Identités vectorielles

Dans cet article, on note$\times$pour leproduit vectorielet · pour leproduit scalaire.

Les identités suivantes peuvent être utiles enanalyse vectorielle.

• $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$
• $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {a} =\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$
• $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )$(Identité de Binet-Cauchy)
• $\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0}$
• $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )=0$
• $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {V} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {V} )-\nabla ^{2}\mathbf {V}$
• $\nabla (\psi \phi )=(\nabla \psi )\phi +(\nabla \phi )\psi$
• $\nabla \cdot (\psi \mathbf {V} )=(\nabla \psi )\cdot \mathbf {V} +(\nabla \cdot \mathbf {V} )\psi$
• $\nabla \times (\psi \mathbf {V} )=(\nabla \psi )\times \mathbf {V} +(\nabla \times \mathbf {V} )\psi$
• $\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )$
• $\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )$
• $\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\nabla \cdot \mathbf {B} )\mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B}$
• $(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} =(\nabla \cdot \mathbf {B} )\mathbf {A} -\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )$
• $\nabla (\mathbf {V} ^{2}/2)=(\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {V} +\mathbf {V} \times (\nabla \times \mathbf {V} )$
• $\nabla (\mathbf {V} ^{2}/2)=(\nabla \cdot \mathbf {V} )\mathbf {V} +(\mathbf {V} \times \nabla )\times \mathbf {V}$

Identités vectorielles générales

Dans cette section,a,b,cetdreprésentent des vecteurs quelconques de$\mathbb {R} ^{n}$.

Conventions d'écriture

Dans cet article, les conventions suivantes sont utilisées; à noter que la position (levée ou abaissée) des indices n'a pas, ici, beaucoup d'importance étant donné que l'on travaille dans un contexte euclidien. Cela permet néanmoins de retrouver plus directement les couplages (un indice supérieur s'associant avec un indice inférieur).

Produit scalaire

Leproduit scalairede deux vecteursaetbest noté

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$

Enconvention de sommation d'Einsteincela s'écrit:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{i}b^{i}=a^{i}b_{i}$

Produit vectoriel

Leproduit vectorielde deux vecteursaetbest noté

$\mathbf {a} \times \mathbf {b}$

Enconvention de sommation d'Einsteincela s'écrit:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}a_{j}b_{k}$

Symbole de Levi-Civita

Une identité revenant souvent dans les démonstrations utilisant laconvention de sommation d'Einsteinest la suivante:

${\epsilon _{ij}}^{k}{\epsilon _{k}}^{lm}=\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{l}$

Avec$\delta$lesymbole de Kroneckeret$\epsilon$lesymbole de Levi-Civita.

Triples produits

On a le résultat suivant sur leproduit mixte:

• $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$

Démonstration

Enconvention de sommation d'Einsteinon a:

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=a_{i}{\epsilon ^{i}}_{jk}b^{j}c^{k}$

En permutant deux fois les indices dusymbole de Levi-Civitaet en réarrangeant les termes on obtient tour à tour les expressions équivalentes suivantes:

Premièrement:

$b^{j}{\epsilon _{jk}}^{i}c^{k}a_{i}=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )$

Deuxièmement:

$c^{k}{{\epsilon _{k}}^{i}}_{j}a_{i}b^{j}=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$

L'identité est ainsi démontrée.

• L'identité dudouble produit vectoriel:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {a} =\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$

La première égalité découle des propriétés duproduit vectoriel:$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )$.La seconde est démontrée ci-dessous.

Démonstration

Enconvention de sommation d'Einsteinon a:

$(\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}a_{j}{\epsilon _{k}}^{lm}b_{l}c_{m}$

En utilisant les propriétés dusymbole de Levi-Civitaet dusymbole de Kronecker,le membre de droite peut se réécrire comme suit:

$\delta _{i}^{l}\delta ^{jm}a_{j}b_{l}c_{m}-\delta _{i}^{m}\delta ^{jl}a_{j}b_{l}c_{m}=b_{i}a_{j}c^{j}-c_{i}a_{j}b^{j}$

En explicitant le membre de droite on retrouve l'identité:

$(\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$

Autres produits

L'identité de Binet-Cauchy:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )$

à noter que l'on retrouve l'identité de Lagrangesia=cet sib=d.

