{n})\Longleftrightarrow \lim(x_{n}-y_{n})=0.$

Le groupe quotient$S_{C}(G)$est alors unespace complet.Le groupe$G$est alors isomorphe à un sous-groupedensede$S_{C}(G)$.

L'exemple le plus important d'une telle construction est celui desnombres p-adiques:on fait cette construction à partir de$\mathbb {Z}$et de la multiplication par un nombre premier$p$.

Cette construction du complété se généralise, dans le cadreuniforme,àtoutgroupe topologique abélien séparé.

Voir aussi

Articles connexes

• Composante neutre(en)
• Groupe compact
• Représentation d'un groupe topologique
• Groupe profini
• Théorème de Gelfand-Raikov(en)

Bibliographie

• Rached Mneimné et Frédéric Testard,Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques[détail des éditions]
• Jacques Lafontaine,Introduction aux variétés différentielles[détail des éditions],ch. 4
• Roger Godement,Introduction à la théorie des groupes de Lie,Springer, 2004(ISBN978-3-540-20034-5),ch. 1 et 2