Lemme de Mazur

Enanalyse fonctionnelle(mathématique), lelemmedeMazur— outhéorèmede Mazur— assure que dans unespace vectoriel normé,toutelimitefaibled'unesuite(x_n)_n∈ℕest limiteforte(c'est-à-dire ennorme) d'une suitecombinaisons convexesdes vecteursx_n.Cette propriété est utilisée encalcul des variations,par exemple pour démontrer lethéorème de Tonelli(en).

Énoncé

Dans un espace vectoriel norméX,soit(x_n)_n∈ℕune suite convergeant faiblement vers un vecteurxdeX,c'est-à-dire que pour touteforme linéaire continuefsurX,

$\lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=f(x).$

Alors il existe une suite(y_n)_n∈ℕà valeurs dans l'enveloppe convexede l'ensemble des valeursde la suite(x_n)_n∈ℕ,et mêmetelle que pour tout entiern,le termey_nsoit de la forme

$y_{n}=\sum _{k=n}^{N_{n}}\lambda _{n,k}x_{k}{\text{ avec }}\sum _{k=n}^{N_{n}}\lambda _{n,k}=1{\text{ et }}\forall k\in \{n,\ldots,N_{n}\},~\lambda _{n,k}\in \mathbb {R} ^{+},$

qui converge en norme versx,c'est-à-dire telle que

$\lim _{n\to +\infty }\left\|y_{n}-x\right\|=0.$

Démonstration

Onutilise les trois résultats suivants, valables dans toutespace vectoriel topologiquelocalement convexe métrisable,en particulier dans un espace vectoriel normé:

1. l'adhérencede toutconvexeest convexe;
2. tout convexe fermé est faiblement fermé;
3. toutpoint adhérentà une partie est limite d'une suite à valeurs dans cette partie.

Pour tout entiern> 0,soitC_nl'enveloppe convexe de l'ensemble desx_kpourk≥n.Son adhérenceC_nest convexe d'après le point 1 donc faiblement fermée d'après le point 2, si bien queC_ncontient l'adhérence faible deC_n,qui elle-même contientxpar hypothèse. D'après le point 3, il existe doncy_n∈C_ntel que‖x – y_n‖ < 1/n.

Notes et références

(de)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé«Satz von Mazur»(voir la liste des auteurs).