Démonstration

Enconvention de sommation d'Einsteinon a:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )={\epsilon _{i}}^{jk}a_{j}b_{k}{\epsilon ^{i}}_{lm}c^{l}d^{m}$

En utilisant les propriétés dusymbole de Levi-Civitaet dusymbole de Kronecker,le membre de droite peut se réécrire comme suit:

$\delta _{l}^{j}\delta _{m}^{k}a_{j}b_{k}c^{l}d^{m}-\delta _{m}^{j}\delta _{l}^{k}a_{j}b_{k}c^{l}d^{m}=a_{l}c^{l}b_{k}d^{k}-a_{j}d^{j}b_{k}c^{k}$

Le second membre étant obtenu en simplifiant et réarrangeant les termes. On retrouve dans ce membre de droite l'expression de produits scalaires et on a finalement:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )$

Opérateurs

Cette section fournit une liste explicite de la signification des symboles utilisés pour plus de clarté.

Divergence

Divergence d'un champ vectoriel

Pour unchamp vectoriel$\mathbf {V}$,on écrit généralement ladivergencecomme suit:

$\operatorname {\mathbf {div} } (\mathbf {V} )=\nabla \cdot \mathbf {V}$

C'est unchamp scalaire.

Enconvention de sommation d'Einsteinla divergence d'un champ vectoriel s'écrit:

$\nabla \cdot \mathbf {V} =\partial _{i}V^{i}$

Divergence d'un tenseur

Pour untenseur${\textstyle \mathbf {\mathfrak {T}} }$,on écrit généralement la divergence comme suit:

$\operatorname {\mathbf {div} } (\mathbf {\mathfrak {T}} )=\nabla \cdot \mathbf {\mathfrak {T}}$

Comme la divergence réduit de 1 l'ordre du tenseur, si${\textstyle \mathbf {\mathfrak {T}} }$est d'ordre 2, on aurait un vecteur qui est un tenseur d'ordre 1.

Rotationnel

Pour unchamp vectoriel$\mathbf {V}$,on écrit généralement lerotationnelcomme suit:

$\operatorname {\mathbf {rot} } (\mathbf {V} )=\nabla \times \mathbf {V}$

C'est unchamp vectoriel.

Enconvention de sommation d'Einsteinle rotationnel d'un champ vectoriel s'écrit:

$(\nabla \times \mathbf {V} )_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}\partial _{j}V_{k}$

Gradient

Gradient d'un champ vectoriel

Pour unchamp vectoriel$\mathbf {V}$,on écrit généralement legradientcomme suit:

$\operatorname {\mathbf {grad} } (\mathbf {V} )=\nabla \mathbf {V}$

C'est untenseur.

Gradient d'un champ scalaire

Pour unchamp scalaire$\psi$,on écrit généralement le gradient comme suit:

$\operatorname {\mathbf {grad} } (\psi )=\nabla \psi$

C'est unvecteur.

Enconvention de sommation d'Einsteinle gradient d'un champ scalaire s'écrit:

$(\nabla \psi )_{i}=\partial _{i}\psi$

Combinaisons d'opérateurs

Rotationnel du gradient

Lerotationneldugradientden'importe quelchamp scalaire$\psi$est toujours nul:

$\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0}$

Démonstration

Enconvention de sommation d'Einsteinon a:

$\left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}\partial _{j}\partial _{k}\psi$

En permutant les indices j et k (permutation impaire) on obtient l'expression équivalente:

${-\epsilon _{i}}^{kj}\partial _{k}\partial _{j}\psi =-\left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}$

Le changement de signe provient de la permutation impaire des indices. On a donc finalement:

$\left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}=-\left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}\Leftrightarrow \left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}=0$

L'identité est ainsi démontrée.

Divergence du rotationnel

Ladivergencedurotationnelden'importe quelchamp vectoriel$\mathbf {V}$est toujours nulle:

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )=0$

Démonstration

Enconvention de sommation d'Einsteinon a:

$\left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)=\partial _{i}{\epsilon ^{i}}_{jk}\partial ^{j}V^{k}$

En permutant les indices i et j (permutation impaire) on obtient l'expression équivalente:

$-\partial ^{j}{{\epsilon _{j}}^{i}}_{k}\partial _{i}V^{k}=-\left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)$

Le changement de signe provient de la permutation impaire des indices. On a donc finalement:

$\left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)=-\left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)\Leftrightarrow \left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)=0$

L'identité est ainsi démontrée.

Laplacien

Laplacien d'un champ scalaire

LeLaplaciend'unchamp scalaire$\psi$est défini comme ladivergencedugradient:

$\nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi$

C'est un champ scalaire.

