Lentille épaisse

Position des plans principaux dans les différentes configurations possibles

Unelentille épaisseest unelentilledont l'épaisseur n'est pas négligeable devant les rayons decourburede ses faces, c'est-à-dire qu'on ne peut pas la considérer comme unelentille mince.La prise en compte de l'épaisseur dans les calculs nécessite d'utiliser lessystèmes centrés.Lesfoyersobjet et image sont notamment définis à partir desplans principaux.

Formules pour les lentilles sphériques épaisses

Dans lesconditions de Gauss,une lentille épaisse sphérique peut être modélisée par un système centré depoints principauxobjet$H$et image$H'$.Compte tenu du fait que la lentille est plongée dans un seul et même milieu, lespoints nodauxobjet$N$et image$N'$sont confondus avec lespoints principauxrespectivement$H$et$H'$.

Notations

• $n$:indice de réfraction de la lentille.
• $n_{0}$:indice de réfraction du milieu environnant la lentille.
• $e={\overline {S_{1}S_{2}}}$:épaisseur de la lentille (m).
• $R_{1}={\overline {S_{1}C_{1}}}$:rayon de courbure de la première face (m);$R_{2}={\overline {S_{2}C_{2}}}$:rayon de courbure de la seconde face (m).
• $p={\overline {HA}}$:position de l'objet (m);$p'={\overline {H'A'}}$:position de l'image (m).
• $f={\overline {HF}}$:distance focale objet (m);$f'={\overline {H'F'}}$:distance focale image (m).
• $V$:vergence (δ).

Position du centre optique

Tracé faisant apparaître le centre optiqueO

Un rayon incident dans une direction donnée qui passe lecentre optique$O$ressort de la lentille dans la même direction.

${\overline {S_{1}O}}={\frac {R_{1}}{R_{1}-R_{2}}}\cdot e$ ${\overline {S_{2}O}}={\frac {R_{2}}{R_{1}-R_{2}}}\cdot e$

Démonstration

Les droites$(C_{1}I_{1})$et$(C_{2}I_{2})$étant parallèles, en utilisant le théorème de Thalès, on peut établir la relation suivante.

${\frac {\overline {OC_{1}}}{\overline {OC_{2}}}}={\frac {\overline {C_{1}I_{1}}}{\overline {C_{2}I_{2}}}}={\frac {\overline {S_{1}C_{1}}}{\overline {S_{2}C_{2}}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$

En manipulant cette relation, on peut observer que:

${\frac {{\overline {OC_{1}}}-{\overline {S_{1}C_{1}}}}{{\overline {OC_{2}}}-{\overline {S_{2}C_{2}}}}}={\frac {\overline {OS_{1}}}{\overline {OS_{2}}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$.

Pour trouver${\overline {OS_{2}}}$,on élimine${\overline {OS_{1}}}$en le remplçant par${\overline {OS_{2}}}-{\overline {S_{1}S_{2}}}$:

${\frac {\overline {OS_{1}}}{\overline {OS_{2}}}}=1-{\frac {\overline {S_{1}S_{2}}}{\overline {OS_{2}}}}=1-{\frac {e}{\overline {OS_{2}}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$.

Il ne reste plus qu'à isoler${\overline {S_{2}O}}$:

$-{\frac {e}{\overline {OS_{2}}}}={\frac {e}{\overline {S_{2}O}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}-1={\frac {R_{1}-R_{2}}{R_{2}}}\Leftrightarrow {\overline {OS_{2}}}={\frac {R_{2}}{R_{1}-R_{2}}}\cdot e$.

Position des points principaux

Rayons et points particuliers

$S_{1}$et$S_{2}$étant les sommets des faces d'entrée et de sortie de la lentille, la position despoints principaux$H$et$H'$sont définies par:

${\overline {S_{1}H}}={\frac {n_{0}.R_{1}.e}{(n_{0}-n).e+n.(R_{1}-R_{2})}}=-{\frac {f'.(n-n_{0}).e}{n.R_{2}}}$; ${\overline {S_{2}H'}}={\frac {n_{0}.R_{2}.e}{(n_{0}-n).e+n.(R_{1}-R_{2})}}=-{\frac {f'.(n-n_{0}).e}{n.R_{1}}}$.

Démonstration

Dans lesconditions de Gauss$O$est l'image de$H$à travers le premierdioptre sphériqueet$H'$est l'image de$O$à travers le seconddioptre sphérique.

La relation de conjugaison pour le premier dioptre nous donne:

${\frac {n}{\overline {S_{1}O}}}-{\frac {n_{0}}{\overline {S_{1}H}}}={\frac {n-n_{0}}{R_{1}}}$.

Il vient:

${\frac {n_{0}.(R_{1}-R_{2})}{R_{1}.e}}-{\frac {n_{0}}{\overline {S_{1}H}}}={\frac {n-n_{0}}{R_{1}}}$,

${\frac {n_{0}.(R_{1}-R_{2})}{R_{1}.e}}-{\frac {n-n_{0}}{R_{1}}}={\frac {n_{0}}{\overline {S_{1}H}}}$,

${\frac {n_{0}.(R_{1}-R_{2})-(n-n_{0}).e}{R_{1}.e}}={\frac {n_{0}}{\overline {S_{1}H}}}$,

${\overline {S_{1}H}}={\frac {n_{0}.R_{1}.e}{(n_{0}-n).e+n.(R_{1}-R_{2})}}$,

La démonstration est la même dans le cas du second dioptre en partant de:

${\frac {n_{0}}{\overline {S_{2}H'}}}-{\frac {n}{\overline {S_{2}O}}}={\frac {n_{0}-n}{R_{2}}}$,

Distances focales et vergence

La vergence de la lentille s'exprime:

$V={\frac {n_{0}}{f'}}=-{\frac {n_{0}}{f}}=(n-n_{0})\,\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)+{\frac {(n-n_{0})^{2}}{n}}\,{\frac {e}{R_{1}.R_{2}}}$.

Les distances focales objet et image sont égales en valeur absolue:$f'=-f$.

Démonstration

On peut assez facilement retrouver cette formule à l'aide de laformule de Gullstrandselon laquelle

$V=V_{1}+V_{2}-{\frac {e}{n}}\,V_{1}\,V_{2}$,

où

$V_{1}={\frac {n-n_{0}}{R_{1}}}$

et

$V_{2}={\frac {n_{0}-n}{R_{2}}}$

sont les vergences des dioptres sphériques successifs.

$V={\frac {n-n_{0}}{R_{1}}}+{\frac {n_{0}-n}{R_{2}}}-{\frac {e}{n}}\,{\frac {n-n_{0}}{R_{1}}}\,{\frac {n_{0}-n}{R_{2}}}$

$V={\frac {n_{0}}{f'}}=-{\frac {n_{0}}{f}}=(n-n_{0})\,\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)+{\frac {(n-n_{0})^{2}}{n}}\,{\frac {e}{R_{1}.R_{2}}}$

Relation de conjugaison

La relation de conjugaison qui relie la position de l'objet$A$sur l'axe optique principal et celle de son image$A'$est la même que celle du système centré:

${\frac {1}{p'}}-{\frac {1}{p}}={\frac {1}{f'}}$.

Les positions$p$et$p'$sont définies par rapport aux points principaux, et non par rapport au centre optique comme cela devient le cas dans la simplification effectuée pour leslentilles minces.