Invariants de similitude
Enalgèbre linéaire,uninvariant de similitudeest une quantité qu'on peut associer à toutematrice carrée(à coefficients dans uncorps commutatiffixéK), telle que pour deuxmatrices semblablescette quantité soit toujours la même. Des exemples d'invariants de similitude sont la taille de la matrice, satrace,sondéterminant,sonpolynôme caractéristique(dont on peut déduire les trois invariants précédents), ou encore sonpolynôme minimal.Du fait de cette invariance, une telle quantité peut aussi être associée à toutendomorphismed'unespace vectoriel de dimension finie,en utilisantsa matricedans unebasequelconque de l'espace.
Un ensemble d'invariants de similitude est appelé un système complet si pour deux matrices non semblables, au moins un des invariants prend des valeurs distinctes sur les deux matrices. Les invariants mentionnés ci-dessus ne forment pas un système complet. Mais un système complet est connu: ces invariants sont classiquement appelésles invariants de similituded'une matrice. Ces invariants consistent en une suite finie depolynômes unitaires,dont chacun divise son successeur, dont le dernier élément est le polynôme minimal, et dont le produit donne le polynôme caractéristique.
On peut montrer que, siAest une matrice carrée de taillenà coefficients dans le corpsK,alors il existe une matriceBsemblable àA,diagonale par blocs, et dont les blocs diagonaux sont lesmatrices compagnonsde ces invariants de similitude. L'existence d'une telle matriceBrepose sur ladécomposition de Frobenius(ensous-modulescycliques) de l'espace vectorielKn,vu commeK[X]-module(de type fini) oùXagit comme l'application linéaire définie parA.Cette décomposition est l'objet, dans un cadre plus général, duthéorème des facteurs invariants.Les invariants de similitude se trouvent être les facteurs invariants de ceK[X]-module.
Le calcul de ces invariants de similitude est effectif (il ne demande pas la factorisation d'un polynôme, comme c'est le cas pour la recherche devaleurs propres), et repose sur des algorithmes du typepivot de Gauss.
Précisions
[modifier|modifier le code]SoientEun espace vectoriel de dimension finie non nulle sur un corps commutatifK,soituun endomorphisme deE.On dit qu'un sous-espaceFdeEestu-monogène s'il existe un vecteurxdeFtel queFsoit le sous-espace deEengendré par lesus(x), oùsparcourt les naturels positifs. On peut évidemment se limiter aux nombres naturelssstrictement inférieurs au degré du polynôme minimal deu.SiFestu-monogène, on a en particulieru(F) ⊆F,de sorte qu'il existe un (et un seul) endomorphisme deFqui coïncide avecuen tout point deF.On noterau|Fcet endomorphisme deF(« restriction », ou encore « birestriction », deuàF). Dire queFestu-monogène revient à dire queu(F) ⊆Fet queFestu|F-monogène. On démontre queEestu-monogène si et seulement si le polynôme minimal et le polynôme caractéristique deusont égaux[1].
Théorème—SoientEun espace vectoriel de dimension finie non nulle sur un corps commutatifK,soituun endomorphisme deE.Il existe un entierr≥ 1, des sous-espacesE1,...,ErdeEet des polynômes unitairesP1,...,PrdansK[X] tels que
- lesEisont non nuls,u-monogènes etEest la somme directe desEi;
- pour 1 ≤i≤r,Piest le polynôme minimal deu|Ei;
- pour 1 ≤i≤r-1,PidivisePi+1.
La suite (P1,...,Pr) est déterminée de façon unique.Prest le polynôme minimal deuetP1...Prest le polynôme caractéristique deu.On dit queP1,...,Prsont les invariants de similitude deu[2].
Théorème—SiEest un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur un corps commutatif, siuetvsont des endomorphismes deE,alorsuetvont les mêmes invariants de similitude si et seulement s'il existe un automorphismewdeEtel quev=w∘u∘w-1[3].
On peut définir les invariants de similitude d'une matrice carréeM∈Mn(K) à coefficients dans un corps commutatifKcomme étant les invariants de similitude de l'endomorphisme duK-espaceKnqui aMpour matrice dans la base canonique. Le théorème qui précède a pour conséquence que deux matrices deMn(K) ont les mêmes invariants de similitude si et seulement si elles sont semblables.
Notes et références
[modifier|modifier le code]- P. Tauvel,Algèbre,2eéd., 2010, théorème 12.6.3, p. 203.
- P. Tauvel,Algèbre,2eéd., 2010, théorème 12.6.8, p. 204.
- P. Tauvel,Algèbre,2eéd., 2010, théorème 12.6.11, p. 206.