Enconvention de sommation d'Einstein,leLaplaciend'unchamp scalairese note comme suit:

$\nabla ^{2}\psi =\partial _{i}\partial ^{i}\psi$

Laplacien d'un champ vectoriel

LeLaplacien vectorield'unchamp vectorielest le vecteur dont les composantes sont leslaplaciendes composantes.

Enconvention de sommation d'Einsteincela se note:

$(\nabla ^{2}\mathbf {V} )_{i}=\nabla ^{2}(V_{i})=\partial _{j}\partial ^{j}(V_{i})$

Rotationnel du rotationnel

Le rotationnel du rotationnel d'un champ vectoriel$\mathbf {V}$est donné par:

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {V} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {V} )-\nabla ^{2}\mathbf {V}$

Démonstration

Enconvention de sommation d'Einsteinon a:

$\left(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}\partial _{j}{\epsilon _{k}}^{lm}\partial _{l}V_{m}$

En utilisant les propriétés dusymbole de Levi-Civitaet celles dusymbole de Kronecker,on obtient alors:

$\delta _{i}^{l}\delta ^{jm}\partial _{j}\partial _{l}V_{m}-\delta _{i}^{m}\delta ^{jl}\partial _{j}\partial _{l}V_{m}=\partial _{i}\partial ^{m}V_{m}-\partial _{j}\partial ^{j}V_{i}$

On retrouve dans le membre de droite de cette dernière expression le gradient de la divergence et leLaplacien.On a donc finalement:

$\left(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}=\left(\nabla (\nabla \cdot \mathbf {V} )\right)_{i}-\nabla ^{2}(V_{i})$

L'identité est ainsi démontrée.

Produit vectoriel du champ par son rotationnel

Le produit vectoriel du champ$\mathbf {V}$par son rotationnel est donné par:

$\mathbf {V} \times (\nabla \times \mathbf {V} )=\nabla \left({\frac {\mathbf {V} ^{2}}{2}}\right)-(\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {V}$

Démonstration

Enconvention de sommation d'Einsteinon a:

$\left(\mathbf {V} \times (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}V_{j}{\epsilon _{k}}^{lm}\partial _{l}V_{m}$

En utilisant les propriétés dusymbole de Levi-Civitaet celles dusymbole de Kronecker,on obtient alors:

$(\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{l})V_{j}\partial _{l}V_{m}=V_{j}\partial _{i}V^{j}-V_{j}\partial ^{j}V_{i}$

L'identité est ainsi démontrée.

Autres identités impliquant des opérateurs

Dans cette section,$\psi$et$\phi$représentent des champs scalaires,$\mathbf {V},\mathbf {A}$et$\mathbf {B}$représentent des champs vectoriels.

• $\nabla (\psi \phi )=(\nabla \psi )\phi +(\nabla \phi )\psi$

Cette relation découle immédiatement de larègle du produit.

• $\nabla \cdot (\psi \mathbf {V} )=(\nabla \psi )\cdot \mathbf {V} +(\nabla \cdot \mathbf {V} )\psi$

Démonstration

Enconvention de sommation d'Einstein,on a:

$\nabla \cdot (\psi \mathbf {V} )=\partial _{i}(\psi \mathbf {V} )^{i}$

Larègle du produitétant d'application, ce dernier terme est équivalent à:

$(\partial _{i}\psi )V^{i}+\psi (\partial _{i}V^{i})=(\nabla \psi )\cdot \mathbf {V} +(\nabla \cdot \mathbf {V} )\psi$

L'identité est ainsi démontrée.

• $\nabla \times (\psi \mathbf {V} )=(\nabla \psi )\times \mathbf {V} +(\nabla \times \mathbf {V} )\psi$

Démonstration

Enconvention de sommation d'Einstein,on a:

$(\nabla \times (\psi \mathbf {V} ))_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}\partial _{j}(\psi \mathbf {V} )_{k}$

Larègle du produitétant d'application, ce dernier terme est équivalent à:

${\epsilon _{i}}^{jk}(\partial _{j}\psi )V_{k}+{\epsilon _{i}}^{jk}(\partial _{j}V_{k})\psi =((\nabla \psi )\times \mathbf {V} )_{i}+(\nabla \times \mathbf {V} )_{i}\psi$

L'identité est ainsi démontrée.

