Lemme de Mazur
Enanalyse fonctionnelle(mathématique), lelemmedeMazur— outhéorèmede Mazur[1]— assure que dans unespace vectoriel normé,toutelimitefaibled'unesuite(xn)n∈ℕest limiteforte(c'est-à-dire ennorme) d'une suitecombinaisons convexesdes vecteursxn.Cette propriété est utilisée encalcul des variations,par exemple pour démontrer lethéorème de Tonelli(en)[2],[3].
Énoncé
[modifier|modifier le code]Dans un espace vectoriel norméX,soit(xn)n∈ℕune suite convergeant faiblement vers un vecteurxdeX,c'est-à-dire que pour touteforme linéaire continuefsurX,
Alors il existe une suite(yn)n∈ℕà valeurs dans l'enveloppe convexede l'ensemble des valeursde la suite(xn)n∈ℕ,et même[4]telle que pour tout entiern,le termeynsoit de la forme
qui converge en norme versx,c'est-à-dire telle que
Démonstration
[modifier|modifier le code]On[5]utilise les trois résultats suivants, valables dans toutespace vectoriel topologiquelocalement convexe métrisable,en particulier dans un espace vectoriel normé:
- l'adhérencede toutconvexeest convexe;
- tout convexe fermé est faiblement fermé;
- toutpoint adhérentà une partie est limite d'une suite à valeurs dans cette partie.
Pour tout entiern> 0,soitCnl'enveloppe convexe de l'ensemble desxkpourk≥n.Son adhérenceCnest convexe d'après le point 1 donc faiblement fermée d'après le point 2, si bien queCncontient l'adhérence faible deCn,qui elle-même contientxpar hypothèse. D'après le point 3, il existe doncyn∈Cntel que‖x – yn‖ < 1/n.
Notes et références
[modifier|modifier le code]- Haïm Brezis,Analyse fonctionnelle: théorie et applications[détail des éditions],p.38.
- (en)Ivar EkelandetRoger Temam,Convex Analysis and Variational Problems,vol.1,SIAM,,402p.(ISBN978-0-89871-450-0,lire en ligne),p.389.
- (en)Fei-tsen Liang, «Nonlinear Variational Problems».
- (de)Dirk Werner(de),Funktionalanalysis,Springer,,6eéd.,531p.(ISBN978-3-540-72533-6,lire en ligne),p.108,ne mentionne pas cette légère amélioration dans l'énoncé du lemme de Mazur.(en)Haim Brezis,Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations,(lire en ligne),p.61non plus, mais il la propose en exercicep.80.
- (en)Ivar EkelandetRoger Temam,Convex Analysis and Variational Problems,SIAM,(1reéd.1976,North-Holland)(lire en ligne),p.6.