Gradient d'un produit scalaire

• $\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )$

Démonstration

Enconvention de sommation d'Einstein,on a:

$(\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ))_{i}=\partial _{i}(A^{j}B_{j})=\partial _{i}(A^{j}B_{j})+[A^{j}\partial _{j}B_{i}-A^{j}\partial _{j}B_{i}+B_{j}\partial ^{j}A_{i}-B_{j}\partial ^{j}A_{i}]$

On a ainsi fait apparaître dans la parenthèse les termes$A^{j}\partial _{j}B_{i}=(\mathbf {A} \cdot \nabla )B_{i}$et$B_{j}\partial ^{j}A_{i}=(\mathbf {B} \cdot \nabla )A_{i}$.Il reste maintenant à montrer que les trois termes restants se combinent pour prendre la forme recherchée. On a, avec la règle du produit,

$\partial _{i}(A^{j}B_{j})-A^{j}\partial _{j}B_{i}-B_{j}\partial ^{j}A_{i}=\partial _{i}A^{j}B_{j}+A^{j}\partial _{i}B_{j}-A^{j}\partial _{j}B_{i}-B_{j}\partial ^{j}A_{i}$

En rassemblant le premier et le dernier terme (et de la même manière le second et le troisième terme) on a:

$B_{j}\partial _{i}A^{j}-B_{j}\partial ^{j}A_{i}=\delta _{i}^{l}\delta ^{jm}B_{j}\partial _{l}A_{m}-\delta ^{jl}\delta _{i}^{m}B_{j}\partial _{l}A_{m}$

où l'on a introduit des$\delta$afin de faire apparaître le terme$B_{j}\partial _{l}A_{m}$.En mettant ce terme en évidence, on a:

$(\delta _{i}^{l}\delta ^{jm}-\delta ^{jl}\delta _{i}^{m})B_{j}\partial _{l}A_{m}=\epsilon _{i}^{jk}\epsilon _{k}^{lm}B_{j}\partial _{l}A_{m}$

soit finalement$(\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))_{i}$.Le second et le troisième terme mentionnés plus haut donnent exactement le même résultat oùAetBsont échangés soit$(\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} ))_{i}$.En rassemblant les résultats précédents, on a finalement:

$(\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ))_{i}=(\mathbf {A} \cdot \nabla )B_{i}+(\mathbf {B} \cdot \nabla )A_{i}+(\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} ))_{i}+(\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))_{i}$

L'identité est ainsi démontrée.

Divergence d'un produit vectoriel

• $\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )$

Démonstration

Enconvention de sommation d'Einstein,on a:

$(\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} ))=\partial _{i}({\epsilon ^{i}}_{jk}A^{j}B^{k})$

Larègle du produitétant d'application, ce dernier terme est égal à:

${\epsilon ^{i}}_{jk}(\partial _{i}A^{j})B^{k}+{\epsilon ^{i}}_{jk}A^{j}(\partial _{i}B^{k})$

En effectuant une permutation paire d'indice sur le premier terme et une impaire sur le second, on obtient:

$({{\epsilon _{k}}^{i}}_{j}\partial _{i}A^{j})B^{k}-A^{j}({{\epsilon _{j}}^{i}}_{k}\partial _{i}B^{k})=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )$

Le changement de signe provient de la permutation impaire d'indice dusymbole de Levi-Civita.

L'identité est ainsi démontrée.

Rotationnel d'un produit vectoriel

• $\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\nabla \cdot \mathbf {B} )\mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B}$

Démonstration

Enconvention de sommation d'Einstein,on a:

$(\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} ))_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}\partial _{j}({\epsilon _{k}}^{lm}A_{l}B_{m})=\epsilon _{i}^{jk}\epsilon _{k}^{lm}(\partial _{j}A_{l}B_{m}+A_{l}\partial _{j}B_{m})$

où l'on a utilisé larègle du produit.Avec les propriétés dusymbole de Levi-Civitace dernier terme se réécrit

$(\delta ^{il}\delta ^{jm}-\delta ^{im}\delta ^{jl})(\partial _{j}A_{l}B_{m}+A_{l}\partial _{j}B_{m})=\partial _{j}A_{i}B^{j}+A_{i}\partial _{j}B^{j}-\partial _{j}A^{j}B_{i}-A^{j}\partial _{j}B_{i}$

Le membre de droite peut alors s'écrire comme suit:

$(\mathbf {B} \cdot \nabla )A_{i}+A_{i}(\nabla \cdot \mathbf {B} )-(\nabla \cdot \mathbf {A} )B_{i}-(\mathbf {A} \cdot \nabla )B_{i}$

L'identité est ainsi démontrée.